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数学竞赛平面几何讲座：注意添加平行线证题
在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.
添加平行线证题,一般有如下四种情况.
1 为了改变角的位置
大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.
例1 设P、Q为线段BC上两点,且BP=CQ,
A为BC外一动点(如图1).当点A运动到使
BAP=CAQ时,△ABC是什么三角形?试
证明你的结论.
答： 当点A运动到使BAP=CAQ时,△ABC为等腰三角形.
证明：如图1,分别过点P、B作AC、AQ的平行线得交点D.连结DA.
在△DBP=AQC中,显然
DBP=AQC,DPB=C.
由BP=CQ,可知
△DBP≌△AQC.
有DP=AC,BDP=QAC.
于是,DA∥BP,BAP=BDP.
则A、D、B、P四点共圆,且四边形ADBP为等腰梯形.故AB=DP.
所以AB=AC.
这里,通过作平行线,将QAC平推到BDP的位置.由于A、D、B、P四点共圆,使证明很顺畅.
例2 如图2,四边形ABCD为平行四边形,
BAF=BCE.求证：EBA=ADE.
证明：如图2,分别过点A、B作ED、EC
的平行线,得交点P,连PE.
由AB CD,易知△PBA≌△ECD.有
PA=ED,PB=EC.
显然,四边形PBCE、PADE均为平行四边形.有
BCE=BPE,APE=ADE.
由BAF=BCE,可知
BAF=BPE.
有P、B、A、E四点共圆.
于是,EBA=APE.
所以,EBA=ADE.
这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P、B、A、E四点共圆,紧密联系起来.APE成为EBA与ADE相等的媒介,证法很巧妙.
2 欲送线段到当处
利用平行线间距离相等、夹在平行线间的平行线段相等这两条,常可通过添加平行线,将某些线段送到恰当位置,以证题.
例3 在△ABC中,BD、CE为角平分线,P为ED上任意一点.过P分别作AC、AB、BC的垂线,M、N、Q为垂足.求证：
PM+PN=PQ.
证明：如图3,过点P作AB的平行线交BD
于F,过点F作BC的平行线分别交PQ、AC
于K、G,连PG.
由BD平行ABC,可知点F到AB、BC
两边距离相等.有KQ=PN.
显然, = = ,可知PG∥EC.
由CE平分BCA,知GP平分FGA.有PK=PM.于是,
PM+PN=PK+KQ=PQ.
这里,通过添加平行线,将PQ掐开成两段,证得PM=PK,就有PM+PN=PQ.证法非常简捷.
3 为了线段比的转化
由于平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的.
例4 设M1、M2是△ABC的BC边上的点,且BM1=CM2.任作一直线分别交AB、AC、AM1、AM2于P、Q、N1、N2.试证：
+ = + .
证明：如图4,若PQ∥BC,易证结论成立.
若PQ与BC不平行,设PQ交直线BC
于D.过点A作PQ的平行线交直线BC于
E.
由BM1=CM2,可知BE+CE=M1E+
M2E,易知
= , = ,
= , = .
则 + = = = + .
所以, + = + .
这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比通分,使公分母为DE,于是问题迎刃而解.
例5 AD是△ABC的高线,K为AD上一点,BK交AC于E,CK交AB于F.求证：FDA=EDA.
证明：如图5,过点A作BC的平行线,分
别交直线DE、DF、BE、CF于Q、P、
N、M.
显然, = = .
有BDAM=DCAN. (1)
由 = = ,有
AP= . (2)
由 = = ,有
AQ= . (3)
对比(1)、(2)、(3)有
AP=AQ.
显然AD为PQ的中垂线,故AD平分PDQ.
所以,FDA=EDA.
这里,原题并未涉及线段比,添加BC的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使AP与AQ的相等关系显现出来.
4 为了线段相等的传递
当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去.
例6 在△ABC中,AD是BC边上的中线,点M在AB边上,点N在AC边上,并且MDN=90.如果BM2+CN2=DM2+DN2,求证：AD2= (AB2+AC2).
证明：如图6,过点B作AC的平行线交ND
延长线于E.连ME.
由BD=DC,可知ED=DN.有
△BED≌△CND.
于是,BE=NC.
显然,MD为EN的中垂线.有
EM=MN.
由BM2+BE2=BM2+NC2=MD2+DN2=MN2=EM2,可知△BEM为直角三角形,MBE=90.有
ABC+ACB
=ABC+EBC=90.
于是,BAC=90.
所以,AD2= = (AB2+AC2).
这里,添加AC的平行线,将BC的以D为中点的性质传递给EN,使解题找到出路.
