抽象的逻辑演绎、简练的形式表达、对称的结构分布以及永恒的生命力,使得数学对人类文化艺术生活的影响遍及绘画、雕塑、建筑、音乐和文学等诸多方面。与此同时,在对艺术创作的启迪思想和构造方法进行研究的过程中,也催1对于数学概念形象生动的艺术表达方式,如解析几何学。纵览数学和艺术之间的历史关系,恰如19世纪法国文学家福楼拜说的那样,“两者在山麓分手,有朝一日,将在山顶重逢”[1].

一、历史上数学和艺术之间的关系

1.古希腊时期的数学和艺术---相伴相生

西方文明发源于爱琴海西侧的古希腊。古希腊文明的开山鼻祖,数学家、科学家、哲学家、思想家毕达哥拉斯提出了“美在和谐”的观点,他认为只要恰到好处地调整数量比例关系,绘画、雕塑、建筑、音乐、舞蹈等就能产生最美妙的艺术效果。古希腊的艺术发展由此带有深刻的数学烙印,无论是雕塑还是绘画都表现出一种形态匀称、和谐安详的特点。特别值得一提的是,古希腊艺术家在设计作品时特别钟情于遵循“黄金分割”来划分整个画面和安排视觉中心点。1820年在爱琴海的米洛斯岛上出土了着名的古希腊大理石雕像“断臂的维纳斯”,这位爱神的身体各个部分都符合“黄金分割”这一特定的审美标准,成为女性人体艺术的巅峰之作。

在400多年的古希腊文明时期,数学与艺术基本上处于浑然一体的状态。人们甚至没有严格区分科学与艺术的概念,认为两者理所当然地是自然哲学的两个组成部分。这个时期的一些杰出人物,从早期的苏格拉底、柏拉图、亚里士多德,到后期的欧几里德,都是精通科学与艺术的跨界大师。古希腊文明的最后一位大师,数学家、物理学家、天文学家和哲学家阿基米德在《论球和圆柱》等经典着作中,把欧几里德严格的数学推理与柏拉图丰富的艺术想象和谐地融合在一起,用“穷竭法”导出了许多平面图形的面积和立体图形的体积,成为1800年后“微积分学”的思想源头。

2.文艺复兴时期的数学与艺术---合作巅峰

经过了漫长的中世纪,欧洲于13世纪末进入了文艺复兴时期,艺术在人文主义和科学思想的双重影响下蓬勃发展。为达到真实反映现实的目的,画家们面临着一个急待解决的数学问题---如何把三维的现实世界描绘在二维画布上?1435年,意大利画家、建筑学家、数学家、文学家阿尔伯蒂出版了《绘画论》一书,对基于透视几何学的焦点透视画法进行了科学的系统化。他认为大自然是艺术创作的源泉,数学是认识自然的钥匙,艺术的美就是和自然相符合。意大利画家、科学家达·芬奇用艺术家的眼光去观察自然,用科学家的精神去探索自然,深邃的哲理和严密的逻辑使他在艺术和科学上都达到了顶峰。达·芬奇在线透视与色透视的基础上,创立了透视学的第三个分支---空气透视;同时他还创作了许多精美绝伦的透视学作品,其中最优秀的当属《最后的晚餐》。

透视几何学的诞生和应用,使得数学和艺术的融合达到了一个里程碑式的高度。

波兰数学家、天文学家、法学家、医生、牧师哥白尼经过长年的观察和计算,在1543年发表的《天体

运行论》中提出了“日心说”,沉重打击了教会的宇宙观。近100年后意大利物理学家、天文学家伽利略以《星际使者》《关于太阳黑子的书信》等着作有力地支持了哥白尼的“日心说”,奠定了近代实验科学的基础。哥白尼和伽利略两人的研究成果逐渐瓦解了传统上神学、科学、哲学之间的统一关系,为近代自然科学的发展铺平了道路。

3.近代思想启蒙运动中的数学和艺术---渐行渐远

发端于17世纪中叶的思想启蒙运动揭开了欧洲近代史的序幕,启蒙思想家们力求探索推动人类社会不断前进的永恒法则。1665年,英国数学家、物理学家、天文学家、哲学家牛顿,德国数学家、历史学家、法学家、哲学家莱布尼兹各自独立地创立了具有划时代意义的“微积分学”,彻底改变了数学概念绝大多数来源于直观的经验模型的面貌,开始更多地依赖于思维的构造。微积分学随即成为现代物理学、化学、天文学、生物学和地理学等众多自然科学和工程技术的基础理论方法,而且还广泛应用于经济、管理、语言、政治、艺术设计等人文社会科学领域。在微积分的基础上建立起来的点集拓扑学与泛函分析等各个现代数学分支日趋逻辑化和抽象化,也远远走在了所有现代数学应用领域的前列。

