南京市2015初二年级数学上册期中考试卷(含答案解析)

一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）

1．4的平方根是（）

A． ±2 B． 2 C． ﹣2 D． 16

2．下列图形中，不是轴对称图形的是（）

A． B． C． D．

3．下列问题中，适合用普查的是（）

A． 了解初中生最喜爱的电视节目

B． 了解某班学生数学期末考试的成绩

C． 估计某水库中每条鱼的平均重量

D． 了解一批灯泡的使用寿命

4．在△ABC和△A1B1C1中，已知∠A=∠A1，AB=A1B1，下列添加的条件中，不能判定△ABC≌△A1B1C1的是（）

A． AC=A1C1 B． ∠C=∠C1 C． BC= B1C1 D． ∠B=∠B1

5．如图，一次函数y1=x+b与y2=kx﹣2的图象相交于点P，若点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣2的解集是（）

A． x＜﹣2 B． x＞﹣2 C． x＜﹣1 D． x＞﹣1

6．如图，在平面直角坐标系中，一个点从A（a1，a2）出发沿图中路线依次经过B（a3，a4），C（a5，a6），D（a7，a8），…，按此一直运动下去，则a2014+a2015+a2016的值为（

A． 1006 B． 1007 C． 1509 D． 1511

二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）

7． =； =．

8．一次函数y=2x的图象沿y轴正方向平移3个单位长度，则平移后的图象所对应的函数表达式为．

9．已知点A坐标为（﹣2，﹣3），则点A到x轴距离为，到原点距离为．

10．如图，M、N、P、Q是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示 的点是．

11．如图是某超市2013年各季度“加多宝”饮料销售情况折线统计图，根据此统计图，用一句话对此超市该饮料销售情况进行简要分析：．

12．在△ABC中， AB=c，AC=b，BC=a，当a、b、c满足时，∠B=90°．

13．比较大小，2.0 2.020020002…（填“＞”、“＜”或“=”）．

14．已知方程组 的解为 ，则一次函数y=﹣x+1和y=2x﹣2的图象的交点坐标为．

15．如图，A、C、E在一条直线上，DC⊥AE，垂足为C．已知AB=DE，若根据“HL”，△ABC≌△DEC，则可添加条件为．（只写一种情况）

16．已知点A（1，5），B（3，1），点M在x轴上，当AM﹣BM最大时，点M的坐标为．

三、解答题（共10小题，满分68分）

17．求下列各式中的x：

（1）25x2=36；

（2）（x﹣1）3+8=0．

18．如图，长2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙的底端1.5m，求梯子的顶端与地面的距离h．

19．某校准备在校内倡导“光盘行动”，随机调查了部分同学某年餐后饭菜的剩余情况，调查数据的部分统计结果如表：

某校部分同学某午餐后饭菜剩余情况调查统计表

项目 人数 百分比

没有剩 80 40%

剩少量 a 20%

剩一半 50 b

剩大量 30 15%

合计 200 100%

（1）根据统计表可得：a=，b=．

（2）把条形统计图补充完整，并画出扇形统计图；

（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的学生该午餐浪费的食物可以供20人食用一餐，据此估算，这个学校1800名学生该午餐浪费的食物可供多少人食用一餐？

20．已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F．求证：DE=DF．

21．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，已知△ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，4）、（﹣1，2），点B坐标为（﹣2，1）．

（1）请在图中正确地作出平面直角坐标系，画出点B，并连接AB、BC；

（2）将△ABC沿x轴正方向平移5个单位长度后，再沿x轴翻折得到△DEF，画出△DEF；

（3）点P（m，n）是△ABC的边上的一点，经过（2）中的变化后得到对应点Q，直接写出点Q的坐标．

22．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．

（1）若四边形AEDF的周长为24，AB=15，求AC的长；

（2）求证：EF垂直平分AD．

23．世界上大部分国家都使用摄氏温度（℃），但美、英等国的天气预报仍然使用华氏温度（℉）两种计量之间有如下对应：

摄氏温度x … 0 10 20 30 40 50 …

华氏温度y … 32 50 68 86 104 122 …

如果华氏温度y（℉）是摄氏温度x（℃）的一次函数．

（1）求出该一次函数表达式；

（2）求出华氏0度时摄氏约是多少度（精确到0.1℃）；

（3）华氏温度的值可能小于其 对应的摄氏温度的值吗？如果可能，请求出x的取值范围，如不可能，说明理由．

24．已知：△ABC是等边三角形．

（1）用直尺和圆规分别作△ABC的角平分线BE、CD，BE，CD交于点O（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）过点C画射线CF⊥BC，垂足为C，CF交射线BE与点F．求证：△OCF是等边三角形；

