2014届高三数学上册第一次月考文试题
数学(文)试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
⒈ 若复数 满足 ，则 的虚部为( )
A. B. C. D.
⒉ 设 ，则 是 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
⒊ 已知 ，函数 的定义域为集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
⒋ 已知向量 ， ， .若 ，则实数 的值为( )
A. B. C. D.
⒌ 等差数列 中的 、 是函数 的极值点，则 ( )
A. B. C. D.
⒍ 设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为( )
A. B. C. D.
⒎ 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
( )
A. B.
C. D.
⒏ 已知函数 ，则不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
⒐ 袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球.从袋中任取两球，两球颜色不同的概率为( )
A. B. C. D.
⒑ 定义在 上的偶函数 ，满足 ， ，则函数 在区间 内零点的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D.至少 个
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡的相应位置.
11. 求值： .
12.阅读程序框图(如图所示)，若输入 ， ， ,则输出的数是 .
13. 已知 ，由不等式 ， ， ，.在 条
件下，请根据上述不等式归纳出一个一般性的不等式 .
14. 已知圆 的圆心是直线 与 轴的交
点，且圆 与直线 相切.则圆 的方程为 .
15.已知函数 ，给出下列五个说法：
① ;②若 ，则 ;③ 在区间 上单调递增; ④将函数 的图象向右平移 个单位可得到 的图象;⑤ 的图象关于点 成中心对称.其中正确说法的序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 解答写在答题卡上的指定区域内.
16.(本小题满分12分)
已知函数 ， .
(Ⅰ)求函数 的最小值和最小正周期;
(Ⅱ)设 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，满足 ， 且 ，求 、 的值.
17.(本小题满分12分)
如图， 是边长为2的正方形， 平面 , , // 且 .
(Ⅰ)求证：平面 平面 ;
(Ⅱ)求几何体 的体积.
18.(本小题满分13分)
数列 的前 项和为 ， .
(Ⅰ)设 ，证明：数列 是等比数列;
(Ⅱ)求数列 的前 项和 .
19.(本小题满分12分)
某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)，[100,110)，，[140,150)后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题.
(Ⅰ)求分数在[120,130)内的频率;
(Ⅱ)若在同一组数据中，将该组区间的中点值(如：组区间[100,110)的中点值为100+1102=105)作为这组数据的平均分，据此估计本次考试的平均分;
(Ⅲ)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率.
20.(本小题满分13分)
已知椭圆 ： 的离心率为 ，左焦点为 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)若直线 与曲线 交于不同的 、 两点，且线段 的中点 在圆 上，求 的值.
21.(本小题满分14分)
已知函数 ( ).
(Ⅰ)当 时，求函数 的极值;
(Ⅱ)若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
安徽省望江中学2014届第一次月考
数学(文)试题答案
⒋【解析】∵ ， ，即 ， ，解得 ，选D.
⒌【解析】 .因为 、 是函数 的极值点，所以 、 是方程 的两实数根，则 .而 为等差数列，所以 ，即 ，从而 ，选A.
⒍【解析】由已知作出可行域为一个三角形区域，得到三个交点 ，当直线 平移通过点 时，目标函数值最小，此时 .
【考点定位 】本试题考查了线性规划的最优解的运用以及作图能力.
⒎【解析】由图知，原几何体是两个相同圆锥底面重合的一个组合体， ， ， ，则表面积为 ，选B.
⒏【答案】A.
⒑【解析】∵ 是定义在 上的偶函数，且周期是3， ， ，即 . ， ，所以方程 在 内，至少有4个解，选D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
题号⒒⒓⒔⒕⒖
答案
①④
⒒【解析】 .
⒓【解析】程序框图的功能是：输出 中最大的数，
∵ ， ， ，所以输出的数为 .
⒔【解析】根据题意，分析所给等式的变形过程可得，先对左式变形，再利用基本不等式化简.消去根号，得到右式，则 .
⒕【解析】令y=0得x=-1，所以直线x-y+1=0,与x轴的交点为 .
因为直线 与圆 相切，所以圆心 到直线的距离等于半径，即 ，所以圆 的方程为 .
⒗ (本小题满分12分)
【解析】(Ⅰ) ，3分
则 的最小值是 ，最小正周期是 ;6分
(Ⅱ) ，则 ，7分
, ,所以 ，
所以 ， ， 9分
因为 ，所以由正弦定理得 ，①10分
由余弦定理得 ，即 ②11分
由①②解得： ， .12分
⒘ (本小题满分12分)
【解析】(Ⅰ)∵ ED平面 ，AC 平面 ， EDAC.2分
∵ 是正方形， BDAC， 4分
AC平面BDEF. 6分
又AC平面EAC，故平面EAC平面BDEF.
(Ⅱ)连结FO，∵ EF DO， 四边形EFOD是平行四边形.
由ED平面 可得EDDO，
四边形EFOD是矩形.8分
方法一： ∥ ，
而ED平面 ， 平面 .
∵ 是边长为2的正方形， 。
由(Ⅰ)知，点 、 到平面BDEF的距离分别是 、 ，
从而 ;
方法二：∵ 平面EAC平面BDEF.
点F到平面ACE的距离等于就是Rt△EFO斜边EO上的高，
且高 .10分
几何体ABCDEF的体积
=
=2.
12分
⒙(本小题满分12分)
【解析】(Ⅰ)因为 ，
所以 ① 当 时， ，则 ，1分
② 当 时， ，2分
所以 ，即 ，4分
所以 ，而 ，5分
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 .6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 .
所以 ① ，
② ，8分
②-①得： ，10分
.12分
⒚(本小题满分12分)
【解析】(Ⅰ)分数在[120,130)内的频率为 ;
2分
(Ⅱ)估计平均分为
. 5分
(Ⅲ)由题意，[110,120)分数段的人数为600.15=9(人).[120,130)分数段的人数为600.3=18(人). 7分
∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，
需在[110,120)分数段内抽取2人，并分别记为 、 ; 8分
在[120,130) 分数段内抽取4人，并分别记为 、 、 、 ; 9分
设从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内为事件A，则基本事件共有 ，
共15种. 10分
则事件A包含的基本事件有 ， 共9种. 11分
. 12分
⒛(本小题满分13分)
【解析】(Ⅰ)由题意得 ， 2分
解得 4分
所以椭圆C的方程为： 6分
(Ⅱ)设点 、 的坐标分别为 ， ，线段 的中点为 ，
由 ，消去y得 8分
∵ ， 9分
， 10分
∵点 在圆 上， ，即 13分
21.(本小题满分14分)
【解析】(Ⅰ)当 时，
，2分
令 ，解得 .
当 时，得 或 ;当 时，得 .4分
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
极大
极小
当 时，函数 有极大值， ; 5分
当 时，函数 有极大值， ， 6分
(Ⅱ)∵ ，对 ， 恒成立，即 对 恒成立， 7分
①当 时，有 ，即 对 恒成立，9分
∵ ，当且仅当 时等号成立，
，解得 11分
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