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数学竞赛平面几何讲座：三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.
一、外心.
三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.
例1.过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M;引PN∥BA交AC于N.作点P关于MN的对称点P.试证：P点在△ABC外接圆上.
分析：由已知可得MP=MP=MB，NP=NP
=NC，故点M是△PBP的外心，点
N是△PPC的外心.有
BPP= BMP= BAC，
PPC= PNC= BAC.
BPC=BPP+PPC=BAC.
从而，P点与A，B，C共圆、即P在△ABC外接圆上.
由于PP平分BPC，显然还有
PB:PC=BP:PC.
例2.在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似.
分析：设O1，O2，O3是△APS，△BQP，
△CSQ的外心，作出六边形
O1PO2QO3S后再由外
心性质可知
PO1S=2A，
QO2P=2B，
SO3Q=2C.
PO1S+QO2P+SO3Q=360.从而又知O1PO2+
O2QO3+O3SO1=360
将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3，易判断△KSO1≌△O2PO1，同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.
O2O1O3=KO1O3= O2O1K
= (O2O1S+SO1K)
= (O2O1S+PO1O2)
= PO1S=
同理有O1O2O3=B.故△O1O2O3∽△ABC.
二、重心
三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每
条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.
例3.AD，BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点.证明：在△PAD，△PBE，△PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和.
分析：设G为△ABC重心，直线PG与AB
，BC相交.从A，C，D，E，F分别
作该直线的垂线，垂足为A，C，
D，E，F.
易证AA=2DD，CC=2FF，2EE=AA+CC，
EE=DD+FF.
有S△PGE=S△PGD+S△PGF.
两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF.
例4.如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.
分析：将△ABC简记为△，由三中线AD，BE，CF围成的三角形简记为△.G为重心，连DE到H，使EH=DE，连HC，HF，则△就是△HCF.
(1)a2，b2，c2成等差数列 △∽△.
若△ABC为正三角形，易证△∽△.
不妨设ac，有
CF= ，
BE= ，
AD= .
将a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得
CF= ，BE= ，AD= .
CF:BE:AD = : :
=a:b:c.
故有△∽△.
(2)△∽△ a2，b2，c2成等差数列.
当△中ac时，
△中CFAD.
∵△∽△，
=( )2.
据三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的 ，有 = .
= 3a2=4CF2=2a2+b2-c2
a2+c2=2b2.
三、垂心
三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.
例5.设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为
△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.
分析：连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径
为R.由△A2A3A4知
=2R A2H1=2Rcos
由△A1A3A4得
A1H2=2RcosA3A1A4.
但A3A2A4=A3A1A4，故A2H1=A1H2.
易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1 A1H2，
故得H1H2 A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M，故H1H2与A1A2关于M点成中心对称.
同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与O也关于M成中心对称.由O，M两点，Q点就不难确定了.
例6.H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H为圆心的⊙H交直线EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2.
求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.
分析：只须证明AA1=BB1=CC1即可.设
BC=a， CA=b，AB=c，△ABC外
接圆半径为R，⊙H的半径为r.
连HA1，AH交EF于M.
A =AM2+A1M2=AM2+r2-MH2
=r2+(AM2-MH2)， ①
又AM2-HM2=( AH1)2-(AH- AH1)2
=AHAH1-AH2=AH2AB-AH2
=cosAbc-AH2， ②
而 =2R AH2=4R2cos2A,
=2R a2=4R2sin2A.
AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. ③
由①、②、③有
A =r2+ bc-(4R2-a2)
= (a2+b2+c2)-4R2+r2.
同理， = (a2+b2+c2)-4R2+r2，
= (a2+b2+c2)-4R2+r2.
故有AA1=BB1=CC1.
四、内心
三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：
设I为△ABC的内心，射线AI交△ABC外接圆于A，则有A I=AB=AC.换言之，点A必是△IBC之外心(内心的等量关系之逆同样有用).
例7.ABCD为圆内接凸四边形，取
△DAB，△ABC，△BCD，
△CDA的内心O1， O2，O3，
O4.求证：O1O2O3O4为矩形.
(1986，中国数学奥林匹克集训题)
证明见《中等数学》1992;4
例8.已知⊙O内接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F且与⊙O内切.试证：EF中点P是△ABC之内心.
分析：在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB=AC.当ABAC，怎样证明呢?
如图，显然EF中点P、圆心Q，BC中点K都在BAC平分线上.易知AQ= .
∵QKAQ=MQQN，
QK=
= = .
由Rt△EPQ知PQ= .
PK=PQ+QK= + = .