（3）若AB=2，请直接写出△OCF的面积．

25．一辆快车和一辆慢车分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，快车到达B地后，原路原速返回A地．图1表示两车行驶过程中离A地的路程y（km）与行驶时间x（h）的函数图象．

（1）直接写出快慢两车的速度及A、B两地距离；

（2）在行驶过程中，慢车出发多长时间，两车相遇；

（3）若两车之间的距离为skm，在图2的直角坐标系中画出s（km）与x（h）的函数图象．

26．由小学的知识可知：长方形的对边相等，四个角都是直角．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=9，在它的边上取两个点E、F，使得△AEF是一个腰长为5的等腰三角形，画出△AEF，并直接写出△AEF的底边长．

（如果你有多种情况，请用①、②、③、…表示，每种情况用一个图形单独表示，并在图 中相应的位置标出底边的长，如果图形不够用，请自己画出）．

南京市2015初二年级数学上册期中考试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）

1．4的平方根是（）

A． ±2 B． 2 C． ﹣2 D． 16

考点： 平方根．

分析： 根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根．

解答： 解：∵（±2 ）2=4，

∴4的平方根是±2．

故选：A．

点评： 本题主要考查平方根的定义，解题时利用平方根的定义即可解决问题．

2．下列图形中，不是轴对称图形的是（）

A． B． C． D．

考点： 轴对称图形．

分析： 根据轴对称图形的概念求解．

解答： 解：A、不是轴对称图形，故正确；

B、是轴对称图形，故错误；

C、是轴对称图形，故错误；

D、是轴对称图形，故错误．

故选A．

点评： 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

3．下列问题中，适合用普查的是（）

A． 了解初中生最喜爱的电视节目

B． 了解某班学生数学期末考试的成绩

C． 估计某水库中每条鱼的平均重量

D． 了解一批灯泡的使用寿命

考点： 全面调查与抽样调查．

分析： 由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．

解答： 解：A、了解初中生最喜爱的电视节目，被调查的对象范围大，适宜于抽样调查，故A错误；

B、了解某班学生数学期末考试的成绩适宜于普查，故B正确；

C、估计某水库中每条鱼的平均重量，适宜于抽样调查，故C错误；

D、了解一批灯泡的使用寿命，具有破坏性，适宜于抽样调查，故D错误；

故选：B．

点评： 本题考查了抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．

4．在△ABC和△A1B1C1中，已知∠A=∠A1，AB=A1B1，下列添加的条件中，不能判定△ABC≌△A1B1C1的是（）

A． AC=A1C1 B． ∠C=∠C1 C． BC=B1C1 D． ∠B=∠B1

考点： 全等三角形的判定．

分析： 全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．

解答： 解：

A、符合全等三角形的判定定理SAS，即能推出△ABC≌△A1B1C1，故本选项错误；

B、符合全等三角形的判定定理AAS，即能推出△ABC≌△A1B1C1，故本选项错误；

C、不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△A1B1C1，故本选项正确；

D、符合全等三角形的判定定理ASA，即能推出△ABC≌△A1B1C1，故本选项错误；

故选C．

点评： 本题考查了全等三角形的判定定理的应用，主要考查学生对判定定理的理解能力，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．

5．如图，一次函数y1=x+b与y2=kx﹣2的图象相交于点P，若点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣2的解集是（）

A． x＜﹣2 B． x＞﹣2 C． x＜﹣1 D． x＞﹣1

考点： 一次函数与一元一次不等式．

分析： 观察函数图象得到当x＞﹣1时，函数y=x+b的图象都在y=kx﹣1的图象上方，所以不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．

