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一、选择题
1. (2014•山东烟台，第7题3分)如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，梯形中位线EF与对角线BD相交于点M，且BD⊥CD，则MF的长为( )
A. 1.5 B. 3 C. 3.5 D. 4.5
考点：等腰梯形的性质，直角三角形中30°锐角的性质，梯形及三角形的中位线.
分析： 根据等腰梯形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，∠ABD与∠ADB的关系，根据等腰三角形的性质，可得∠ABD与∠ADB的关系，根据直角三角形的性质，可得BC的长，再根据三角形的中位线，可得答案.
解答：已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，
∴∠ABC=∠C，∠ABD=∠ADB，∠ADB=∠BDC.∴∠ABD=∠CBD，∠C=2∠DBC.
∵BD⊥CD，∴∠BDC=90°，∴∠DBC=∠C=30°，BC=2DC=2×3=6.
∵EF是梯形中位线，∴MF是三角形BCD的中位线，∴MF=BC= 6=3，
2.(2014•湖南怀化，第5题，3分)如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于点O，则下列判断不正确的是( )
A. △ABC≌△DCB B. △AOD≌△COB C. △ABO≌△DCO D. △ADB≌△DAC
考点： 等腰梯形的性质;全等三角形的判定.
分析： 由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，可得∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，易证得△ABC≌△DCB，△ADB≌△DAC;继而可证得∠ABO=∠DCO，则可证得△ABO≌△DCO.
解答： 解：A、∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB，
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB(SAS);故正确;
B、∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∵BC>AD，
∴△AOD不全等于△COB;故错误;
C、∵△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠DBC，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠ABO=∠DCO，
在△ABO和△DCO中，
∴△ABO≌△DCO(AAS);故正确;
D、∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠BAD=∠CDA，
3. (2014•山东淄博,第7题4分)如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC、DB相交于点P，∠BAC=∠CDB=90°，AB=AD=DC.则cos∠DPC的值是( )
A. B. C. D.
考点： 等腰梯形的性质.
分析： 先根据等腰三角形的性质得出∠DAB+∠BAC=180°，AD∥BC，故可得出∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，再由AB=AD=DC可知∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，所以∠DAP=∠ABD=∠DBC，再根据∠BAC=∠CDB=90°可知，3∠ABD=90°，故∠ABD=30°，再由直角三角形的性质求出∠DPC的度数，进而得出结论.
解答： 解：∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠DAB+∠BAC=180°，AD∥BC，
∴∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，
∵AB=AD=DC，
∴∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，
∴∠DAP=∠ABD=∠DBC，
∵∠BAC=∠CDB=90°，
∴3∠ABD=90°，
∴∠ABD=30°，
在△ABP中，
∵∠ABD=30°，∠BAC=90°，
∴∠APB=60°，
4.(2014•浙江宁波，第8题4分)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为( )
A. 2：3 B. 2：5 C. 4：9 D. ：
考点： 相似三角形的判定与性质.
分析： 先求出△CBA∽△ACD，求出 = ，COS∠ACB•COS∠DAC= ，得出△ABC与△DCA的面积比= .
解答： 解：∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC
又∵∠B=∠ACD=90°，
∴△CBA∽△ACD
AB=2，DC=3，
∴COS∠ACB= = ，
COS∠DAC= =
∵△ABC与△DCA的面积比= ，
5. (2014•湘潭，第3题，3分)如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE=15米，则AB=( )米.
(第1题图)
A. 7.5 B. 15 C. 22.5 D. 30
考点： 三角形中位线定理
分析： 根据三角形的中位线得出AB=2DE，代入即可求出答案.
解答： 解：∵D、E分别是AC、BC的中点，DE=15米，
6.(2014•德州，第7题3分)如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为( )
A. 4 米 B. 6 米 C. 12 米 D. 24米
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
分析： 先根据坡度的定义得出BC的长，进而利用勾股定理得出AB的长.
解答： 解：在Rt△ABC中，∵ =i= ，AC=12米，
7. (2014•广西贺州，第9题3分)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，∠B=60°，若AD=3，则梯形ABCD的周长为( )
A. 12 B. 15 C. 12 D. 15
考点： 等腰梯形的性质.
分析： 过点A作AE∥CD，交BC于点E，可得出四边形ADCE是平行四边形，再根据等腰梯形的性质及平行线的性质得出∠AEB=∠BCD=60°，由三角形外角的定义求出∠EAC的度数，故可得出四边形ADEC是菱形，再由等边三角形的判定定理得出△ABE是等边三角形，由此可得出结论.
解答： 解：过点A作AE∥CD，交BC于点E，
∵梯形ABCD是等腰梯形，∠B=60°，
∴AD∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴∠AEB=∠BCD=60°，
∵CA平分∠BCD，
∴∠ACE=∠BCD=30°，
∵∠AEB是△ACE的外角，
∴∠AEB=∠ACE+∠EAC，即60°=30°+∠EAC，
∴∠EAC=30°，
∴AE=CE=3，
∴四边形ADEC是菱形，
∵△ABE中，∠B=∠AEB=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=BE=AE=3，
8.(2014•襄阳，第10题3分)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE=DC，∠C=80°，则∠A等于( )
A. 80° B. 90° C. 100° D. 110°
考点： 梯形;等腰三角形的性质;平行四边形的判定与性质.
