小学数学的五年级奥数里，有个知识点还是很重要的，那就是最大公约数与最小公倍数。 数学加先用一个小故事来引入这个题目。

有一天小明和爸爸一起乘公共汽车去青少年宫。他们俩坐的是3号车，快要出发的时候，1号车正好和他们同时出发，爸爸看着这两辆车出了个题目：

如果1号车每3分钟发车一次，3号车每5分钟发车一次。假设在同一个起点站，这两辆车至少再过多少分钟后又能出发呢?

小明想了想脱口而出“15分钟，因为3和5是互质数，求互质数的最小公倍数就等于这两

个数的乘积(3×5=15)所以15就是它们的最小公倍数。也就是这两辆车至少再过15分钟同时出发。”

爸爸听了夸奖道：“答案正确!100分。”

我们看看这个问题的变形题目!

例1：用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱?

分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144，180，240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是144，180，240的最大公约数。

所以(144，180，240)=2×2×3=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60÷12=5(元)。为节约篇幅，除必要时外，在求最大公约数和最小公倍数时，将不再写出短除式。

例2：用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少?

分析与解：因为498，450，414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整除。

498-450=48，450-414=36，498-414=84。所求数是(48，36，84)=12。

例3：现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少?

分析与解：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111的约数。因为1111=101×11，它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909。所以所求数是101。

例4：在一个30×24的方格纸上画一条对角线(见下页上图)，这条对角线除两个端点外，共经过多少个格点(横线与竖线的交叉点)?

分析与解：(30，24)=6，说明如果将方格纸横、竖都分成6份，即分成6×6个相同的矩形，那么每个矩形是由(30÷6)×(24÷6)=5×4(个)

小方格组成。在6×6的简化图中，对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线，所以经过5个格点(见左下图)。在对角线所经过的每一个矩形的5×4个小方格中，对角线不经过任何格点(见右下图)。

所以，对角线共经过格点(30，24)-1=5(个)。