解答： 解：当x＞﹣1时，x+b＞kx﹣1，

即不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．

故选：D．

点评： 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

6．如图，在平面直角坐标系中，一个点从A（a1，a2）出发沿图中路线依次经过B（a3，a4），C（a5，a6），D（a7，a8），…，按此一直运动下去，则a2014+a2015+a2016的值为（

A． 1006 B． 1007 C． 1509 D． 1511

考点： 规律型：点的坐标．

分析： 由题意得即a1=1，a2=1，a3=﹣1，a4=2，a5=2，a6=3，a7=﹣2，a8=4，…，观察得到数列的规律，求出即可．

解答： 解：由直角坐标系可知A（1，1），B（﹣1，2），C（2，3），D（﹣2，4），E（3，5），F（﹣3，6），即a1=1，a2=1，a3=﹣1，a4=2，a5=2，a6=3，a7=﹣2，a8=4，…，

由此可知，所有数列偶数个都是从1开始逐渐递增的，且都等于所在的个数除以2，则a2014=1007，a2016=1008，每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，每组的第1奇数和第2个奇数是互为相反数，且从﹣1开始逐渐递减的，则2016÷4=504，则a2015=﹣504，

则a2014+a2015+a2016=1007﹣504+1008=1511．

故选：D．

点评： 本题主要考查了归纳推理的问题，关键是找到规律，属于基础题．

二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）

7． =　3　； =　﹣3　．

考点： 立方根；算术平方根．

专题： 计算题．

分析： 原式利用平方根，立方根定义计算即可．

解答： 解：原式=3；

原式=﹣3．

故答案为：3；﹣3．

点评： 此题考查了立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

8．一次函数y=2x的图象沿y轴正方向平移3个单位长度，则平移后的图象所对应的函数表达式为　y=2x+3　．

考点： 一次函数图象与几何变换．

分析： 原常数项为0，沿y轴正方向平移3个单位长度 是向上平移，上下平移直线解析式只改变常数项，让常数项加3即可得到平移后的常数项，也就得到平移后的直线解析式．

解答： 解：∵一次函数y=2x的图象沿y轴正方向平移3，

∴新函数的k=2，b=0+3=3，

∴得到的直线所对应的函数解析式是y=2x+3．

故答案为y=2x+3．

点评： 本题考查了一次函数图象与几何变换，用到的知识点为：上下平移直线解析式只改变常数项，上加下减．

9．已知点A坐 标为（﹣2，﹣3），则点A到x轴距离为　3　，到原点距离为　 　．

考点： 点的坐标；勾股定理．

分析： 根据点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，可得第一个空的答案，根据点到原点的距离是横坐标、纵坐标的平方和的绝对值，可得答案．

解答： 解：已知点A坐标为（﹣2，﹣3），则点A到x轴距离为 3，到原点距离为 ，

故答案为：3， ．

点评： 本题考查了点的坐标，点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，点到原点的距离是横坐标、纵坐标的平方和的绝对值．

10．如图，M、N、P、Q是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示 的点是　P　．

考点： 估算无理数的大小；实数与数轴．

分析： 先估算出 的取值范围，再找出符合条件的点即可．

解答： 解：∵4＜7＜9，

∴2＜ ＜3，

∴ 在2与3之间，且更靠近3．

故答案为：P．

点评： 本题考查的是的是估算无理数的大小，熟知用有理数逼近无理数，求无理数的近似值是解答此题的关键．

11．如图是某超市2013年各季度“加多宝”饮料销售情况折线统计图，根据此统计图，用一句话对此超市该饮料销售情况进行简要分析：　从第一季度到第四季度，此超市该饮料销售呈先升后降的趋势　．

考点： 折线统计图．

分析： 由折线统计图可以看出，从第一季度到第三季度，此超市该饮料销售逐渐上升，第三季度达到最高峰，从第三季度到第四季度，销售快速下降．

解答： 解：由题意可得，从第一季度到第四季度，此超市该饮料销售呈先升后降的趋势．

故答案为从第一季度到第四季度，此超市该饮料销售呈先升后降的趋势．

点评： 本题考查了折线统计图，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．

12．在△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，当a、b、c满足　a2+c2=b2　时，∠B=90°．

