选择题部分(共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1. 已知全集 ,集合 , 若 ,则 等于( )
A. B. C. 或 D. 或
2. 已知 是实数, 是纯虚数,则 =( )
A. B. C. D.
3.已知数列 的前 项和 ,则数列 的通项公式为( )
A. B.
C. D.
4.有关命题的说法中正确的是( )
A.命题“若 ,则 ”的逆否命题为“若 ,则 ”;
B.命题“若 ,则 ”的 形式是“若 ,则 ”;
C.若 为真命题,则 、 至少有一个为真命题;
D.对于命题 存在 ,使得 ,则 对任意 ,均有 。
5. 如图,一个棱柱的正视图和侧视图分别是矩
形和正三角形,则这个三棱柱的俯视图为( )
6.若对正数 ,不等式 都成立,则 的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知 的三内角 、 、 所对边长分别为是 、 、 ,设向量 , ,若 ,则角 的大小为( )
A. B. C. D.
8.已知各项均为正数的的等比数列 的前 项和为 ,若 , ,则 的公比 等于( )
A. B. C. 或 D.
9.定义在R上的偶函数 满足 ,且在 上是减函数, 是钝角三角形的两个锐角,则下列不等式中正确的是( )
A. B.
C. D.
10.点 是函数 的图象上任意一点,则点 到直线 的最小距离是 .
A. B. C. D.
非选择题部分(共100分)
注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上.
2.在答题纸上作图,可先使用2B铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.
二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.已知向量 ,若 ,则 .
12.设数列 是首项为 ,公比为 的等比数列,则 .
13.一个底面是等腰直角三角形的直棱柱,侧棱长与
底面三角形的腰长相等,其体积为4,它的三视图中
俯视图如右图所示,侧视图是一个矩形,则这个矩形的对角线长为 .
14.在数列 中, ,若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素 ,( )则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为 。
15.在平面直角坐标系 上的区域 由不等式组 给定,若 为 上的动点,点 的坐标为 ,则 的最大值为 .
16.“无字证明”(proofs without words)就是
将数学命题用简单、有创意而且易于理解的
几何图形来呈现。请利用图1、图2中大矩
形内部阴影部分的面积关系,写出该图所验
证的一个三角恒等变换公式: .
17.已知函数 ,给出下列五个说法:
① ;②若 ,则 ;③ 在区间 上单调递增; ④将函数 的图象向右平移 个单位可得到 的图象;⑤ 的图象关于点 成中心对称.其中正确说法的序号是 .
三、解答题(本大题包括6个小题,共75分。解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
18.(本小题12分)
已知函数 , .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若 , ,求 。
19.(本小题满分12分)
铁矿石 和 的含铁率为 ,冶炼每万吨铁矿石 的排放量 及每万吨铁矿石的价格 如表:
(万吨) (万元)
50% 1 300
70% 0.5 600
某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁,若要求 的排放量不超过2万吨,则购买铁矿石的最少费用是多少?
20.(本小题13分)
如图4,在四棱锥 中,底面 为菱形,其中 , , 为 的中点.
(Ⅰ) 求证: ;
(Ⅱ) 若平面 平面 ,且 为
的中点,求四棱锥 的体积.
21.(本小题满分14分)
若数列 的前 项和为 ,对任意正整数 都有 ,记
(Ⅰ)求 , 的值;
(Ⅱ)求数列 的通项公式;
(Ⅲ)若 求证:对任意 .
22.(本小题满分14分)已知 , 是实数,函数 , , 和 分别是 , 的导函数,若 在区间 上恒成立,则称 和 在区间 上单调性一致.
(Ⅰ)设 ,若函数 和 在区间 上单调性一致,求实数 的取值范围;
(Ⅱ)设 且 ,若函数 和 在以 , 为端点的开区间上单调性一致,求 的最大值.
参考答案
1.答案:D解析:由题意知 ,欲使 ,则 或 。
2.答案:B解析: 是纯虚数,所以 。
3.答案:C解析:,当 时, ,当 时, 。
4.答案:D解析:对于A:逆否命题是“若 ,则 ”,对于B:非 形式不是将条件和结论都同时进行否定;对于C:( )或( )为真命题,其否定形式“ 且 ”为假命题,则 、 至少有一个为假命题;对于D是正确的。
5.答案:D解析:由正视图和侧视图可知,这是一个水平放置的一个正三棱柱,底面三角形的高为 ,底面边长为 。
6.答案:D解析:因为 ,所以 可以化为 ,由基本不等式的性质得:
,即 的最小值为 。
7.答案:A解析:因为 ,所以 ,根据正弦定理,上式可化为 ,所以 ,所以 .
