湖北2015届高三数学上期第二次月考试卷(理有答案)
选择题部分(共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知全集 ,集合 , 若 ，则 等于( )
A. B. C. 或 D. 或
2. 已知 是实数， 是纯虚数，则 =( )
A. B. C. D.
3.有关命题的说法中正确的是( )
A.命题若 ，则 的逆否命题为若 ，则
B.命题若 ，则 的 形式是若 ，则
C.若 为真命题，则 、 至少有一个为真命题;
D.对于命题 存在 ，使得 ，则 对任意 ，均有 。
4.函数 具有如下性质： ，则函数 ()
A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数，又是偶函数 D.既不是奇函数，又不是偶函数
5.已知 的三内角 、 、 所对边长分别为是 、 、 ，设向量 ， ，若 ，则角 的大小为( )
A. B. C. D.
6.若 ,则函数 的两个零点分别位于( )
A. 和 内 B. 和 内
C. 和 内 D. 和 内
7. 已知函数 的图象如图所示，则函数 的图像可能是( )
8.定义在R上的偶函数 满足 ，且在 上是减函数， 是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是( )
A. B.
C. D.
9.已知函数 则下列结论正确的( )
A. 在 上恰有一个零点 B. 在 上恰有两个零点
C. 在 上恰有一个零点 D. 在 上恰有两个零点
10.已知函数 若存在 ，使得关于 的方程 有三个不相等的实数根，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
非选择题部分(共100分)
二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.已知 ， ，那么 = .
12.已知向量 ，若 ，则 .
13.在平面直角坐标系 上的区域 由不等式组 给定，若 为 上的动点，点 的坐标为 ，则 的最大值为 .
14.求方程 的解有如下解题思路：设 ，则 在 上单调递减，且 ，所以原方程有唯一解 .类比上述解题思路，方程 的解集为 .
15.给出以下四个命题，其中所有正确命题的序号为： .
○1已知等差数列 的前 项和为 ， ， 为不共线向量，又 ，若 、 、 三点共线，则 ;○2 是函数 的最小正周期为4的充要条件;○3设函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 ;○4已知函数 ，若 ，且 ，则动点 到直线 的距离的最小值为1.
三、解答题(本大题包括6个小题，共75分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16.(本小题12分)已知函数 ， .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若 ， ，求 。
17.(本小题12分)已知 函数 在 内有且仅有一个零点;命题 在区间 内恒成立。若命题 是假命题，求实数 的取值范围。
18.(本小题12分)已知向量 ， (其中 )，函数 ，若 相邻两对称轴间的距离为 。
(Ⅰ)求 的值，并求 的最大值及相应的 的集合;
(Ⅱ)在 中， 、 、 分别是 、 、 所对的边， 的面积 ， ，求边 的长。
19.(本小题12分)为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本 (万元)与处理量 (吨)之间的函数关系可近似的表示为：
，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品。
(Ⅰ)当 时，判断该技术改进能否获利?如果能获利，求出最大利润;如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不会亏损?
(Ⅱ)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少?
20.(本小题满分13分)如图,在等腰直角三角形
中, , ,点 在线段 上。
(Ⅰ)若 ，求 的长;
(Ⅱ)若点 在线段 上,且 ;
问：当 取何值时, 的面积最小?并求出面积的最小值.
21.(本小题满分14分)
已知函数 .
(Ⅰ)若 ，讨论 的单调性;
(Ⅱ)当 时，若 恒成立，求满足条件的正整数 的值;
(Ⅲ)求证： .
参考答案
1.答案：D解析：由题意知 ，欲使 ，则 或 。
2.答案：B解析： 是纯虚数，所以 。
3.答案：D解析：对于A：逆否命题是若 ，则 ，对于B：非 形式不是将条件和结论都同时进行否定;对于C： 为真命题，其否定形式 且 为假命题，则 、 至少有一个为假命题;对于D是正确的。
4.答案：B解析：由题意可知 ，故 是一个偶函数。
5.答案：A解析：因为 ，所以 ，根据正弦定理，上式可化为 ，所以 ，所以 .