考点： 勾股定理的逆定理．

分析： 根据勾股定理的逆定理可得到满足的条件，可得到答案．

解答： 解：∵a2+c2=b2时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形，

∴当a、b、c满足a2+c2=b2时，∠B=90°．

故答案为：a2+c2=b2．

点评： 本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握当两边平方和等于第三边的平方时第三边所对的角为直角是解题的关键．

13．比较大小，2.0 　＞　2.020020002…（填“＞”、“＜”或“=”）．

考点： 实数大小比较．

分析： 2.0 =2.0222222…，再比较即可．

解答： 解：2.0 ＞2.020020002…

故答案为：＞．

点评： 本题考查了实数的大小比较的应用，注意：2.0 =2.0222222…．

14．已知方程组 的解为 ，则一次函数y=﹣x+1和y=2x﹣2的图象的交点坐标为　（1，0）　．

考点： 一次函数与二元一次方程（组）．

分析： 二元一次方程组是两个一次函数变形得到的，所以二元一次方程组的解，就是函数图象的交点坐标．

解答： 解：∵方程组 的解为 ，

∴一次函数y=﹣x+1和y=2x﹣2的图象的交点坐标为（1，0）．

故答案为：（1，0）．

点评： 本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．

15．如图，A、C、E在一条直线上，DC⊥AE，垂足为C．已知AB=DE，若根据“HL”，△ABC≌△DEC，则可添加条件为　BC=CE　．（只写一种情况）

考点： 全等三角形的判定．

专题： 开放型．

分析： 求出∠ACB=∠DCE=90°，根据HL推出即可，此题答案不唯一，也可以是AC=DC．

解答： 解：BC=CE，

理由是：∵DC⊥CE，

∴∠ACB=∠DCE=90°，

在Rt△ABC和Rt△DEC中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），

故答案为：BC=CE．

点评： 本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．

16．已知点A（1，5），B（3，1），点M在x轴上，当AM﹣BM最大时，点M的坐标为　（ ，0）　．

考点： 轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．

分析： 连接AB并延长与x轴的交点M，即为所求的点．求出直线AB的解析式，求出直线AB和x轴的交点坐标即可．

解答： 解：设直线AB的解析式是y=kx+b，

把A（1，5），B（3，1）代入得： ，

解得：k=﹣2，b=7，

即直线AB的解析式是y=﹣2x+7，

把y=0代入得：﹣2x+7=0，

x= ，

即M的坐标是（ ，0），

故答案为（ ，0）．

点评： 本题考查了轴对称，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的应用，关键是找出M的位置．

三、解答题（共10小题，满分68分）

17．求下列各式中的x：

（1）25x2=36；

（2）（x﹣1）3+8=0．

考点： 立方根；平方根．

分析： （1）先两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

（2）先移项，再根据立方根定义开方，即可得出一个一元一次方程，求出方程的解即可．

解答： 解：（1）25x2=36，

5x=±6，

x1= ，x2=﹣ ；

（2）（x﹣1）3+8=0，

（x﹣1）3=﹣8，

x﹣1=﹣2，

x=﹣1．

点评： 本题考查了立方根和平方根的应用，解此题的关键是能关键定义得出一个或两个一元一次方程．

18．如图，长2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙的底端1.5m，求梯子的顶端与地面的距离h．

考点： 勾股定理的应用．

分析： 在Rt△ABC中，利用勾股定理即可求出h的值．

解答： 解：在Rt△ABC中，AB2=AC2﹣BC2，

∵AC=2.5m，BC=1.5m，

∴AB= =2m，

即梯子顶端离地面距离h为2m．

点评： 本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表达式．

19．某校准备在校内倡导“光盘行动”，随机调查了部分同学某年餐后饭菜的剩余情况，调查数据的部分统计结果如表：

某校部分同学某午餐后饭菜剩余情况调查统计表

项目 人数 百分比

没有剩 80 40%

剩少量 a 20%

剩一半 50 b

剩大量 30 15%

合计 200 100%

（1）根据统计表可得：a=　40　，b=　25%　．

（2）把条形统计图补充完整，并画出扇形统计图；

（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的学生该午餐浪费的食物可以供20人食用一餐，据此估算，这个学校1800名学生该午餐浪费的食物可供多少人食 用一餐？

