教学任务分析
教 学 目 标 |
知识技能 |
1.能够列方程解决实际问题, 2.掌握去括号的符号法则, 3.归纳、掌握解一元一次方程(含有分母和括号)的一般步骤. |
数学思考 |
在解决问题的过程中体会解方程的一般步骤,并进行归纳,感受方程对解决实际问题的作用. |
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解决问题 |
能够顺利解决有关含有分母和括号的一元一次方程;能够对一元一次方程的解法进行归纳和总结. |
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情感态度 |
渗透方程思想,培养学生的方程意识. |
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重点 |
从实际问题中抽象出数学问题(列方程),总结解一元一次方程的一般步骤. |
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难点 |
如何根据实际问题列出相应的方程;正确的去分母. |
教学流程安排
活动流程图 |
活动内容和目的 |
一、创设问题情景,激发学生研究问题的兴趣.
二、问题引申.
三、拓展提高,应用创新.
四、小结与作业. |
引出本节要研究的主要的两种方程的形式.
探究、归纳解方程的方法,培养学生的探究能力.
通过对相关问题的解决,培养学生思维的深刻性和灵活性.
归纳总结,巩固新知. |
教学过程设计
一、创设问题情景,激发学生研究问题的兴趣,引出本节要研究的主要的两种方程的形式
请利用方程解决下列问题:
问题1:顾客用540元买了两种布料共138尺,其中蓝布料每尺3元,黑布料每尺5元.两种布料各买了多少尺?
问题2:某厂22名工人,每人每天可以生产螺钉1200个或螺母2000个,如何安排才能使一天生产的螺钉和螺母配套?
问题3:整理一批数据,由一人做需要80小时完成.现在计划先由一部分人做2小时,再增加5人做8小时,完成这项工作的四分之三,怎样安排参与整理数据的具体人数?
学生活动设计:
对于问题1:学生会发现问题中有两个等量关系:一是两种布料共138尺;二是两种布料的费用共是540元,于是可以考虑设买蓝布料x尺,则买黑布料(138-x)尺,根据相等关系:两种布料的费用共是540元,可以得到方程3x+5(138-x)=540.或设用x元买蓝布料,则用540-x元买黑布料,则根据相等关系:两种布料共138尺,得到方程
对于问题2:当螺钉和螺母配套时,螺母的数量应是螺钉数量的2倍(这就是相等关系)
于是可以设安排x人生产螺钉,则有22-x人生产螺母,根据上述相等关系可以得到方程
2×1200x=1800(22-x)(或设总共生产的螺母有x个).
对于问题3:可以考虑先安排x人作2小时,由于每人的工效相同,一个人1小时完成总工作量的
2x+8(5+x)=80×
教师活动设计:由于已经有了列方程解决实际问题的经验,所有可以让学生自主探究,寻找解决问题的思路,在解决问题的过程中可能产生不同的形式,此时可以分析不同方法中异同,让学生比较不同方法间的简单程度,进而引导学生在解决问题的过程中尽量采用简单的方法解决问题.
二、问题引申,探究、归纳解方程的方法,培养学生的探究能力
活动1:对上述问题中涉及的方程,如何解这些方程呢?你能找到解这些方程的方法吗?
1.3x+5(138-x)=540; 2.2×1200x=1800(22-x);
3.2x+8(5+x)=80×
4.
5.
学生活动设计:由于这些方程和前面接触的方程在形式上有区别,1、2和3中存在括号,4、5中存在分母,则可以考虑把方程中的括号、分母去掉就可以转化为熟悉的形式,对于1、2和3可以利用乘法分配律把括号去掉,然后进行移项、合并、系数化为1,对于4和5可以利用等式的性质2,把方程两边同时乘以各个分母的最小公倍数,就可以把分去掉,于是问题可以解决.
教师活动设计:在活动中,主要让学生探究如何把新的知识转化为旧的知识来解决,从而让学生体会数学中的转化思想,同时培养学生的勇于探究的精神.
〔解答〕1. 3x+5(138-x)=540,
去括号得,
3x+5×138-5x=540,
移项得,
3x-5x=540-5×138,
合并得,
-2x=-150,
系数化为1,
x=75.
2. x=10; 3.x=2.
4.
两边同时乘以15(去分母)得,
5x+3(540-x)=138×15,
去括号得,
5x+1620-3x=2070,
移项得,
5x-3x=2070-1620,
合并得,
2x=450,
系数化为1,
x=225.