分析： 根据等边对等角可得∠DEC=80°，再根据平行线的性质可得∠B=∠DEC=80°，∠A=180°﹣80°=100°.
解答： 解：∵DE=DC，∠C=80°，
∴∠DEC=80°，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEC=80°，
9.(2014•台湾，第3题3分)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E点在BC上，且AE⊥BC.若AB=10，BE=8，DE=6 ，则AD的长度为何?( )
A.8 B.9 C.62 D.63
分析：利用勾股定理列式求出AE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DAE=90°，然后利用勾股定理列式计算即可得解.
解：∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∵AB=10，BE=8，
∴AE=AB2-BE2=102-82=6，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=90°，
10. (2014年广西钦州，第10题3分)如图，等腰梯形ABCD的对角线长为13，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长是( )
A. 13 B. 26 C. 36 D. 39
考点： 等腰梯形的性质;中点四边形.
分析： 首先连接AC，BD，由点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，可得EH，FG，EF，GH是三角形的中位线，然后由中位线的性质求得答案.
解答： 解：连接AC，BD，
∵等腰梯形ABCD的对角线长为13，
∴AC=BD=13，
∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH=GF=BD=6.5，EF=GH=AC=6.5，
二.填空题
1. ( 2014•广西玉林市、防城港市，第17题3分)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，∠A=120°，AD=2，BD平分∠ABC，则梯形ABCD的周长是 7+ .
考点： 直角梯形.
分析： 根据题意得出AB=AD，进而得出BD的长，再利用在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，进而求出CD以及利用勾股定理求出BC的长，即可得出梯形ABCD的周长.
解答： 解：过点A作AE⊥BD于点E，
∵AD∥BC，∠A=120°，
∴∠ABC=60°，∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴∠ABE=∠ADE=30°，
∴AB=AD，
∴AE= AD=1，
∴DE= ，则BD=2 ，
∵∠C=90°，∠DBC=30°，
∴DC= BD= ，
∴BC= = =3，
2. (2014•扬州，第13题，3分)如图，若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的，则图中的∠1= 67.5° .
(第1题图)
考点： 等腰梯形的性质;多边形内角与外角
分析： 首先求得正八边形的内角的度数，则∠1的度数是正八边形的度数的一半.
解答： 解：正八边形的内角和是：(8﹣2)×180°=1080°，
则正八边形的内角是：1080÷8=135°，
3. (2014•扬州，第14题，3分)如图，△ABC的中位线DE=5cm，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A、F两点间的距离是8cm，则△ABC的面积为 40 cm3.
(第2题图)
考点： 翻折变换(折叠问题);三角形中位线定理
分析： 根据对称轴垂直平分对应点连线，可得AF即是△ABC的高，再由中位线的性质求出BC，继而可得△ABC的面积.
解答： 解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC=2DE=10cm;
由折叠的性质可得：AF⊥DE，
∴AF⊥BC，
4. (2014•黑龙江龙东,第3题3分)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，不添加辅助线，梯形满足 AB=DC(或∠ABC=∠DCB、∠A=∠D)等 条件时，有MB=MC(只填一个即可).
考点： 梯形;全等三角形的判定..
专题： 开放型.
分析： 根据题意得出△ABM≌△△DCM，进而得出MB=MC.
解答： 解：当AB=DC时，∵梯形ABCD中，AD∥BC，
则∠A=∠D，
∵点M是AD的中点，
∴AM=MD，
在△ABM和△△DCM中，
，
∴△ABM≌△△DCM(SAS)，
∴MB=MC，
同理可得出：∠ABC=∠DCB、∠A=∠D时都可以得出MB=MC，
5. (2014•青岛，第13题3分)如图，在等腰梯形ABCD中，AD=2，∠BCD=60°，对角线AC平分∠BCD，E，F分别是底边AD，BC的中点，连接EF.点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为 2 .
考点： 轴对称-最短路线问题;等腰梯形的性质.
分析： 要求PA+PB的最小值，PA、PB不能直接求，可考虑转化PA、PB的值，从而找出其最小值求解.
解答： 解：∵E，F分别是底边AD，BC的中点，四边形ABCD是等腰梯形，
∴B点关于EF的对称点C点，
∴AC即为PA+PB的最小值，
∵∠BCD=60°，对角线AC平分∠BCD，
∴∠ABC=60°，∠BCA=30°，
∴∠BAC=90°，
∵AD=2，
6. (2014•攀枝花，第16题4分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE：ED=2：1.如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是 .
考点： 相似三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质;梯形.
分析： 首先延长BA，CD交于点F，易证得△BEF≌△BEC，则可得DF：FC=1：4，又由△ADF∽△BCF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得△ADF的面积，继而求得答案.
