本章对一元二次方程解法的推导充分运用了化归思想，并提到了数学建模。

一、化归之一：把一元二次方程降次为一元一次方程

本章《小结与复习》中说：解一元二次方程的基本思路是：降低次数，转化为两个一元一次方程。

有朋友会认为本章运用的基本思路是转化策略，我不赞成：

第一，基本思路应该就是数学基本思想方法，它是战略性的，策略则是受战略指导的、战役性的方法，解题术则是受策略指导的、战术性的具体技巧，因此转化策略不属于基本思路即数学基本思想方法。

第二，转化有二种：一种是等价两物的横向转化，如代数与几何各成一体但等价，用代数方法解几何问题或反之均属横向转化(故应称数形互化另一种是复杂之物向其简单成分的纵向转化，本章所用降次方法是把复杂的一元二次方程转化为较简单的两个一元一次方程，属于纵向转化。

第三，横、纵转化所依据的基本思想方法不同。横向转化依据的是结构化基本思想方法：代数体系与几何体系虽组成要素不同，但二者的结构关系相同(同构)，其要素与结构关系可相互翻译(以点与数的一一对应为基础)，故可实现代数问题及其解法与几何问题及其解法之间的相互转化。纵向转化依据的是化归化基本思想方法：新学的较复杂数学知识须能化归为已学的较简单数学知识，如复数实数有理数自然数，复杂图形基本图形，本章则是一元二次方程一元一次方程，它们都属于化归性的纵向转化。

综上可知，本章所运用的基本思路(基本思想方法)是降次这种化归思想方法其价值是化新为旧(化未知为已知)、化繁为简从而化难为易。运用这一资源对学生进行数学思想方法教育，让学生领悟它的价值，好处多多。

二、化归之二：公式法配方法因式分解法或直接开平方法

本章推导一元二次方程多种解法的路线是从简单到复杂：因式分解法与直接开平方法配方法公式法。因式分解法和直接开平方法可直接利用旧知，但只适于解(axb)2=c这种特殊形式的方程;对一般式ax2+bx+c=0这种较复杂的方程可用配方法，但很多情况下难以配方;最终推出通用的公式法，且靠此法能推出许多其他一元二次方程的性质(如本章介绍的判别式及其意义)。

反过来思考：首先，公式从何而来对ax2+bx+c=0配方而来;然后，配方法又从何而来变一般式为能因式分解或能直接开平方的特殊式而来。于是可在本章看出化归之二：公式法配方法因式分解法或直接开平方法。

为何强调上述化归?因为它表现出数学方法发展的一个规律：复杂方法可化归为简单方法它不过是简单方法的合成。明白了这一点，学生就会知道：第一，学精简单方法是牢固基础;第二，学复杂方法时要自觉探讨它与简单方法的联系，以达到对诸方法的整体结构的整体理解与把握(要重视知识结构、还要重视方法结构);第三，不迷信复杂方法比如对2x2-8=0，用公式法、配方法、因式分解法都不如用直接开平方法快捷。

发掘多种解题方法之间的化归关系，并让学生领略其价值，这样的数学思想方法教育同样好处多多。

三、关于数学建模

模型思想是数学的一种重要思想方法(我认为它源于数学结构化基本思想方法)，但要深刻了解它须先了解原型、模型、数学模型、数学建模等一系列概念。限于篇幅，本文不作解释，各位可先读本文前面的那篇《中小学数学教育中的数学建模》作为辅助。

本章三次提到建模：第一节以建立一元二次方程模型为题，分析问题一时说建立方程的模型来计算人行道的宽度，《小结与复习》中说建立一元二次方程的模型，求出一元二次方程的解，这是数学的基本功之一。

能做哪几件事才算有了数学建模的基本功呢?谨以本章第一个问题建草坪为例简要说明。

第一，知道谁是模型、是谁的模型、属于哪类模型?

该问题的实际数量关系某栋建筑所占地是边长35m的正方形，四周留出一样宽的人行道之后，中间的正方形草坪面积是900m2是问题的原型，而模拟该实际数量关系的符号集合(35-2x)2=900是该原型的模型因为用的是数学符号，所以属于数学模型(数学定义、图形、表格、公式、函数式、不等式等等也属于数学模型)。

第二，会用建立数学模型的基本方法。对建草坪这个问题而言，建模的基本方法是：第一步数学抽象，挑出问题中的数量要素，淘汰无关内容;第二步找数量关系，本题是找出所得各数量要素之间的等量关系;第三步找数学模型，本题是从学过的知识中找到合用的方程模型，用它来表述所得等量关系这就建立了数学模型;第四步解模，解得方程结果，对照原型问题进行检验，得出可用结果。

其实用数学建模方法解决问题时，所需运用的基本方法都是上述四步，即数学抽象找数量关系找合用的数学模型解模。