5.x=2.
活动2:
通过以上解方程的过程,你能总结出解方程的一般步骤吗?
学生活动设计:
学生通过观察思考,总结出解方程的一般步骤:
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
教师活动设计:让学生充分发表自己的看法,然后在总结时进行必要的补充和说明.
活动3:根据上述总结,请解下列方程:
(1)3x-7(x-1)=3-2(x+3);
(2)
(3)
(4)
学生活动设计:让四位同学黑板进行板演,其余学生独立完成,完成后根据黑板上的解法进行交流和总结,发现问题,寻找问题出现的原因,分析原因,特别是去带有负号的括号时的变号规律.
教师活动设计:分析解决问题的过程,让学生自主发现问题所在,从而培养学生的严谨的精神.
〔解答〕(1)x=5; (2)x=6; (3)
三、拓展提高,应用创新,培养学生思维的深刻性和灵活性
问题4:现将连续自然数1~2006按如图所示的方式排成一个长方形阵列,用一个正方形框出16个数:
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31 32 33 34 35
36 37 38 39 40 41 42
……………………
……………………
2003 2004 2005 2006
(1) 图中这16个数的和是多少?
(2) 要使一个正方形框出的16个数的和分别等于2000和2008是否可能,若不可能,说明理由,若可能求出该正方形中最小数和最大数.
学生活动设计:(1)计算框出的16个数的和,可能会有两种方式,
方式1:依次把这16个数加起来;
方式2:可以设第1个数为a,则这16个数分别是:
a a+1 a+2 a+3
a+7 a+8 a+9 a+10
a+14 a+15 a+16 a+17
a+21 a+22 a+23 a+24
把这些加起来得到16a+192,当a=10时得到,这16个数的和是352.
(2)有(1)可以发现若16a+192=2000,则有a=113,若16a+192=2008则有
x=113.5.
因为a是自然数,所以结果可能是2000,但不可能是2008,
问题5(对问题2的变式思考):
变式思考1:
某车间有28名工人,生产一种螺母和螺栓,每人每天平均能够生产螺栓12个货螺母18个,第一天安排14名工人生产螺栓、14名工人生产螺母,问第二天应安排生产多少工人生产螺栓、多少人生产螺母,才能使当天生产的螺栓和螺母与第一天生产的刚好配套?(已知每个螺栓要配两个螺母)?
教师活动:启发学生进行独立思考,
学生活动:学生在已经熟悉的情景下进行独立思考,同样在独立思考后由学生提出自己的看法,再交流中逐步完善自己 的看法,
解:第1天生产后,螺栓、螺母不能刚好配套,螺栓应有剩余,不难计算螺栓剩余的数量为42个,然后第二天要安排x人生产螺栓,(28-x)人生产螺母,则
解之得 x=10,
思考:遇到这类配套问题,应该怎样解决?
问题:若解出的未知数是分数(不是整数),怎么办?引出变式2.
变式思考2:
某车间有27名工人,生产一种螺母和螺栓,每人每天平均能够生产螺栓12个货螺母18个,问应安排生产多少工人生产螺栓、多少人生产螺母,才能使当天生产的螺栓和螺母刚好配套?(已知每个螺栓要配两个螺母)?
学生活动:学生对这个问题的解决应该没有问题,主要考虑解得的数是分数,如何处理?
解:设应分配x人生产螺栓,则(27-x)人生产螺母,根据题意得:
如何处理?可以由学生讨论最后的结论.
变式思考3:
某车间有27名工人,生产一种螺母和螺栓,每人每天平均能够生产螺栓12个货螺母18个,假设y天作为一个生产周期,问在这个生产周期内,应如何安排,才能使生产的螺栓和螺母刚好配套?(已知每个螺栓要配两个螺母)?
学生活动:在平均生产率不变的前提下,一个生产周期为y天,且每天有27名工人参加工作,则工作总量相当于一天内有27y名工人参加工作的总工作量,这样问题就化归为问题的情形.
教师活动:引导、启发.
解:在一个生产周期内,安排x名工人生产螺栓,(27y-x)名工人生产螺母,则
(此时考虑方程的整数解问题).
所以y必须是7的倍数才行.
若y=7则有x=81,于是可以用
四、小结与作业
小结:
1. 解方程的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并、系数化为1.
2. 列方程解实际问题中关键:找等量关系.
作业:
习题3.3.