简介：

　三角函数与平面向量

　三角函数的图象与性质

1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质;会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象;掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质.

2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现.因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等).

3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易.这几年的高考中加强了对三角函数定义、图象和性质的考查.在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等的训练.

1. 函数y=2sin2-1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数.

2.函数f(x)=-cosx在[0，+∞)内的零点个数为________.

3.函数f(x)=2cos2x+sin2x的最小值是________.

4.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)=sinx，则f的值为________.

【例1】　设函数f(θ)=sinθ+cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.

(1) 若点P的坐标是，求f(θ)的值;

(2) 若点P(x，y)为平面区域上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值.

【例2】　函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示.

(1) 求f(0)的值;

(2) 若0<φ<π，求函数f(x)在区间上的取值范围.

【例3】　已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.

(1) 求f的值;

(2) 将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间.

【例4】　已知函数f(x)=2sin2-cos2x-1，x∈R.

(1) 求f(x)的最小正周期;

(2) 若h(x)=f(x+t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值;

(3) 当x∈时，不等式|f(x)-m|<3恒成立，求实数m的取值范围.

1. (2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ=-，则y=________.

2.(2010·全国)函数f(x)=sin-2sin2x的最小正周期是________.

3.(2009·全国)函数y=sincos的最大值为________.

4.(2010·广东)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)，y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是________.

(2011·四川)已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1(x∈R).

(1) 求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;

(2) 若f(x0)=，x0∈，求cos2x0的值.

5.(2009·福建)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，其中ω>0，|φ|<.

(1) 若coscosφ-sinπsinφ=0，求φ的值;

(2) 在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式;并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数.

(2009·重庆)(本小题满分13分)设函数f(x)=sin-2cos2+1.

(1) 求f(x)的最小正周期;

(2) 若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称，求当x∈时，y=g(x)的最大值.

解：(1) f(x)=sinxcos-cosxsin-cosx

=sinx-cosx(3分)

=sin，(5分)

故f(x)的最小正周期为T ==8.(7分)

(2) (解法1)在y=g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于x=1的对称点为(2-x，g(x)).

由题设条件，点(2-x，g(x))在y=f(x)的图象上，从而

g(x)=f(2-x)=sin=sin=cos.(10分)

当0≤x≤时，≤x+≤，因此y=g(x)在区间上的最大值为g(x)max=cos=.(13分)

(解法2)因区间关于x=1的对称区间为，且y=g(x)与y=f(x)的图象关于x=1对称，故y=g(x)在上的最大值为y=f(x)在上的最大值，

由(1)知f(x)=sin，

当≤x≤2时，-≤x-≤，

因此y=g(x)在上的最大值为g(x)max=sin=.(13分)

第7讲　三角函数的图象与性质

1. 若

【答案】　-8　解析：令tanx=t∈(1，+∞)，y=，y′(t)=

得t=时y取最大值-8.

2. 已知函数f(x)=2cos2x+sin2x.

(1) 求f的值;

(2) 求f(x)的最大值和最小值.

解：(1) f=2cos+sin2=-1+=-.

(2) f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)=3cos2x-1，x∈R.

因为cosx∈[-1,1]，所以当cosx=±1时，f(x)取最大值2;当cosx=0时，f(x)取最小值-1.

基础训练

1. π　奇　解析：y=-cos=-sin2x.

2. 1　解析：在[0，+∞)内作出函数y=，y=cosx的图象，可得到答案.

3. -+1　解析：f(x)=2cos2x+sin2x=sin+1.

4. -　解析：f=f=f=sin=-.

例题选讲

例1　解：(1) 根据三角函数定义得sinθ=，cosθ=，∴ f(θ)=2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ=，从而求出 f(θ)=2).

(2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤，f(θ)=sinθ+cosθ=2sin，∴ θ=0，f(θ)min=1;θ=，f(θ)max=2.