解答： 解：延长BA，CD交于点F，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF=∠EBC，
∵BE⊥CD，
∴∠BEF=∠BEC=90°，
在△BEF和△BEC中，
∴△BEF≌△BEC(ASA)，
∴EC=EF，S△BEF=S△BEC=2，
∴S△BCF=S△BEF+S△BEC=4，
∵CE：ED=2：1
∴DF：FC=1：4，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△BCF，
∴ =( )2= ，
∴S△ADF= ×4= ，
7.(2014•湖北黄石,第14题3分)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=45°，AB=1，CD=3，BE∥AD交CD于E，则△BCE的周长为 .
第1题图
考点： 等腰梯形的性质.
分析： 首先根据等腰梯形的性质可得∠D=∠C=45°，进而得到∠EBC=90°，然后证明四边形ABED是平行四边形，可得AB=DE=1，再得EC=2，然后再根据勾股定理可得BE长，进而得到△BCE的周长.
解答： 解：∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠D=∠C=45°，
∵EB∥AD，
∴∠BEC=45°，
∴∠EBC=90°，
∵AB∥CD，BE∥AD，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB=DE=1，
∵CD=3，
∴EC=3﹣1=2，
∵EB2+CB2=EC2，
∴EB=BC= ，
三.解答题
1. (2014年江苏南京，第19题)如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F.
(1)求证：四边形DBFE是平行四边形;
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形DBEF是菱形?为什么?
(第1题图)
考点：三角形的中位线、菱形的判定
分析：(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明;
(2)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明.
(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形;
(2)解答：当AB=BC时，四边形DBEF是菱形.
理由如下：∵D是AB的中点，∴BD= AB，∵DE是△ABC的中位线，
∴DE= BC，∵AB=BC，∴BD=DE，又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形.
2. (2014•乐山，第21题10分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足为点E.若AD=1，AB=2 ，求CE的长.
考点： 直角梯形;矩形的判定与性质;解直角三角形..
分析： 利用锐角三角函数关系得出BH的长，进而得出BC的长，即可得出CE的长.
解答： 解：过点A作AH⊥BC于H，则AD=HC=1，
在△ABH中，∠B=30°，AB=2 ，
∴cos30°= ，
即BH=ABcos30°=2 × =3，
3. (2014•攀枝花，第19题6分)如图，在梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，点O为坐标原点，且A(2，﹣3)，C(0，2).
(1)求过点B的双曲线的解析式;
(2)若将等腰梯形OABC向右平移5个单位，问平移后的点C是否落在(1)中的双曲线上?并简述理由.
考点： 等腰梯形的性质;反比例函数图象上点的坐标特征;待定系数法求反比例函数解析式;坐标与图形变化-平移.
分析： (1)过点C作CD⊥AB于D，根据等腰梯形的性质和点A的坐标求出CD、BD，然后求出点B的坐标，设双曲线的解析式为y= (k≠0)，然后利用待定系数法求反比例函数解析式解答;
(2)根据向右平移横坐标加求出平移后的点C的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征判断.
解答： 解：(1)如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，A(2，﹣3)，
∴CD=2，BD=3，
∵C(0，2)，
∴点B的坐标为(2，5)，
设双曲线的解析式为y= (k≠0)，
则 =5，
解得k=10，
∴双曲线的解析式为y= ;
(2)平移后的点C落在(1)中的双曲线上.x k b 1 . c o m
理由如下：点C(0，2)向右平移5个单位后的坐标为(5，2)，
4. (2014•黑龙江龙东,第26题8分)已知△ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F.
(1)当直线m经过B点时，如图1，易证EM= CF.(不需证明)
(2)当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明.
考点： 旋转的性质;全等三角形的判定与性质;梯形中位线定理..
分析： (1)利用垂直于同一直线的两条直线平行得出ME∥CF，进而利用中位线的性质得出即可;
(2)根据题意得出图2的结论为：ME= (BD+CF)，图3的结论为：ME= (CF﹣BD)，进而利用△DBM≌△KCM(ASA)，即可得出DB=CK DM=MK即可得出答案.
解答： 解：(1)如图1，
∵ME⊥m于E，CF⊥m于F，
∴ME∥CF，
∵M为BC的中点，
∴E为BF中点，
∴ME是△BFC的中位线，
∴EM= CF.
(2)图2的结论为：ME= (BD+CF)，
图3的结论为：ME= (CF﹣BD).
图2的结论证明如下：连接DM并延长交FC的延长线于K
又∵BD⊥m，CF⊥m
∴BD∥CF
∴∠DBM=∠KCM
在△DBM和△KCM中
∴△DBM≌△KCM(ASA)，
∴DB=CK DM=MK
由题意知：EM= FK，
∴ME= (CF+CK)= (CF+DB)
图3的结论证明如下：连接DM并延长交FC于K
又∵BD⊥m，CF⊥m
∴BD∥CF
∴∠MBD=∠KCM
在△DBM和△KCM中
∴△DBM≌△KCM(ASA)
∴DB=CK，DM=MK，
精品小编为大家提供的中考数学备考试题就到这里了，愿大家都能在学期努力，丰富自己，锻炼自己。