一 长方体和正方体
一、长方体的认识
1.认识长方体的面、棱、顶点。
(1)从不同的角度观察同一个长方体。
把长方体放在桌面上,无论从哪个角度观察,最多只能同时观察到长方体的三个面。
(2)长方体的棱和顶点。
长方体两个面相交的线叫作长方体的棱,三条棱相交的点叫作长方体的顶点。
2.长方体的特征。
长方体是由6个长方形(也可能有2个相对的面是正方形)围成的立体图形,它有6个面、12条棱和8个顶点。在一个长方体中,相对的面完全相同,相对的棱长度相等。
3.长方体长、宽、高的含义。
长方体相交于同一顶点的三条棱的长度,分别叫作它的长、宽、高。
4.长方体的长、宽、高不是固定不变的,它与长方体的摆放方式有关。长方体相交于同一顶点的三条棱中,通常把水平方向的两条棱分别叫作它的长和宽,把竖直方向的一条棱叫作它的高。
二、正方体的认识
1.正方体也叫立方体。它是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。它的6个面是完全相同的正方形,12条棱的长度都相等,有8个顶点。
2.正方体的长、宽、高相等,都叫正方体的棱长。
3.长方体和正方体的特征的异同。
①相同点:都有6个面、12条棱、8个顶点,相对的面完全相同,相对的棱长度相等。
②不同点:长方体的6个面都是长方形(也可能有2个相对的面是正方形);一般情况下,棱有3组,每组4条棱长度相等。正方体的6个面是完全相同的正方形;每条棱的长度都相等。
三、正方体、长方体的展开图
1.把一个正方体沿一条棱剪开,如下图所示。
正方体的展开图是由6个完全相同的正方形组成的,可以通过观察、折叠找到3组相对的面。
2.沿长方体的棱把长方体剪开,展开图中有3组相对的面,相对的面完全相同,相对的面完全隔开。
3.沿着正方体(或长方体)的棱将它剪开,可以把正方体(或长方体)展开成一个平面图形,这个平面图形就是正方体(或长方体)的展开图。在展开图中,正方体的6个面完全相同(长方体相对的面完全相同),相对的面完全隔开。
四、长方体和正方体表面积的意义及计算方法
1.表面积的意义:长方体(或正方体)6个面的总面积,叫作它的表面积。
2.长方体和正方体表面积的计算方法。
(1)长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=(长×宽+长×高+宽×高)×2。
如果用S表示长方体的表面积,用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高,那么长方体表面积的计算公式是S=2ab+2ah+2bh或S=(ab+ah+bh)×2。
(2)正方体的表面积=棱长×棱长×6。
如果用S表示正方体的表面积,用a表示棱长,那么正方体表面积的计算公式是S=6a2。
五、运用长方体和正方体表面积的计算方法解决实际问题
1.求长方体和正方体物体的表面积时,最关键的是要根据实际情况确定好求几个面的面积和。
2.在实际生活中,并不是所有长方体形状的物体都有6个面,如长方体的鱼缸只有5个面,通风管只有4个面。因此,在计算时要根据实际情况解题。
六、体积和容积的意义
1.物体所占空间的大小叫作物体的体积。
2.能盛装其他物体的都可以称为容器,不能盛装其他物体的都不是容器。
3.容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。
4.有容积的物体一定有体积,但有体积的物体不一定有容积。
七、体积单位
1.棱长是1厘米的正方体,体积是1立方厘米。
2.棱长是1分米的正方体,体积是1立方分米。
3.棱长是1米的正方体,体积是1立方米。
4.常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米,用字母表示分别是cm3、dm3和m3。
八、容积单位
1.容积单位的使用方法。
计量容积,一般就用体积单位。计量液体的体积,如水、油等,通常用升或毫升作单位。升和毫升,用字母表示分别为L和mL,其中1 L=1000 mL。
2.容积单位的换算。