1750年德国美学家、哲学家鲍姆嘉通出版了一本学术专着《美学》,宣告了美学已确立为一门独立学科。他将美学定义为“感性认识的科学”,认为“科学研究的初衷是追求真,而艺术研究的目的是创造美”.与之同时代的德国哲学家、思想家黑格尔在其1817年出版的《哲学全书》中宣称,“艺术的内容就是人们内心的理念,艺术的形式就是诉诸感官的形象”.至此,人们对于数学和艺术更多的是强调它们之间的差异:数学作为自然科学的基础,主要遵循逻辑思维的原则,达到了理性认识的巅峰;而艺术作为人文精神的代表,主要运用形象思维的方式,达到了感性体验的极致。在鲍姆嘉通和黑格尔的指引下,艺术与现代数学都孤单地迈上了相对独立的发展道路4.近现代社会中数学与艺术的重新融合之路==进入20世纪,人类历史翻开了崭新的一页,人们的生活状态和思维方式也发生了深刻的变革。1945年美籍奥地利人、生物学家贝塔朗菲发表了《关于一般系统论》的论文,从此人们开始以整体性的观点来分析系统、要素和环境三者之间的互动联系和变化规律,科学与艺术的基本原理、工作对象、研究方法等各个方面都重新开始互相渗透和融合。就像英国学者马丁·约翰逊在《艺术与科学思维》一书中所指出的那样,“科学家与艺术家,他们虽然岗位不同,但在各自工作中所追求的目标是相通的,他们实际所采用的工作方法比他们实际所承认的有着更多的相同之处”.

根据思想倾向和艺术风格的不同,20世纪以来西方现代艺术史上形成了各种各样的艺术流派。西班牙画家、雕塑家、剧作家、诗人毕加索的名作《亚威农少女》,引发了立体主义运动的兴起。立体派比较关注如何运用几何原理和数学概念来革新传统的艺术形式,表现生活在迅猛变化的工业社会里的人们内心的期待、躁动、彷徨与失落。而抽象派则尝试打破绘画必须模仿自然的艺术观念,主张以抽象的几何图形为绘画的基本元素,来构造普遍的现象秩序与均衡美感。抽象派的先驱、荷兰

画家蒙德里安的代表作品《灰色的树》,通过直线与直角的“纯粹造型”达到了人神统一的“绝对境界”.说到20世纪的艺术界,必须提及荷兰的埃舍尔,他是如此的特立独行,甚至至今都无法将他归属任何一个流派。埃舍尔一生钟情于镶嵌艺术的研究与创作,他从圆、正三角形、正方形、正六边形等基本几何图形出发,连续多次地利用欧氏几何里的反射、平移、伸缩、旋转这四种基本变换,使得基本几何图形扭曲变形为虫、鱼、鸟、兽、人物、花朵、魔鬼与天使等镶嵌图案。

后来,埃舍尔从读到的非欧几何、拓扑、分形几何等数学思想中再次获得了巨大灵感,使镶嵌艺术达到了鼎盛状态。在埃舍尔创作的那些充满现代数学气息的镶嵌艺术作品中,例如《红蚁》《瀑布》《鱼和鳞》《观景楼》,我们看到了一个个神秘莫测的神话世界。

如果说,非欧几何直接造就了埃舍尔辉煌的镶嵌艺术,那么分形艺术则充分展示了后现代主义的艺术风格。为了表现变幻的云朵、蜿蜒的河流、神秘的星系和粗糙的断面等自然形态,1975年数学家、计算机专家芒德勃罗出版的《分形:形状、机遇和维数》一书,宣告了分形几何的诞生。在审美情趣与科学内涵完美融合的分形图形中,厚重的思想随着时间消逝,流动的秩序在平面上涌动,主体裂成碎片丧失了中心地位,艺术通过计算机复制走向大众化。虽然分形图形具有复杂的结构,但总是可以利用简单函数无限迭代而成。这个特征使得分形广泛应用于各个艺术领域,尤其是装饰设计方面,如早期的贺卡、壁画、明信片、书籍封面,以及现在的电信卡、购物卡、文化衫、广告画面等。北京服装学院高绪珊教授率领的团队将分形理论应用于纤维制造流程,创造了多维高仿真长丝SFY,使人造纤维呈现出“龙缠柱”般的天然纤维风格。

二、教育工作者的深度反思---和谐发展

我们已经截取了西方艺术发展史上四个重要的阶段作为载体,简要地阐述了数学和艺术之间关系的来龙去脉。了解这一点,对于教育工作者有什么实际意义?美籍华裔核物理学家吴健雄曾经指出:“为了避免出现社会可持续发展中的危机,当前一个刻不容缓的问题是消除科学文化和人文文化之间的隔阂,而为加强这两方面的交流和联系,没有比大学更合适的场所了[4].”

