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一、选择题
1.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是( )
A. ∠BAC=70° B. ∠DOC=90° C. ∠BDC=35° D. ∠DAC=55°
考点： 角平分线的性质;三角形内角和定理
分析： 根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°，再根据角平分线的定义求出∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC，判断出AD为三角形的外角平分线，然后列式计算即可求出∠DAC.
解答： 解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°，故A选项结论正确，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABO=∠ABC=×50°=25°，
在△ABO中，∠AOB=180°﹣∠BAC﹣∠ABO=180°﹣70°﹣25°=85°，
∴∠DOC=∠AOB=85°，故B选项结论错误;
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD=(180°﹣60°)=60°，
∴∠BDC=180°﹣85°﹣60°=35°，故C选项结论正确;
∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，
∴AD是△ABC的外角平分线，
∴∠DAC=(180°﹣70°)=55°，故D选项结论正确.
2. (2014•山东临沂,第3题3分)如图，已知l1∥l2，∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为()
A. 40° B. 60° C. 80° D. 100°
考点： 平行线的性质;三角形的外角性质.
分析： 根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.
解答： 解：∵l1∥l2，
∴∠3=∠1=60°，
3. (2014•江苏苏州,第6题3分)如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为()
A. 30° B. 40° C. 45° D. 60°
考点： 等腰三角形的性质
分析： 先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论.
解答： 解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=80°，
∴∠B=∠ADB=80°，
∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，
4.下列命题中，假命题是【 】
A.对顶角相等 B.三角形两边和小于第三边
C.菱形的四条边都相等 D.多边形的内角和等于360°
5.(2014•台湾，第20题3分)如图，有一△ABC，今以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于D点，以C为圆心，AC长为半径画弧，交BC于E点.若∠B=40°，∠C=36°，则关于AD、AE、BE、CD的大小关系，下列何者正确?()
A.AD=AE B.AE
分析：由∠C<∠B利用大角对大边得到AB
解：∵∠C<∠B，
6.(2014•云南昆明，第5题3分)如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是( )
A. 85° B. 80°
C. 75° D. 70°
考点： 角平分线的性质，三角形外角性质.
分析： 首先角平分线的性质求得 的度数，然后利用三角形外角性质求得∠BDC的度数即可.
解答： 解： ∠ABC=70°，BD平分∠ABC
7. 如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”.下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是()
A. 1，2，3 B. 1，1， C. 1，1， D. 1，2，
考点： 解直角三角形
专题： 新定义.
分析： A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定;
B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定;
C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定;
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定.
解答： 解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误;
B、∵12+12=( )2，是等腰直角三角形，故选项错误;
C、底边上的高是 = ，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误;
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确.
8. ( 2014•广西玉林市、防城港市，第10题3分)在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是()
A. 1cm
考点： 等腰三角形的性质;解一元一次不等式组;三角形三边关系.
分析： 设AB=AC=x，则BC=20﹣2x，根据三角形的三边关系即可得出结论.
解答： 解：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，
∴设AB=AC=xcm，则BC=(20﹣2x)cm，
9. (2014•湖南邵阳，第5题3分)如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是( )
A. 45° B. 54° C. 40° D. 50°
考点： 平行线的性质;三角形内角和定理
分析： 根据三角形的内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ADE=∠BAD.
解答： 解：∵∠B=46°，∠C=54°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD= ∠BAC= ×80°=40°，
∵DE∥AB，
10.(2014•台湾，第18题3分)如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点.若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何?()
A.24 B.30 C.32 D.36
分析：根据角平分线的定义可得∠ABP=∠CBP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP=CP，再根据等边对等角可得∠CBP=∠BCP，然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可.
解：∵直线M为∠ABC的角平分线，
∴∠ABP=∠CBP.
∵直线L为BC的中垂线，
∴BP=CP，
∴∠CBP=∠BCP，
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，
在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP=180°，
即3∠ABP+60°+24°=180°，
11. (2014•湖北宜昌,第6题3分)已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是()
A. 5 B. 10 C. 11 D. 12
考点： 三角形三边关系.
分析： 根据三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和求得第三边的取值范围，再进一步选择.
解答： 解：根据三角形的三边关系，得
第三边大于：8﹣3=5，而小于：3+8=11.
12. (2014•河北，第3题2分)如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点.若DE=2，则BC=()
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
考点： 三角形中位线定理.
分析： 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BC=2DE.
解答： 解：∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
13、(2014•河北，第4题2分)如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点(数据如图)，则a，b相交所成的锐角是()
A. 20° B. 30° C. 70° D. 80°
考点： 三角形的外角性质
分析： 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.
解答： 解：a，b相交所成的锐角=100°﹣70°=30°.
14. (2014•随州，第4题3分)如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE：S△COB=()
A. 1：4 B. 2：3 C. 1：3 D. 1：2
考点： 相似三角形的判定与性质;三角形中位线定理
分析： 根据三角形的中位线得出DE∥BC，DE= BC，根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可.
解答： 解：∵BE和CD是△ABC的中线，
∴DE= BC，DE∥BC，
∴ = ，△DOE∞△COB，
15. ( 2014•广东，第9题3分)一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为()
A. 17 B. 15 C. 13 D. 13或17
考点： 等腰三角形的性质;三角形三边关系.