8.答案:B解析:由题意可知 ,即 ,消去 的 ,解得 或者 ,又数列各项均为正数,所以 应舍去。
9.答案:D解析:由题意可知,函数 周期为2,所以函数在 上为减函数,又因为是偶函数,所以在 内为增函数,而 ,则 ,所以 。
10.答案:B 解析:由几何特征知,点 是切点时,距离最小,设 ,由 ,解得 ( 舍去),即切点是 ,所以 = 。
11.答案: 解析: ,算得 。
12.答案:15解析:依题意就是求一个公比为2的等比数列的前四项。
13.答案: 解析:设底面的等腰直角三角形的腰长为 ,则侧棱长也为 ,则 ,解得 ,则其侧视图是一个长为 ,宽为 的矩形,其对角线长为 。
14.答案:18解析: ,( ),所以只需找 的数值的个数即可,最大为 ,最小为 。
15.答案:3 解析:先画出D所表示的区域,见右图 , ,因为 ,故只需找出 在 方向上
投影的最大值即可,取与 垂直的直线平移得到当
与 重合时复合题意,所以 。
16.解析:两个图的阴影部分面积相等,左边大矩形面积为:
,减去四个小直角三角形的面积得: ,右边图中阴影部分面积等于: 。
17.答案:①④【解析】 .①正确, ;②错误:由 ,知 或 ;③错误:令 ,得 ,由复合函数性质知 在每一个闭区间 上单调递增,但 ,故函数 在 上不是单调函数;④正确:将函数 的图象向右平移 个单位可得到 ;⑤错误:函数的对称中心的横坐标满足 ,解得 ,即对称中心坐标为 ,则点 不是其对称中心。
18.解析:(Ⅰ) ;
(Ⅱ) ,且 ,所以 ,
19.解析:可设需购买 矿石 万吨, 矿石 万吨,则根据题意得约束条件: ,目标函数为 ,作图可知在点 处目标函数去的最小值,最小值为 万元。
答:购买铁矿石的最少费用是1500万元。
20.解析:解:(Ⅰ) , 为中点, …………1分
连 ,在 中, , , 为等边三角形,
为 的中点, , …………2分
, 平面 , 平面 ,
(三个条件少写一个不得该步骤分) …………3分
平面 . …………4分
(Ⅱ)连接 ,作 于 . …………5分
, 平面 ,
平面 平面ABCD ,
平面 平面ABCD,
, …………6分
,
…………7分
. …………8分
, …………9分
又 , . …………10分
在菱形 中, ,
方法一: , …………11分
. …………12分
. …………13分
方法二:
, …………11分
, …………12分
…………14分
21.解:(Ⅰ)由 ,得 ,解得 . …………1分
,得 ,解得 . …………3分
(Ⅱ)由 ……①,
当 时,有 ……②, …………4分
①-②得: ,…………5分
数列 是首项 ,公比 的等比数列…………6分
,…………7分
.…………8分
(Ⅲ) ,
, ……(1)
, ……(2)
…………,
,
, …………( )…………9分
(1)+(2)+ ……+( )得 , ……10分
, ,当 时, 也满足上式,
所以 …………11分
,…………12分
,…………13分
, 对任意 均成立.…………14分
22.解析:由已知,f '(x)=3x2+a,g'(x)=2x+b,a,bR;
(Ⅰ)由题设“单调性一致”定义知,f '(x)g'(x)0在区间[-1,+)上恒成立,即 (3x2+a)(2x+b)0在区间[-1,+)上恒成立,因为a>0,所以,3x2+a>0,所以,2x+b0在区间[-1,+)上恒成立,
即,b-2x在区间[-1,+)上恒成立,而y=-2x在[-1,+)上最大值ymax=-2(-1)=2,
所以,b2,即b[2,+);
(Ⅱ)由“单调性一致”定义知,f '(x)g'(x)0在以a,b为端点的开区间上恒成立,即 (3x2+a)(2x+b)0在以a,b为端点的开区间上恒成立,因a<0,所以,由(3x2+a)(2x+b)=0,得x1=--a3,x2=-a3,x3=-b2;
①若b>0,则开区间为(a,b),取x=0,由f '(0)g'(0)=ab<0知,f(x)和g(x)在区间(a,b)上单调性不一致,不符合题设;
②若b0,因x2,x3均为非负,故不在以a,b为端点的开区间内;所以,只有x1可能在区间上;
由f '(x)g'(x)0在以a,b为端点的区间上恒成立,知x1=--a3要么不小于a,b中的大者,要么不大于a,b中的小者;因为a,b都不大于0,所以,(2x+b)0,所以,由f '(x)g'(x) 0知(3x2+a)0,所以--a3x0;
当0>a>b--a3时,由f '(x)g'(x)0在区间(b,a)上恒成立,即(3x2+a)(2x+b)0在区间(b,a)上恒成立,知|a-b|最大值为|a+-a3|,而由a>--a3解得a>-13;此时,|a+-a3|=|-(-a)2+13-a|,配方后知,取不到最大值;
当0b>a--a3时,显然,此时,当b=0,a=--a3,即b=0,a=-13时,|a-b|取得最大值|0-(-13)|=13;综上,|a-b|的最大值为13。