近20年来,教育界的有识之士反复提出这样一个问题:我国作为一个世界“大工厂”拥有庞大的工程师队伍,可是为什么国内大多数行业仍旧处于世界产业链的底端?答案是明显的,我国目前缺少真正意义上的大师级别的科学家和艺术家,既不能开发尖端的突破性的核心技术,也不能设计前卫的独创性的艺术模式。

那么,为什么会出现这种令人尴尬的局面呢?

现行教育体制或许应当担负起一定的责任。我国的教育注重知识灌输、忽视能力培养的教学方式姑且不论,还在高中阶段就过早地文理分科,大学阶段专业划分过细,理工科学生不用学习如何欣赏艺术,而艺术类学生也不会主动关注数学。久而久之,在知识结构、认知行为与创造能力等方面产生明显的断裂是必然的。值得欣慰的是,2014年教育部已经宣布了高中不分文理班的政策,这是朝着“理性回归”迈出的第一步。可以期待,未来大学的一二年级将不再划专业,而进行“通识教育”.如此一来,方有可能造就逻辑思维能力和形象思维能力和谐发展的人才。

数学和艺术的融合,从哲学上讲,源于它们共同的追求---普遍性和永恒性,以及在数学研究和艺术创作过程中共同的付出---智慧和情感。“数学求真,艺术求美”,因为只有真和美才是普遍的和永恒的。古希腊人认为“美是真理的光辉”,美和真实际上是统一的。数学和艺术的融合其实就是“艺术的数学化”和“数学的艺术化”.对于艺术的数学化,大家其实并不陌生。且不说生活中普遍存在的“分形艺术”,美国商业电影《阿凡达》开启了一个广泛意义上的“计算机艺术”的新时代。从键盘输入设计巧妙的数学算法,线条、色彩、形态、结构等艺术元素连续地变换与组合,具有梦幻效果的艺术作品就神奇地显示在屏幕上了。相信这会对现代艺术的创作风格、传播方式和评价体系等方面产生深刻的影响。

对于数学的艺术化,可以像北京科教频道的纪录片《宇宙大探索》那样,用艺术化的浪漫方式来阐述深奥的宇宙演化理论。在“高等数学”课程的教学过程中,也要尽量把抽象的数学概念和深刻的数学思想进行艺术化的处理,让课堂始终充满着幽默风趣的气氛,激发学生的好奇心和共鸣感。一方面拿一些经典艺术素材来表述,发挥艺术作品形象直观的优势,加强理解的深度和广度。比如在讲授极限理论时,不妨利用俄罗斯套娃来演示无穷数列的变化趋势,然后借用宋代叶绍翁的诗句“满园春色关不住,一枝红杏出墙来”来解释无穷与无界的区别。比如在讲授透视几何时,可以播放一段我国的传统艺术皮影戏来引起学生对于透视原理的兴趣,然后引导学生从数学的角度来欣赏达·芬奇的《最后的晚餐》。再比如讲到傅里叶级数时,先通过计算机播放一段舒缓的贝多芬的《田园交响曲》,让学生观察MediaPlayer上显示的声波的简谐振动,然后让学生课后查阅毕达哥拉斯用数学方法研究音程和音律之间关系后建立的音乐理论。另一方面,要充分挖掘高等数学本身蕴涵的五大审美因素---简洁之美、对称之美、统一之美、奇异之美和运动之美。数学之美是一种通过赏心悦目的数学结构呈现的人类思维方式,是一种超越视听感觉的“抽象美”.要引导学生在学习数学概念、定理的过程中,发现与领略数学之美;在解答或证明数学问题的过程中,追求与创造数学之美,进而对数学产生浓厚的兴趣和强烈的感情。

三、结语

数学使我们富于理性,以便冷静地理解这个世界的存在状态和运行模式。艺术让我们富于感性,从而热情地感触这个世界的多姿多彩和永恒魅力。数学和艺术原本相伴相生,后来分道扬镳,现在终于发现对于彼此的依赖。在数学和艺术重新走向融合的道路上,数学和艺术教师可以有所作为。