考点： 条形统计图；用样本估计总体；统计表；扇形统计图．

分析： （1）根据没剩余的人数是80，所占的百分比是40%，即可求得总人数，然后利用百分比的定义求得a、b的值；

（2）求得剩少量的人数，求得对应的百分比，即可作出扇形统计图；

（3）利用1800除以调查的总人数，然后乘以20即可．

解答： 解：（1）统计的总人数是：80÷40%=200（人），

则a=200×20%=40，

b= ×100%=25%；

（2）剩少量的人数是：200﹣80﹣50﹣30=40（人），

扇形统计图是：

；

（3） ×20=180（人）．

点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

20．已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F．求证：DE=DF．

考点： 全等三角形的判定与性质．

专题： 证明题．

分析： 连接AD，利用“边边边”证明△ABD和△ACD全等，再根据全等三角形对应边上的高相等证明．

解答： 证明：如图，连接AD，

在△ABD和△ACD中，

，

∴△ABD≌△ACD（SSS），

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF（全等三角形对应边上的高相等）．

点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

21．（6分） （2014秋?南京期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，已知△ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，4）、（﹣1，2），点B坐标为（﹣2，1）．

（1）请在图中正确地作出平面直角坐标系，画出点B，并连接AB、BC；

（2）将△ABC沿x轴正方向平移5个单位长度后，再沿x轴翻折得到△DEF，画出△DEF；

（3）点P（m，n）是△ABC的边上的一点，经过（2）中的变化后得到对应点Q，直接写出点Q的坐标．

考点： 作图-轴对称变换．

专题： 作图题．

分析： （1）以点B向下2个单位，向右1个单位为坐标原点建立平面直角坐标系，然后确定出点B，再连接即可；

（2）根据网格结构找出点A、B、C平移、对称后的对应点D、E、F的位置，然后顺次连接即可；

（3）根据向右平移横坐标加，纵坐标不变，关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数解答．

解答： 解：（1）如图所示；

（2）△DEF如图所示；

（3）点Q（﹣m﹣5，﹣n）．

点评： 本题考查了利用轴对称变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构以及平面直角坐标系的定义，准确找出对应点的位置是解题的关键．

22．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．

（1）若四边形AEDF的周长为24，AB=15，求AC的长；

（2）求证：EF垂直平分AD．

考点： 直角三角形斜边上的中线；线段垂直平分线的性质．

分析： （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=AE= AB，DF=AF= AC，然后求出AE+DE=AB，再求解即可；

（2）根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线证明．

解答： （1）解：∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，

∴DE=AE= AB，DF=AF= AC，

∴AE+DE=AB=15，AF+DF=AC，

∵四边形AEDF的周长为24，AB=15，

∴AC=24﹣15=9；

（2）证明：∵DE=AE，DF=AF，

∴点E、F在线段AD的垂直平分线上，

∴EF垂直平分AD．

点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线的性质，熟记性质是解题的关键．

23．世界上大部分国家都使用摄氏温度（℃），但美、英等国的天气预报仍然使用华氏温度（℉）两种计量之间有如下 对应：

摄氏温度x … 0 10 20 30 40 50 …

华氏温度y … 32 50 68 86 104 122 …

如果华氏温度y（℉）是摄氏温度x（℃）的一次函数．

（1）求出该一次函数表达式；

（2）求出华氏0度时摄氏约是多少度（精确到0.1℃）；

（3）华氏温度的值可能小于其对应的摄氏温度的值吗？如果可能，请求出x的取值范围，如不可能，说明理由．

考点： 一次函数的应用．

分析： （1）设一次函数的解析式为y=kx+b，由待定系数法求出其解即可；

（2）当y=0时代入（1）的解析式求出其解即可；

（3）由华氏温度的值小于其对应的摄氏温度的值建立不等式求出其解即可．

解答： 解：（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，由题意，得

，

解得： ，

∴y=1.8x+32．

答：一次函数表达式为y=1.8x+32；

（2）当y=0时，

1.8x+32=0，

解得：x=﹣ ≈﹣18.9．

答：华氏0度时摄氏约是﹣18.9℃；

（3）由题意，得

1.8x+32＜x，

解得：x＜﹣ ．

答：当x＜﹣ 时，华氏温度的值小于其对应的摄氏温度的值．

点评： 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，一元一次不等式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．

