注意事项:请本卷共21道小题,满分150分,时间120分钟。
一、选择题(每小题5分,共10小题,满分50分)
1.设集合 , , 则( D )
A. B. C. D.
2.“ ”是“ ”的( B )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 已知 , 则 ( B )
A. B. C. D.
4. 已知函数 , 则下列结论正确的是 (C )
A. 是偶函数 B. 是增函数
C. 的值域为[-1,+∞) D. 是周期函数
5. 已知命题 ,命题 : .下面结论正确的是( D )
A.命题“ ”是真命题 B. 命题“ ”是假命题
C.命题 “ ”是真命题 D.命题“ ”是假命题
6.曲线 与直线 及 所围成的封闭图形的面积为( D )
A. B. C. D.
7.已知函数 的定义域为 ,值域为 ,则 的值不可能是( A )
A. B. C. D.
8.若函数 的图象
如图所示,则 等于( B )
A.
B.
C.
D.
9.已知定义在R上的奇函数 和偶函数 满足 ,若 ,则 ( B )
A. B. C. D.
10. 已知方程 有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是(B)
A. B. C. D.
二、选择题(每小题5分,共7小题,满分35分)
11. . [答案]
12. 已知幂函数 在 处有定义,则实数 .
答案:2
13.曲线 在点 处的切线的斜率为 .
答案:
14.若函数 在 内有极小值,则实数 的取值范围是 .
答案:
15. 已知函数 是定义在 上的奇函数,当 时, 给出以下命题:
①当 时, ;
②函数 有五个零点;
③若关于 的方程 有解,则实数 的取值范围是 ;
④ 恒成立.
其中,正确命题的序号是 .
【答案】①④.
由图可知,若关于 的方程 有解,则 ,且对
恒成立.
三、解答题(本大题共6小题, 满分75分)
16、(本题满分12分)
设 是单位圆和 轴正半轴的交点, , 是单位圆上两点, 是坐标原点,且 ,
, .
(1)若点 的坐标是 其中 ,求 的值.
(2)设 , 函数 ,求 的值域.
解:(1)由 ,
. …..3分
所以 = . …..6分
(2)由已知有 , …..8分
因为 ,则 ,所以 .
故 的值域是 . …..12分
17、(本题满分12分)
已知函数 满足 ,对任意 都有 ,且 .
(1)求函数 的解析式.
(2)是否存在实数 ,使函数 在 上为减函数?若存在,求出实数 的取值范围;若不存在,说明理由.
∴ 图像的对称轴为直线 ,则 ,∴ ……………2分
18、(本题满分12分)
如图,已知在直四棱柱 (侧棱垂直底面的棱柱)中, , , .
(1)求证: 平面 .
(2)求 与平面 所成的角的的正弦值.
解法一:
(1)设 是 的中点,连结 ,则四边形
为正方形,
.故 , , ,
,即 .……….. 2分
又 , ……..3分
平面 , …….5分
(2)由(1)知 平面 ,
又 平面 , ,
取 的中点 , 连结 ,又 ,
则 .
取 的中点 ,连结 ,则 ,
. 平面 ,
则过 向平面 引垂线,垂足必落在 上
为直线 与平面 所成的角……8分
连结 ,在 中, , ,
取 的中点 ,连结 , ,
在 中, , , . ………..10分
.
与平面 所成的角的的正弦值为 . ………..12分
解法二:
(1)以 为原点, 所在直线分别为 轴, 轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 , , , ,
, . ….. 2分
, …..3分
又因为
所以, 平面 . ………..5分
(2)设 为平面 的一个法向量.
由 , ,
得 取 ,则 . ……….8分
又 …….9分
设 与平面 所成的角为 ,则 ,
即 与平面 所成的角的的正弦值 . ………..12分
19、(本题满分13分)
如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的点 的距离是 ,从点 沿海岸正东 处有一个城镇。假设一个人驾驶的小船的平均速度为 ,步行的速度是 ,用 (单位: )表示他从小岛到城镇的时间, (单位: )表示此人将船停在海岸处距 点的距离。
(1)请将 表示为 的函数 .
(2)将船停在海岸处距点 多远时从小岛到城镇所花时间最短?最短时间是多少?
解:
(1)
………5分
(2) ………7分
,
令 得 . ………9分
当 时, , 单调递减; 当 时, , 单调递增. ……11分
故当 时, 最小,且最短时间为 . ………13分
20、(本题满分13分)
(1)用导数证明: 若 ,则 .
(2)若 对 恒成立,求 的最大值与 的最小值.
解:(1)设f(x) = x - sinx,g(x) = tanx - x,x∈(0,π/2) f'(x) = 1 - cosx 0 g'(x) = (1/cos²x) - 1 0 由
于f(x)和g(x)在(0,π/2)上都是单调递增函数 所以f(x) f(0) = 0,g(x) g(0) = 0 == x - sinx
0 , tanx - x x sinx ,tanx x ∴sinx tanx,x∈(0,π/2) ………6分
(2)当x0时,“sin xxa”等价于“sin x-ax0”,“sin xx