6.答案：A解析： ， ， ，这是一个二次函数。
7.答案：C解析：由图可知周期扩大，所以 ，而且 ，所以 为减函数，而且定义域为 。
8.答案：D解析：由题意可知，函数 周期为2，所以函数在 上为减函数，又因为是偶函数，所以在 内为增函数，而 ，则 ，所以 。
9.答案：C解析：可以求得 ，令 得
，分析可以知道左边是一个偶函数，右边是一个奇函数，且左边比右边多一项，即 时总有 ， 为增函数，且 ，排除选项A和B，当 时，依然有 ， 为增函数， 。
10.答案：B解析：方程 等价于 ，故本题等价于函数 和函数 有三个交点，分 和 两种情形画出 的图像， 是一组斜率为 的直线，欲使两函数有三个交点，则必位于切线和过点 的直线之间的所有直线。经计算可得。
11.答案： 解析：由题意可知 ，所以 。
12.答案： 解析： ，算得 。
13.答案：3解析：先画出D所表示的区域，见右图 ， ，因为 ，故只需找出 在 方向
上投影的最大值即可，取与 垂直的直线平移得到
当 与 重合时复合题意，所以
。
14.答案：{﹣1，2}解析：构造函数 ，是一个奇函数，且为增函数，由方程 得 ，解得答案：{﹣1，2}。
15.答案：○1○3解析：○1中，由于 、 、 三点共线，所以 中的 ， ;○2中， ，而函数 的最小正周期为4等价于 ，所以不是充要条件，是充分不必要条件;○3函数 在区间 上是一个增函数，而且 是一个奇函数，令 ，所以○4根据函数 的图象，结合 ，且 ，可得 ，， ， ， ( )其图象为一段圆弧，由于弧 ( )到直线 的距离最小的点为 ，但弧不含点 ，故○4错误。
16.解析：(Ⅰ)
(Ⅱ) ，且 ，所以 ，
17.解析：对于 ，解得：
，解得 或 ，
端点值代入检验得： 或 ;
对于 令 ，则 ，解得 ;
因为命题 或 是假命题，所以 和 均为假命题，可得实数 的取值范围为： 。
18.解析：(Ⅰ)由题意得， ，化简得， ，
由周期为 可得， ，所以 ，即 ;
令 ，可得 ，即 ，取最大值时 的取值集合为 ;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ，所以 ，解得 ，
，又因为 ，计算得 ， 。
19.解析：(Ⅰ)当 时，设该工厂获利为 ，则
，所以当 时， ，因此，该工厂不会获利，所以国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损;
(Ⅱ)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为
(1)当 时， ，所以 ，因为 ，所以当 时， ， 为减函数;当 时， ， 为增函数，所以当 时， 取得极小值 。
(2)当 时， ，当且仅当 ，即 时， 取最小值 ，因为 ，所以当处理量为 吨时，每吨的平均处理成本最少。
20.解：(Ⅰ)在 中, , , , 由余弦定理得, , 得 , 解得 或 。
(Ⅱ)设 , , 在 中,由正弦定理,得 , 所以 , 同理
故
因为 , ,所以当 时, 的最大值为 ,此时 的面积取到最小值.即2 时, 的面积的最小值为 。
21.解析：(Ⅰ) ，
， 时 为常函数，不具有单调性。
时 ， 在 上单调递增;
(Ⅱ) 时 ， ，
，设 ，则 。因为此时 在 上单调递增可知当 时， ;当 时， ，
当 时， ;当 时， ，
当 时， ，
， ，即 ，所以 ， ， ， ，故正整数 的值为1、2或3。
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，当 时， 恒成立，即 ， ， ，令 ，得
则 ( 暂时不放缩)
，
..........，
.
以上 个式子相加得：
所以 ，即
。
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