2014届高三上册数学第一次月考理科试题（带答案）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题时120分钟，满分150分。
第Ⅰ卷(选择题共10小题，每小题5分，共50分)
一、选择题(每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.)
1.若集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：集合A={ }，A={ }，所以，
2.在复平面内,复数 对应的点的坐标为()
A. B. C. D.
答案：A
解析：原式= = ，所以，对应的坐标为(0，-1)，选A
3.已知 为等差数列，若 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：因为 为等差数列，若 ，所以， ，
4. 已知函数 有且仅有两个不同的零点 ， ，则()
A.当 时， ， B.当 时， ，
C.当 时， ， D.当 时， ，
答案：B
解析：函数求导，得： ，得两个极值点：
因为函数f(x)过定点(0，-2)，有且仅有两个不同的零点，所以，可画出函数图象如下图：
因此，可知， ，只有B符合。
5. 设集合 是 的子集，如果点 满足： ，称 为集合 的聚点.则下列集合中以 为聚点的有：① ; ② ; ③ ; ④ ()
A.①④B.②③C.①②D.①②④
答案：A
【解析】①中，集合 中的元素是极限为1的数列，
在 的时候，存在满足0|x-1|
1是集合 的聚点
②集合 中的元素是极限为0的数列，最大值为2，即|x-1|1
对于某个a1，不存在0|x-1| ，1不是集合 的聚点
③对于某个a1，比如a=0.5，此时对任意的xZ，都有|x﹣1|=0或者|x﹣1|1，也就是说不可能0|x﹣1|0.5，从而1不是整数集Z的聚点
④ 0，存在0|x-1|0.5的数x，从而1是整数集Z的聚点
故选A
6. 在下列命题中, ① 是 的充要条件;② 的展开式中的常数项为 ;③设随机变量 ~ ,若 ,则 .其中所有正确命题的序号是()
A.② B.②③ C.③D.①③
答案：B
解析：①是充分不必要条件，故错误;② ，令12-4k=0，得，k=3，所以，常数项为2，正确;③正态分布曲线的对称轴是x=0， ，所以， 正确;
7.已知偶函数 ,当 时, ,当 时, ( ).关于偶函数 的图象G和直线 : ( )的3个命题如下:
①当a=4时,存在直线 与图象G恰有5个公共点;
②若对于 ,直线 与图象G的公共点不超过4个,则a
③ ,使得直线 与图象G交于4个点,且相邻点之间的距离相等.其中正确命题的序号是()
A.①②B.①③C.②③D.①②③
答案：D
解析：因为函数 和 的图象的对称轴完全相同，所以两函数的周期相同，所以 ，所以 ，当 时， ，所以 ，因此选A。
8. 已知函数 ,定义函数 给出下列命题:
① ; ②函数 是奇函数;③当 时,若 , ,总有 成立,其中所有正确命题的序号是()
A.②B.①②C.③D.②③
答案：D
解析：① ，所以，错误;②当x0时，-x0，F(-x)=-f(-x)=-( )=-f(x)=F(x)，为奇函数，同理可证当x0时也是奇函数，正确;
③因为mn0，不妨设m0，n0，又m+n0，所以，|m||n|，
= -( )= ，因为 ，所以，有 0，正确。
9. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有()
A.12种B.15种C.17种D.19种
答案：D
解析：分三类：第一类，有一次取到3号球，共有 取法;第二类，有两次取到3号球，共有 取法;第三类，三次都取到3号球，共有1种取法;共有19种取法。
10.若函数 满足 ，且 时， ，函数 ，则函数 在区间 内的零点的个数为
A.6B.7C.8D.9
答案：C
解析：因为函数 满足 ，所以函数 是周期为2 的周期函数，又因为 时， ，所以作出函数 的图像：
由图知：函数 -g(x)在区间 内的零点的个数为8个。
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)
11.设方程 的根为 ，设方程 的根为 ，则 。
答案：4
解析：在同一坐标系中作出函数 与 的图象。它们与直线 的交点为 、 ，则 。因为函数 与 互为反函数，由反函数性质知 ，所以 。
12. 数列 的通项公式 ，其前 项和为 ，则 .
答案：1006
解析：
所以 ，于是 。
13.若正整数 满足 ，则数组 可能是 .
