教学目标
①掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别;
②能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系;
③培养学生的探究能力和归纳问题的能力。
教学重点与难点
重点：平方根的概念和求数的平方根。
难点：平方根和算术平方根的联系与区别。
教学准备
教师：有关平方根的历史资料。
教学设计
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教学过程 |
设计意图说明 |
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思考归纳，引入概念
如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
学生思考并讨论，使学生明白这样的数有两个，它们是3和－3。受前面知识的影响学生可能不易想到－3这个数，这时可提醒学生，这里的这个数可以是负数。注意（－3）2＝9中括号的作用。
又如：x2＝
使学生完成课本165页的填表练习。
给出平方根的概念：如果一个数的平方等于ａ，那么这个数就叫做ａ的平方根．即：如果x2＝a，那么x叫做ａ的平方根。
求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
例如：±3的平方等于9，9的平方根是±3，所以平方与开平方互为逆运算。
观察：课本165页中的图10．1－2。
图10．1－2中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质。
让学生体验平方和开平方的互逆关系，并根据这个关系说出1，4，9的平方根。
注意：这阶段主要是让学生建立平方根的概念，先不引入平方根的符号，给出的数是完全平方数。
例1（课本165页的例4）求下列各数的平方根：
（1）100；（2）
建议：教师要规范书写格式。 |
这个思考题是引入平方根概念的切入点，要让学生有充分的时间进行思考和体验。
在等式中求出x的值，为填表做准备。
通过填表中的x的值，进一步加深对“两个互为相反数的平方等于同一个数”的印象，为平方根的引入做准备。
教学中可以引导学生通过查阅资料等方式，了解平方根产生发展的过程。（通常称为平方根。在研究有关n次方根的问题时，为使各次方根的说法协调起见，常采用二次方根的说法。）±3表示+3和－3两个数。这种写法学生不太习惯，在以后的教学中宜不断提及这一点。
通过此例使学生明白平方根可以从平方运算中求得，并能规范地表述一个数的平方根．这个例题也为后面探讨平方根的特征做好准备。 |
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讨论归纳，深化概念
按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：
正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？
建议：可引导学生通过观察x2＝a中的a和x的取值范围和取值个数得出。
根据上面讨论得出的结果填课本166页的表。
注：学生刚开始接触平方根时，有两点可能不太习惯，一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，这与学生过去遇到的运算结果惟一的情况有所不同，另一个是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，这种某数不能进行某种运算的情况在有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中一般不会遇到（0作除数的情况除外）。教学时，可以通过较多实例说明这两点，并在本节以后的教学中继续强化这两点。
引入符号：正数a的算术平方根可用
思考：
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通过讨论，使学生对有理数的平方根有一个全面的认识。也是平方根概念的进一步深化。体验分类思想，巩固平方根概念。
加深对符号意义的理解和对平方根概念的灵活应用。
测试学生对平方根概念的掌握情况。 |
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应用
例2 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，说明理由。
－64，0，（－4）2，10－2
如果有要用平方根的符号来表示。
例3（课本166页的例5）求下列各式的值：
（1）
（4）
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熟练应用平方根的概念，计算有关算式的值，是本课的主要内容。
被开方数不是完全平方数时可用计算器求出它的近似值。 |
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练习巩固
课本P167的练习。
小结：
什么叫做一个数的平方根？
正数，0，负数的平方根有什么规律？
怎样求出一个数的平方根？数ａ的平方根怎样表示？ |
练习答案
1．表中的第1行依次填11，－11，0．6，－0．6；第2行依次填64，925。
2．（1）13；（2）－0．07；（3）
3．面积为A的正方形的边长为 |
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布置作业
①必做题：教科书第167页习题10．1的第3、4、7、8、11、12题。
②选做题：
（1）检验下面各题中前面的数是不是后面数的平方根：
①±12，144 ②±0．2，0．04 ③102，104 ④14，256
（2）用计算器求下列各式的值（精确到0．01）：
①
④
（3）具有下列边长的正方形的面积是多大？
①
（4）如图，面积为30m2的正方形的四个角是面积为2m2的小正方形．用计算器求a的长（保留2个有效数字）。
（5）①如果ａ的平方根是±2，那么
②在公式c＝
③在公式a＝ |
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设计思想
①本课主要是在算术平方根的基础上建立平方根的概念，要以等式x2=a和已有算术平方根概念为基础，并使学生明确平方根与算术平方根之间的联系与区别，明确开平方与平方之 间的互逆关系，把握了这些平方根的有关概念，正数、零、负数的平方根的规律也就不难掌握了。
②有关求算式的值的问题，一定要使学生体会到这个算式所表示的具体意义，这样才能使学生在本质上掌握其求法。
背景资料
n次方根和n次算术根
这一章里，我们研究的是数的平方根和立方根。实际上，数的方根的概念可以推广。一般地，如果一个数的n(n是大于1的整数)次方等于a，这个数就叫做a的n次方根。换句话说，如果xn=a，那么x就叫做a的n次方根。求a的n次方根的运算，叫做把a开n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数。
例如，由于24=16和(-2)4=16，我们把2和-2叫做16的4次方根，这个运算叫做把16开4次方，16叫做被开方数，4叫做根指数。
如果a6=64，a=?请你求一下。
一般地，正数的偶次方根有两个，它们互为相反数。
当n是偶数时，正数a的n次方根就用
表示，也可以合起来写作
想一想，负数有偶次方根吗?
我们已经知道，任何一个数都有立方根。下面进一步来看看：32的5次方根是多少?-128的7次方根呢?
因为25=32，所以2是32的5次方根;
因为(-2)7=-128，所以-2是-128的7次方根。
一般的，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数。
当n是奇数时，a的n次方根用
例如：
我们还看到，
∴
一般地，如果a>0，n是正的奇数，
那么，
正数a的正的n次方根叫做a的n次算术根。0的n次方根也叫做0的n次算术根。
求一个数的方根的运算，叫做开方。很明显，开n次方与n次方互为逆运算。