1 dm3=1 L 1 cm3=1 mL
高级单位向低级单位转换用乘法计算;低级单位向高级单位转换用除法计算。
3.“容积”与“体积”的区别。
(1)意义不同。
体积是指物体所占空间的大小,而容积是指容器所能容纳物体的体积。一个物体有体积,但它不一定有容积。
(2)测量方法不同。
求物体的体积是从物体的外面测量它的长、宽、高进行计算,而求物体的容积则必须从里面来测量它的长、宽、高,然后计算。因此,对于同一个物体,一般来说,它的容积要比体积小。
(3)单位名称不完全相同。
体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米。固体、气体的容积单位与体积单位相同,而液体的容积单位一般用升、毫升。
九、长方体体积公式的推导
1.以取12个1立方厘米的小正方体,摆出不同形状的长方体为例,如下图:
每个小正方体的体积是1立方厘米,每个长方体是由12个小正方体摆成的,所以每个长方体的体积都是12立方厘米。
2.填写表格。
长/cm 宽/cm 高/cm 小正方体的个数 体积/cm3
长方体① 12 1 1 12 12
长方体② 6 2 1 12 12
长方体③ 4 3 1 12 12
长方体④ 3 2 2 12 12
3.(1)在摆成的长方体中,每排小正方体的个数相当于长方体的长;排数相当于长方体的宽;层数相当于长方体的高。
(2)长方体所含小正方体(体积单位)的个数正好等于长方体长、宽、高的乘积。
4.长方体体积公式的字母表达式。
如果用V表示长方体的体积,用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高,那么长方体的体积公式可以写成V=abh。
长方体的体积=长×宽×高,字母公式为V=abh。
5.拓展提高。
当长方体的长、宽、高都扩大到原来的n倍时,它的体积就扩大到原来的n3(n×n×n=n3)倍;当长方体的长、宽、高都缩小到原来的时,它的体积就缩小到原来的。
十、正方体体积公式的推导
1.长方体的体积=长 ×宽 ×高
↓ ↓ ↓
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
2.正方体体积的字母公式。
如果用V表示正方体的体积,用a表示正方体的棱长,那么正方体体积的字母公式可以写成V=a·a·a=a3。
3.拓展提高。
当正方体的棱长扩大到原来的n倍时,它的体积就扩大到原来的n3倍;当正方体的棱长缩小到原来的时,它的体积就缩小到原来的。
十一、运用体积公式解决实际问题
如果长方体和正方体体积公式中的已知条件都具备,那么可直接利用公式计算体积。
十二、长方体和正方体体积的通用公式
1.长方体和正方体底面积的意义。
长方体和正方体无论怎样放置,总有一个面与平面接触,通常把这个面叫作底面。长方体和正方体底面的面积,叫作它们的底面积。
2.长方体和正方体底面积的计算方法。
(1)长方体的底面积=长×宽。
(2)正方体的底面积=棱长×棱长。
3.长方体和正方体体积公式的推导。
长方体(或正
方体)的体积=底面积×高
长方体(或正方体)的体积=底面积×高。如果用V表示体积,S表示底面积,h表示高,那么长方体(或正方体)的体积公式可以写成V=Sh。
十三、容积的计算方法
1.长方体或正方体物体容积的计算方法与体积的计算方法相同,知道长、宽、高或棱长,即可根据体积公式求出物体的容积。
2.体积和容积的区别与联系。
(1)不同点。
①意义不同。
Ⅰ.物体所占空间的大小叫作物体的体积。
Ⅱ.容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。
②测量方法不同。
Ⅰ.求物体的体积是从物体的外部来测量长、宽、高或棱长。
Ⅱ.求物体的容积是从容器的内部来测量长、宽、高或棱长。
③单位名称不完全相同。
Ⅰ.体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米。
Ⅱ.容积一般用体积单位,但在计量液体(如药水、汽油等)的体积时,常用升或毫升作单位。