答案：(3，2，2，2)
解析：不妨设 ，由题易得 ，通过验算可得 。
14. 已知a,b均为正数且 的最大值为 .
答案：
解析：由柯西不等式可得：
15. 函数 的定义域为 ,若 且 时总有 ,则称 为单函数.例如,函数 是单函数.下列命题:①函数 是单函数;②函数 是单函数;③若 为单函数, 且 ,则 ;④函数 在定义域内某个区间 上具有单调性,则 一定是单函数.其中的真命题是_________(写出所有真命题的编号).
答案：③
解析：①若 ,则由 得 ,即 ,解得 ,所以①不是单函数.②若 则由函数图象可知当 ,时, ,所以②不是单函数.③根据单函数的定义可知,③正确.④在在定义域内某个区间 上具有单调性,单在整个定义域上不一定单调,所以④不一定正确,比如②函数.所以真命题为③.
三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程)
16.(本小题共12分)已知函数 ，其中
(1)对于函数 ，当 时， ，求实数 的取值集合;
(2)当 时， 的值为负，求 的取值范围。
17.(本小题共12分)如图,四棱锥 的底面 是正方形,棱 底面 , =1, 是 的中点.
(1)证明平面 平面 ;
(2)求二面角 的余弦值。
18.(本小题共12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数 . ① ;
② ;
③ ;
④ ;
⑤ .
(1)从上述五个式子中选择一个,求出常数 ;
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.
19.(本小题共12分)已知函数
(1)若 求 在 处的切线方程;
(2)若 在区间 上恰有两个零点,求 的取值范围.
20.(本小题13分)如图，过抛物线 的对称轴上任一点 作直线与抛物线交于 、 两点，点Q是点P关于原点的对称点。
(1)设 ，证明： ;
(2)设直线AB的方程是 ，过 、 两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。
21.(本小题14分)已知函数 ( ).
(1)当 时,求函数 的单调区间;
(2)当 时, 取得极值.
① 若 ,求函数 在 上的最小值;
② 求证:对任意 ,都有 .
理科数学解答题参考答案
三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程)
16.解:(1)容易知道函数 是奇函数、增函数。
(2)由(1)可知：当 时， 的值为负
且
17.证明:(1) ∵ , 是 的中点, .
∵ 底面 , .又由于 , ,
故 底面 ,
所以有 .又由题意得 ,故 .
于是,由 , , 可得 底面 .
故可得平面 平面
(2)取CD的中点F，连接AC与BD，交点为M，取DM的中点N，连接EN，FN，易知 为二面角 的平面角，又 ， ，由勾股定理得 ，在 中，
所以二面角 的余弦值为
(用空间向量做，答案正确也给6分)
18.解： (1)选择②式计算
.
(2)猜想的三角恒等式为
.
证明：
19.解: (1)
在 处的切线方程为
(2)由
由 及定义域为 ,令
①若 在 上, , 在 上单调递增,
因此, 在区间 的最小值为 .
②若 在 上, , 单调递减;在 上, , 单调递增,因此 在区间 上的最小值为
③若 在 上, , 在 上单调递减,
因此, 在区间 上的最小值为 .
综上,当 时, ;当 时, ;
当 时,
可知当 或 时, 在 上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点.
当 时,要使 在区间 上恰有两个零点,则
即 ,此时, .
所以, 的取值范围为
20.解: (1) 由题意，可设直线 的方程为 ，代入抛物线方程 得
①
设 、 两点的坐标分别是 ，则 是方程①的两根，所以
由 得 ，又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标为 ，从而
所以
(2) 由 得 的坐标分别为
抛物线 在点A处切线的斜率为3.
设圆C的方程是 ，则
解之得
故，圆C的方程是
21.解：(1)
当 时,
解 得 或 , 解 得
所以 单调增区间为 和 ,单调减区间为
(2)①当 时, 取得极值, 所以
解得 (经检验 符合题意)
+0-0+
↗↘↗
所以函数 在 , 递增,在 递减
当 时, 在 单调递减,
当 时
在 单调递减,在 单调递增,
当 时, 在 单调递增,
综上, 在 上的最小值
②令 得 (舍)
因为 所以
所以,对任意 ,都有
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