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教材分析

集合概念的基本理论，称为集合论.它是近、现代数学的一个重要基础.一方面，许多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用.在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集(整数的集合、有理数的集合)、点集(直线、圆)等，有了一定的感性认识.这节内容是初中有关内容的深化和延伸.首先通过实例引出集合与集合元素的概念，然后通过实例加深对集合与集合元素的理解，最后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画图表示集合的例子.本节的重点是集合的基本概念与表示方法，难点是运用集合的两种常用表示方法———列举法与描述法正确表示一些简单的集合.

教学目标

1. 初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道常用数集及其记法.

2. 初步了解“属于”关系的意义，理解集合中元素的性质.

3. 掌握集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言(集合语言)，培养学生的理解、化归、表达和处理问题的能力.

任务分析

这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解，这里主要根据实例引出概念.介绍集合的概念采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，学生容易接受.在引出概念时，从实例入手，由具体到抽象，由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念.集合的表示方法也是通过实例加以说明，化难为易，便于学生掌握.

教学设计

一、问题情境

1. 在初中，我们学过哪些集合?

2. 在初中，我们用集合描述过什么?

学生讨论得出：

在初中代数里学习数的分类时，学过“正数的集合”，“负数的集合”;在学习一元一次不等式时，说它的所有解为不等式的解集.

在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合.几何图形都可以看成点的集合.

3. “集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近?

学生讨论得出：

“全体”、“一类”、“一群”、“所有”、“整体”，……

4. 请写出“小于10”的所有自然数.

0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.这些可以构成一个集合.

5. 什么是集合?

二、建立模型

1. 集合的概念(先具体举例，然后进行描述性定义)

(1)某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集.

(2)集合中的每个对象叫作这个集合的元素.

(3)集合中的元素与集合的关系：

a是集合A中的元素，称a属于集合A，记作a∈A;

a不是集合A中的元素，称a不属于集合A，记作aA.

例：设B={1，2，3｝，则1∈B，4

2. 集合中的元素具备的性质 B.

(1)确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合的元素也就确定了.如上例，给出集合B，4不是集合的元素是可以确定的.

(2)互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的.

例：若集合A={a，b｝，则a与b是不同的两个元素.

(3)无序性：集合中的元素无顺序.

例：集合{1，2｝与集合{2，1｝表示同一集合.

3. 常用的数集及其记法

全体非负整数的集合简称非负整数集(或自然数集)，记作N.

非负整数集内排除0的集合简称正整数集，记作N*或N+;

全体整数的集合简称整数集，记作Z;

全体有理数的集合简称有理数集，记作Q;

全体实数的集合简称实数集，记作R.

4. 集合的表示方法

[问 题]

如何表示方程x2-3x+2=0的所有解?

(1)列举法

列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法.

例：x2-3x+2=0的解集可表示为{1，2｝.

(2)描述法

描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.

例：①x2-3x+2=0的解集可表示为{x|x2-3x+2=0｝.

②不等式x-3>2的解集可表示为{x|x-3>2｝.

③Venn图法

例：x2-3x+2=0的解集可以表示为(1，2).

5. 集合的分类

(1)有限集：含有有限个元素的集合.例如，A={1，2｝.

(2)无限集：含有无限个元素的集合.例如，N.

(3)空集：不含任何元素的集合，记作.例如，{x|x2+1=0，x∈R｝=.

注：对于无限集，不宜采用列举法.

三、解释应用

[例 题]

1. 用适当的方法表示下列集合.

(1)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数.

(2)平面内到一个定点O的距离等于定长l(l>0)的所有点P.

(3)在平面a内，线段AB的垂直平分线.

(4)不等式2x-8<2的解集.

2. 用不同的方法表示下列集合.

(1){2，4，6，8｝.

(2){x|x2+x-1=0｝.

(3){x∈N|3

3. 已知A={x∈N|66-x∈N｝.试用列举法表示集合A.

(A={0，3，5｝)

4. 用描述法表示在平面直角坐标中第一象限内的点的坐标的集合.

[练 习]

1. 用适当的方法表示下列集合.

(1)构成英语单词mathematics(数字)的全体字母.

(2)在自然集内，小于1000的奇数构成的集合.

(3)矩形构成的集合.

2. 用描述法表示下列集合.

(1){3，9，27，81，…｝.

(2)

四、拓展延伸

把下列集合“翻译”成数学文字语言来叙述.

(1){(x，y)|y=x2+1，x∈R｝.

(2){y|y=x2+1，x∈R｝.

(3){(x，y)|y=x2+1，x∈R｝.

(4){x|y=x2+1，y∈N*｝.

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