24．已知：△ABC是等边三角形．

（1）用直尺和圆规分别作△ABC的角平分线BE、CD，BE，CD交于点O（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）过点C画射线CF⊥BC，垂足为C，CF交射线BE与点F．求证：△OCF是等边三角形；

（3）若AB=2，请直接写出△OCF的面积．

考点： 作图—复杂作图；等边 三角形的判定与性质．

分析： （1）利用直尺和圆规即可作出；

（2）根据等边三角形的每个角的度数是60°，以及三角形的内角和定理，证明∠F=∠FCO=60°即可证得；

（3）作OG⊥BC于点G，△OBC是等腰三角形，利用三角函数求得OC的长，则△OCF的面积即可求得．

解答： 解：（1）

BE、CD就是所求；

（2）∵BE是∠ABC的平分线，

∴∠FBC= ∠ABC= ×60°=30°，

同理，∠BCD=30°．

∵CF⊥BC，即∠BCF=90°，

∴∠F=∠FCO=60°，

∴△OCF是等边三角形；

（3）作OG⊥BC于点G．

∵∠FBC=∠DCB=30°，

∴OB=OC，

∴CG= BC= AB=1，

∴OC= = = ．

则S等边△OCF= = ．

点评： 本题考查了等边三角形的性质以及判定，和尺规作图，正确求得OC的长度是本题的关键．

25．一辆快车和一辆慢车分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，快车到达B地后，原路原速返回A地．图1表示两车行驶过程中离A地的路程y（km）与行驶时间x（h）的函数图象．

（1）直接写出快慢两车的速度及A、B两地距离；

（2）在行驶过程中，慢车出发多长时间，两车相遇；

（3）若两车之间的距离为skm，在图2的直角坐标系中画出s（km）与x（h）的函数图象．

考点： 一次函数的应用．

分析： （1）由速度=路程÷时间就可以得出结论，由函数图象的数据意义直接可以得出A、B两地之间的距离；

（2）设OA的解析式为y=kx，AB的解析式为y1=k1x+b1，CD的解析式为y2=k2x+b2，由一次函数与二元一次方程组的关系就可以求出结论；

（3）先求出两车相遇的时间，找到关键点的坐标就可以画出图象．

解答： 解：（1）由题意，得，

A、B两地距离之间的距离为2250km，

快车的速度为：2250÷10=225km/h，

慢车的速度为：2250÷30=75km/h；

（2）设OA的解析式为y=kx，AB的解析式为y1=k1x+b1，CD的解析式为y2=k2x+b2，由题意，得

2250=10k， ， ，

解得：k=225， ， ，

∴y=225x，y1=﹣225x+4500，y2=﹣75x+2250

当225x=﹣75x+2250时，

x=7.5．

当﹣225x+4500=﹣75x+2250时，

解得：x=15．

答：慢车出发7.5小时或15小时时，两车相遇；

（3）由题意，得

7.5小时时两车相遇，10时时，两车相距2.5（225+75）=750km，15时时两车相遇，20时时两车相距750km，由这些关键点画出图象即可．

点评： 本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，作函数图象的运用，解答时求出函数的解析式是关键．

26．由小学的知识可知：长方形的对边相等，四个角都是直角．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=9，在它的边上取两个点E、F，使得△AEF是一个腰长为5的等腰三角形，画出△AEF，并直接写出△AEF的底边长．

（如果你有多种情况，请用①、②、③、…表示，每种情况用一个图形单独表示，并在图中相应的位置标出底边的长，如果图形不够用，请自己画出） ．

考点： 矩形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理．

分析： 分点A是顶角顶点和底角顶点两种情况作出图形，然后过点E作EG⊥AD于G，利用勾股定理列式求出AG：①点A是顶角顶点时，求出GF，再利用勾股定理列式计算即可得解；②点A是底角顶点时，根据等腰 三角形三线合一的性质可得AF=2AG．

解答： 解：如图，过点E作EG⊥AD于G，

由勾股定理得，AG= =3，

①点A是顶角顶点时，GF=AF﹣AG=5﹣3=2，

由勾股定理得，底边EF= =2 ，

②点A是底角顶点时，底边AF=2AG=2×3=6，

综上所述，底边长为2 或6．

点评： 本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．