(注： 注意条件，使用三角函数的定义; 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y=Asin(ωx+φ)的形式)

例2　解：(1)由题图可知：A=，=π-=，ω=2，

2×+φ=2kπ+，φ=2kπ+，k∈Z，

f(0)=sin=.

(2) φ=，f(x)=sin.

因为0≤x≤，所以≤2x+≤π，所以0≤sin≤1.

即f(x)的取值范围为[0，].

(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y=Asin(ωx+φ)的图像与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题)

变式训练　已知A为△ABC的内角，求y=cos2A+cos2的取值范围.

解： y=cos2A+cos2=+

=1++

=1+=1+cos.

∵ A为三角形内角，∴ 0

∴ y=cos2A+cos2的取值范围是.

例3　解：(1) f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)

=2

=2sin.

因为f(x)为偶函数，

所以对x∈R，f(-x)=f(x)恒成立，

因此sin=sin.

即-sinωxcos+cosωxsin

=sinωxcos+cosωxsin，

整理得sinωxcos=0.

因为ω>0，且x∈R，所以cos=0.

又因为0<φ<π，故φ-=.

所以f(x)=2sin=2cosωx.

由题意得=2×，所以ω=2.

故f(x)=2cos2x.

因此f=2cos=.

(2) 将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，

所以g(x)=f=2cos=2cos.

当2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z)，

即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)时，g(x)单调递减，

因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).

例4　解：(1)函数可化为f(x)=-cos-cos2x=2sin，故f(x)的最小正周期为π.

(2) h(x)=2sin.令2×+2t-=kπ，k∈Z.

又t∈(0，π)，故t=或.

(3) 当x∈时，2x-∈， ∴ f(x)∈[1,2].

|f(x)-m|<3，即f(x)-3

变式训练　设函数f(x)=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，将f(x)的最小值记为g(t).

(1) 求g(t)的表达式;

(2) 讨论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.

解：(1) f(x)=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4

=sin2x-2tsinx+4t3+t2-3t+3

=(sinx-t)2+4t3-3t+3.

由于(sinx-t)2≥0，|t|≤1，故当sinx=t时，f(x)达到其最小值g(t)，即

g(t)=4t3-3t+3.

(2) g′(t)=12t2-3=3(2t+1)(2t-1)，-1

列表如下：

t



-









g′(t)

+

0

-

0

+



g(t)

 

极大值

 

极小值

 



由此可见，g(t)在区间和上单调增，在区间上单调减，极小值为g=2，极大值为g=4.

高考回顾

1. —8　解析：sinθ==-，解得y=-8或8(舍).

2. π　解析：f(x)=sin-2sin2x=sin-.

3. 　解析： y=cosx=sin+.

4. ，k∈Z　解析： f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)=2sin.

∵ 周期为π，∴ ω=2，∴ f(x)=2sin.

2kπ-≤2x+≤2kπ+，即kπ-≤x≤kπ+，k∈Z.

5. 解： (1) 由f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1，得

f(x)=(2sinxcosx)+(2cos2x-1)=sin2x+cos2x=2sin.

所以函数的最小正周期为T==π.

因为x∈，所以2x+∈.

所以2x+∈，即x∈时，函数f(x)为增函数，而在x∈时，函数f(x)为减函数，所以f=2sin=2为最大值，f=2sin=-1为最小值.

(2) 由(1)知，f(x0)=2sin.

又由已知f(x0)=，则sin=.

因为x0∈，则2x0+∈.因此cos<0，

所以cos=-，于是cos2x0=cos，

=coscos+sinsin

=-×+×=.

6. 解：(1) 由coscosφ-sinπsinφ=0得coscosφ-sinsinφ=0

即cos=0，又|φ|<，∴ φ=.

(2) 由(1)得f(x)=sin，依题意，=，又T=，故ω=3，

∴ f(x)=sin，函数的图像向左平移m个单位后对应的函数为g(x)=sin，g(x)是偶函数，当且仅当3m+=kπ+(k∈Z)，即m=+(k∈Z)，从而最小正实数m=.