例7 如图7,AB为半圆直径,D为AB上一点,
分别在半圆上取点E、F,使EA=DA,FB=DB.
过D作AB的垂线,交半圆于C.求证：CD平
分EF.
证明：如图7,分别过点E、F作AB的垂线,G、H为垂足,连FA、EB.易知
DB2=FB2=ABHB,
AD2=AE2=AGAB.
二式相减,得
DB2-AD2=AB(HB-AG),
或 (DB-AD)AB=AB(HB-AG).
于是,DB-AD=HB-AG,
或 DB-HB=AD-AG.
就是DH=GD.
显然,EG∥CD∥FH.
故CD平分EF.
这里,为证明CD平分EF,想到可先证CD平分GH.为此添加CD的两条平行线EG、FH,从而得到G、H两点.证明很精彩.
经过一点的若干直线称为一组直线束.
一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等.
如图8,三直线AB、AN、AC构成一组直线束,DE是与BC平行的直线.于是,有
=
= ,
即 = 或 = .
此式表明,DM=ME的充要条件是
BN=NC.
利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮.
例8 如图9,ABCD为四边形,两组对边延长
后得交点E、F,对角线BD∥EF,AC的延长
线交EF于G.求证：EG=GF.
证明：如图9,过C作EF的平行线分别交AE、
AF于M、N.由BD∥EF,可知MN∥BD.易知
S△BEF=S△DEF.
有S△BEC=S△ⅡKG- *5ⅡDFC.
可得MC=CN.
所以,EG=GF.
例9 如图10,⊙O是△ABC的边BC外的旁
切圆,D、E、F分别为⊙O与BC、CA、AB
的切点.若OD与EF相交于K,求证：AK平
分BC.
证明：如图10,过点K作BC的行平线分别
交直线AB、AC于Q、P两点,连OP、OQ、
OE、OF.
由ODBC,可知OKPQ.
由OFAB,可知O、K、F、Q四点共圆,有
FOQ=FKQ.
由OEAC,可知O、K、P、E四点共圆.有
EOP=EKP.
显然,FKQ=EKP,可知
FOQ=EOP.
由OF=OE,可知
Rt△OFQ≌Rt△OEP.
则OQ=OP.
于是,OK为PQ的中垂线,故
QK=KP.
所以,AK平分BC.
综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.
练习题
1. 四边形ABCD中,AB=CD,M、N分别为AD、BC的中点,延长BA交直线NM于E,延长CD交直线NM于F.求证：BEN=CFN.
(提示：设P为AC的中点,易证PM=PN.)
2. 设P为△ABC边BC上一点,且PC=2PB.已知ABC=45APC=60.求ACB.
(提示：过点C作PA的平行线交BA延长线于点D.易证△ACD∽△PBA.答：75)
3. 六边开ABCDEF的各角相等,FA=AB=BC,EBD=60,S△EBD=60cm2.求六边形ABCDEF的面积.
(提示：设EF、DC分别交直线AB于P、Q,过点E作DC的平行线交AB于点M.所求面积与 EMQD面积相等.答：120cm2)
4. AD为Rt△ABC的斜边BC上的高,P是AD的中点,连BP并延长交AC于E.已知AC:AB=k.求AE:EC.
(提示：过点A作BC的平行线交BE延长线于点F.设BC=1,有AD=k,DC=k2.答： )
5. AB为半圆直径,C为半圆上一点,CDAB于D,E为DB上一点,过D作CE的垂线交CB于F.求证： = .
(提示：过点F作AB的平行线交CE于点H.H为△CDF的垂心.)
6. 在△ABC中,B:C=4:2:1,A、B、C的对边分别为a、b、c.求证： + = .
(提示：在BC上取一点D,使AD=AB.分别过点B、C作AD的平行线交直线CA、BA于点E、F.)
7. 分别以△ABC的边AC和BC为一边在△ABC外作正方形ACDE和CBFG,点P是EF的中点.求证：P点到边AB的距离是AB的一半.
8. △ABC的内切圆分别切BC、CA、AB于点D、E、F,过点F作BC的平行线分别交直线DA、DE于点H、G.求证：FH=HG.
(提示：过点A作BC的平行线分别交直线DE、DF于点M、N.)
9. AD为⊙O的直径,PD为⊙O的切线,PCB为⊙O的割线,PO分别交AB、AC于点M、N.求证：OM=ON.
(提示：过点C作PM的平行线分别交AB、AD于点E、F.过O作BP的垂线,G为垂足.AB∥GF.)
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