(2)相同点。
计算公式相同。长方体(或正方体)的体积(或容积)=底面积×高。
易错点:误认为一个长方体中最多有4条相等的棱。这是错误的,一定要注意长方体的6个面不一定都是长方形,也可能有2个相对的面是正方形。当长方体有2个相对的面是正方形时,就有8条棱长度相等。
直观图中的实线表示从某个角度能够看到的棱,虚线表示看不到的棱。
长方体12条棱的长度和叫作长方体的棱长总和。长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4。
易错点:误认为有6个面、12条棱、8个顶点的立体图形不是长方体就是正方体。这是不正确的,一定要注意有6个面、12条棱、8个顶点并不代表它就是长方体或正方体,要看它是否具备长方体或正方体的所有特征,如下图,这个立体图形既不是长方体,也不是正方体。
正方体的棱长总和:棱长×12。
正方体具有长方体的一切特征,正方体是特殊的长方体。
同一个立体图形,沿不同的棱剪开,得到的展开图不同。
技巧:
正方体有6个相同的面,可以通过观察、折叠找到3组相对的面。
长方体有3组相对的面,可以通过看是否完全隔开,完全隔开的一组面就是相对的两个面。
当所求的长方体的表面积是6个面的面积时,先分别求出每组相对的面中一个面的面积,相加后再乘2较简便。
举例:大厅里有8根高为5米的方柱需要涂油漆,方柱的横截面是边长为0.5米的正方形,若1千克油漆可以涂5平方米,则涂这8根方柱需要多少千克油漆?
错解
答:涂这8根方柱需要16.8千克油漆。
正解:0.5×5×4×8÷5×1=16(千克)
答:涂这8根方柱需要16千克油漆。
一个容器容积的大小与它所能盛装物体的多少有关。因为容器都有一定的厚度,所以一个容器的体积一般大于它的容积。
并不是只有棱长是1 cm、1 dm、1 m的正方体的体积才是1 cm3、1 dm3和1 m3。
易错点:误认为容积就是体积,这是不对的,一定要注意“容积”与“体积”的不同。如一本书有体积,却没有容积。
较大容器盛装液体时用“升”作单位,较小容器盛装液体时用“毫升”作单位。
巧记:
体积单位常用到,相邻进率是1000。
高级单位化低级,要把此数乘1000。
低级单位化高级,除以1000把数算。
转换过程要细心,掌握进率是关键。
明确摆成不同形状长方体的长、宽、高分别是多少。
1立方厘米的小正方体的边长是1厘米。长方体的长、宽、高由几个小正方体摆成,它的长、宽、高就分别是几厘米,它的体积正好等于摆成长方体所需小正方体的个数。
举例:如果一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍,那么它的体积就扩大到原来的23倍,即8倍;反之,如果一个长方体的长、宽、高都缩小到原来的,那么它的体积就缩小到原来的,即。
a·a·a也可以写成“a3”,即a·a·a=a3,读作“a的立方”,表示3个a相乘。因此,正方体的体积公式一般写成V=a3。写a3时,“3”要写在a的右上角,且要略小一些。
举例:如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍,那么它的体积就扩大到原来的8倍;反之,如果一个正方体的棱长缩小到原来的,那么它的体积就缩小到原来的。
在有些实际问题中,也可以用“横截面的面积×长”来计算体积。
运用通用公式进行计算时,一定要注意单位的统一。如一个长方体的底面积是8平方厘米,高是3分米,求体积。
错解:8×3=24(立方厘米)
正解:3分米=30厘米,8×30=240(立方厘米)
计算体积从外面测量长、宽、高;计算容积从里面测量长、宽、高。有的物体既有体积,也有容积,如箱子、油桶、瓶子等。有的物体有体积,却没有容积,如石头、木头这类实心的物体。既有体积又有容积的物体,它的体积一定大于它的容积。只有在容器厚度忽略不计的情况下,容积才可以看作与体积相等。
巧记:
容积、体积孪兄弟,只是度量不统一。
容积心中装物体,体积只想占空间。
容积尺寸从里测,体积尺寸从外量。
记住二者不同处,计算才能少失误。