1. 知识结构:
2. 重点、难点分析
(1)本节的重点是会用判别式判定根的情况.一元二次方程的根的判别式是比较重要的,用它可以判断一元二次方程根的情况,有助于我们顺利地解一元二次方程,也可以利用它进一步学习函数的有关内容,所以,它是本节课的重点.
(2)本节的难点是一元二次方程根的三种情况的推导.教科书首先将一元二次方程用配方法变形为 .因为,所以方程右边的符号就由来确定,而方程左边的不可能是一个负数,因此,把分三种情况来讨论方程根的情况.推导过程中利用了分类的思想方法,对于分类讨论学生感觉到较难,老师应该讲明分类的基本思想。
3. 教法建议:
(1)引入要自然、合理
新课引入前,作一个铺垫:前面我们讲了一元二次方程的解法,我们掌握了开平方法、公式法和因式分解法后,就可以解任何一个一元二次方程,但是,存在这样一个问题,并不是所有的一元二次方程都有解,我们可以通过把解求出来,来解方程,也可以通过判定方程无解,来解方程,这样我们就面临着一个问题,什么时候方程有解?什么时候方程无解?我们不解方程能不能判定根的情况?那就是我们本节所要研究的问题.让学生首先感觉到所要学习的知识并不突然,也显露了本节课的重点.
(2)利用多媒体进行教学
本节是根的判别式结论的推导,比较抽象,为了便于学生理解,使用所提供的动画,有助于学生对所讲内容的理解,调动学生主动思维的积极性,活跃课堂气氛,提高学习效率.
(3)本节在推导根的判别式的结论时,利用了分类的思想,对于学生这是一个难点,一定给学生讲清楚分类的依据,分类的基本思想,使学生对所得结论深信不疑.
一、教学目标
1. 理解一元二次方程的根的判别式,并能用判别式判定根的情况;
2. 通过根的判别式的学习,培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力;
3.通过根的情况的研究过程,让学生深刻体会转化和分类的思想方法.
二、重点难点及解决办法
1.教学重点:会用判别式判定根的情况。
2.教学难点 :一元二次方程根的三种情况的推导.
3.解决办法:(1)求判别式时,应先将方程化为一般形式,确定a、b、c。(2)利用判别式可以判定一元二次方程的存在性情况(共四种);方程有两个实数根,方程有两个不相等的实数根,方程有两个相等的实数根,方程没有实数根。
三、教学步骤
(一)教学过程
1.复习提问
(1)平方根的性质是什么?
(2)解下列方程:① ;② ;③ 。
问题(1)为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用。问题(2)通过自己亲身感受的根的情况,对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用。
2.任何一个一元二次方程 用配方法将其变形为 ,因此对于被开方数 来说,只需研究 为如下几种情况的方程的根。
(1)当 时,方程有两个不相等的实数根。
即
(2)当 时,方程有两个相等的实数根,即 。
(3)当 时,方程没有实数根。
教师通过引导之后,提问:究竟谁决定了一元二次方程根的情况?
答: 。
3.①定义:把 叫做一元二次方程 的根的判别式,通常用符号 表示。
②一元二次方程 。
当 时,有两个不相等的实数根;
当 时,有两个相等的实数根;
当 时,没有实数根。
反之亦然。
注意以下几个问题:
(1) 这一重要条件在这里起了承上启下的作用,即对上式开平方,随后有下面三种情况。正确得出三种情况的结论,需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解,所以,在课前进行了铺垫。在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法。
(2)当 ,说方程 没有实数根比较好。有时,也说方程无解。这里的前提是在实数范围内无解,也就是方程无实数根的意思。
4.例题讲解
例1 不解方程,判别下列方程的根的情况:
(1) ;(2) ;(3) 。
解:(1)
原方程有两个不相等的实数根。
(2)原方程可变形为
。
,
原方程有两个相等的实数根。
(3)原方程可变形为
。
原方程没有实数根。
学生口答,教师板书,引导学生总结步骤,(1)化方程为一般形式,确定a、b、c的(2)计算 的值;(3)判别根的情况。
强调两点:(1)只要能判别 值的符号就行,具体数值不必计算出。(2)判别根据的情况,不必求出方程的根。
练习:不解方程,判别下列方程的情况:
(1) ;(2) ;
(3) ;(4) ;
(5) ;(6)
学生板演、笔答、评价。
(4)题可去括号,化一般式进行判别,也可设 ,判别方程 根的情况,由此判别原方程根的情况。
例2 不解方程,判别方程 的根的情况。
解: 。
又 ∵ 不论k取何实数, ,
原方程有两个实数根。
教师板书,引导学生回答。此题是含有字母系数的一元二次方程。注意字母的取值范围,从而确定 的取值。
练习:不解方程,判别下列方程根的情况。
(1) ;
(2) ;
(3) 。
学生板演、笔答、评价。教师渗透、点拨。
(3)解:
∵ 不论m取何值, ,即 。
方程无实数解。
由数字系数,过渡到字母系数,使学生体会到由具体到抽象,并且注意字母的取值。
(二)总结、扩展
1.判别式的意义及一元二次方程根的情况。
(1)定义:把 叫做一元二次方程 的根的判别式,通常用符号 表示。
(2)一元二次方程 。
当 时,有两个不相等的实数根;
当 时,有两个相等的实数根;
当 时,没有实数根。反之亦然。
2.通过根的情况的研究过程,深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法。
四、布置作业
教材P27A1~4。
5.不解方程,判断下x的方程的根的情况
(1)
(2)
五、板书设计