分析： 由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：(1)当等腰三角形的腰为3;(2)当等腰三角形的腰为7;两种情况讨论，从而得到其周长.
解答： 解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3<7不能构成三角形;
②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17.
二、填空题
1. 直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角板如图放置，∠1=85°，则∠2= 40° .
考点： 平行线的性质;三角形内角和定理
分析： 根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠4，然后根据对顶角相等解答.
解答： 解：∵l1∥l2，
∴∠3=∠1=85°，
∴∠4=∠3﹣45°=85°﹣45°=40°，
2.(2014•湖南怀化，第15题，3分)如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，延长BC到D，则∠ACD= 80 °.
考点： 三角形的外角性质.
分析： 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.
解答： 解：∵∠A=30°，∠B=50°，
∴∠ACD=∠A+∠B=30°+50°=80°.
3. (2014•江苏盐城,第14题3分)如图，A、B两地间有一池塘阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接CA、CB的中点D、E.若DE的长度为30m，则A、B两地的距离为 60 m.
考点： 三角形中位线定理.
专题： 应用题.
分析： 根据三角形中位线求出AB=2DE，代入求出即可.
解答： 解：∵D、E分别是AC、BC的中点，DE=30m，
4.(2014•广州,第11题3分) 中，已知 ， ，则 的外角的度数是_____.
【考点】三角形外角
【分析】本题主要考察三角形外角的计算， ，则 的外角为
【答案】
5.(2014•广州,第12题3分)已知 是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点 ， ，则PE的长度为_____.
【考点】角平线的性质
【分析】角平分线上的点到角的两边距离相等.
【答案】10
6. 如图，在△ABC中，∠C=40°，CA=CB，则△ABC的外角∠ABD= 110 °.
考点： 等腰三角形的性质.
分析： 先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠A，再根据三角形的外角等于等于与它不相邻的两个内角的和，进行计算即可.
解答： 解：∵CA=CB，
∴∠A=∠ABC，
∵∠C=40°，
∴∠A=70°
7. 若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为 35 cm.
考点： 等腰三角形的性质;三角形三边关系.
分析： 题目给出等腰三角形有两条边长为7cm和14cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.
解答： 解：①14cm为腰，7cm为底，此时周长为14+14+7=35cm;
②14cm为底，7cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去.
8. 如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE= 50° .
(第2题图)
考点： 圆的认识;三角形内角和定理;等腰三角形的性质.
分析： 首先根据三角形内角和求得∠B+∠C的度数，然后求得其二倍，然后利用三角形的内角和求得∠BOD+∠EOC，然后利用平角的性质求得即可.
解答： 解：∵∠A=65°，
∴∠B+∠C=180°﹣65°=115°，
∴∠BDO=∠DBO，∠OEC=∠OCE，
∴∠BDO+∠DBO+∠OEC+∠OCE=2×115°=230°，
∴∠BOD+∠EOC=2×180°﹣230°=130°，
∴∠DOE=180°﹣130°=50°，
9. (2014•乐山，第14题3分)如图，在△ABC中，BC边的中垂线交BC于D，交AB于E.若CE平分∠ACB，∠B=40°，则∠A= 60 度.
考点： 线段垂直平分线的性质..
分析： 根据线段垂直平分线得出BE=CE，推出∠B=∠BCE=40°，求出∠ACB=2∠BCE=80°，代入∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB求出即可.
解答： 解：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∴∠B=∠BCE=40°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠BCE=80°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=60°，
10.如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN=32m，则A，B两点间的距离是 64 m.
考点： 三角形中位线定理.
专题： 应用题.
分析： 根据M、N是OA、OB的中点，即MN是△OAB的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解.
解答： 解：∵M、N是OA、OB的中点，即MN是△OAB的中位线，
∴MN= AB，
11.将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 75 度.
考点： 三角形内角和定理;平行线的性质
专题： 计算题;压轴题.
分析： 根据三角形三内角之和等于180°求解.
解答： 解：如图.
∵∠3=60°，∠4=45°，
∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°.
12、如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 .
考点： 三角形的外接圆与外心
专题： 网格型.
分析： 根据题意得出△ABC的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径.
解答： 解：如图所示：点O为△ABC外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是： .
三.解答题
1. 如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°.求∠C的度数.
(第1题图)
考点： 平行线的性质.
分析： 根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAF，再根据角平分线的定义求出∠CAF，然后根据两直线平行，内错角相等解答.
解答： 解：∵EF∥BC，
∴∠BAF=180°﹣∠B=100°，
∵AC平分∠BAF，
∴∠CAF= ∠BAF=50°，
2. 如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.
(1)若∠B=70°，求∠CAD的度数;
(2)若AB=4，AC=3，求DE的长.
考点： 圆周角定理;平行线的性质;三角形中位线定理
分析： (1)根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得;
(2)易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得.
解答： 解：(1)∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°.
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO= = =55°
∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°;
(2)在直角△ABC中，BC= = = .
∵OE⊥AC，
∴AE=EC，
又∵OA=OB，
∴OE= BC= .
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