PK=BK.
利用内心等量关系之逆定理，即知P是△ABC这内心.
五、旁心
三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于
一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，
旁心还与三角形的半周长关系密切.
例9.在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.
式中r，ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与a，b，c相切的旁切圆半径，p表示半周.
分析：设Rt△ABC中，c为斜边，先来证明一个特性：
p(p-c)=(p-a)(p-b).
∵p(p-c)= (a+b+c) (a+b-c)
= [(a+b)2-c2]
= ab;
(p-a)(p-b)= (-a+b+c) (a-b+c)
= [c2-(a-b)2]= ab.
p(p-c)=(p-a)(p-b). ①
观察图形，可得
ra=AF-AC=p-b，
rb=BG-BC=p-a，
rc=CK=p.
而r= (a+b-c)
=p-c.
r+ra+rb+rc
=(p-c)+(p-b)+(p-a)+p
=4p-(a+b+c)=2p.
由①及图形易证.
例10.M是△ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是△AMC，△BMC，△ABC内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在ACB内部的旁切圆半径.证明： = .
(IMO-12)
分析：对任意△ABC，由正弦定理可知
OD=OA
=AB
=AB ，
OE= AB .
.
亦即有
=
= = .
六、众心共圆
这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心;(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.
例11.设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1)AD，BE，CF三条对角线交于一点;
(2)AB+BC+CD+DE+EF+FAAK+BE+CF.
分析：连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是△ACE的三条内角平分线，I为△ACE的内心.从而有ID=CD=DE，
IF=EF=FA，
IB=AB=BC.
再由△BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用 不等式有：
BI+DI+FI(IP+IQ+IS).
不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS.
BI+DI+FIIA+IE+IC.
AB+BC+CD+DE+EF+FA
=2(BI+DI+FI)
(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)
=AD+BE+CF.
I就是一点两心.
例12.△ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是△ACD的重心.证明OE丄CD.
分析：设AM为高亦为中线，取AC中点
F，E必在DF上且DE:EF=2:1.设
CD交AM于G，G必为△ABC重心.
连GE，MF，MF交DC于K.易证：
DG:GK= DC:( )DC=2:1.
DG:GK=DE:EF GE∥MF.
∵OD丄AB，MF∥AB，
OD丄MF OD丄GE.但OG丄DE G又是△ODE之垂心.
易证OE丄CD.
例13.△ABC中C=30，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.求证：OI丄DE，OI=DE.
分析：辅助线如图所示，作DAO平分线交BC于K.
易证△AID≌△AIB≌△EIB，
AID=AIB=EIB.
利用内心张角公式，有
AIB=90C=105，
DIE=360-1053=45.
∵AKB=30DAO
=30+ (BAC-BAO)
=30+ (BAC-60)
= BAC=BAI=BEI.
AK∥IE.
由等腰△AOD可知DO丄AK，
DO丄IE，即DF是△DIE的一条高.
同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE.
由DIE=IDO，易知OI=DE.
例14.锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心到三边距
离和为d重，垂心到三边距离和为d垂.
求证：1d垂+2d外=3d重.
分析：这里用三角法.设△ABC外接圆
半径为1，三个内角记为A，B，
C. 易知d外=OO1+OO2+OO3
=cosA+cosB+cosC，
2d外=2(cosA+cosB+cosC). ①
∵AH1=sinBAB=sinB(2sinC)=2sinBsinC，
同样可得BH2CH3.
3d重=△ABC三条高的和
=2(sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB) ②
=2，
HH1=cosCBH=2cosBcosC.
同样可得HH2，HH3.
d垂=HH1+HH2+HH3
=2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB) ③
欲证结论，观察①、②、③，
须证(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB.即可.
练 习 题
1.I为△ABC之内心，射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A，
B，C .则AA+BB+CC△ABC周长.
2.△T的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.
3.I为△ABC的内心.取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1，O2，O3.求证：△O1O2O3与△ABC有公共的外心.(
4.AD为△ABC内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O1，O2.则△OO1O2是等腰三角形.
5.△ABC中90，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.(IMO-7)
6.△ABC的边BC= (AB+AC)，取AB，AC中点M，N，G为重心，I为内心.试证：过A，M，N三点的圆与直线GI相切.
7.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3.已知：H1，H2，H3，求作△ABC.
8.已知△ABC的三个旁心为I1，I2，I3.求证：△I1I2I3是锐角三角形.
9.AB，AC切⊙O于B，C，过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证：(1)△AEF与△ABC有公共的内心;(2)△AEF与△ABC有一个旁心重合
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