导读:根据给出的封闭曲面的形式判断积分区间,化三重积分为三次积分. 关键词:积分区域,最大投影,柱坐标,球面坐标 1.给出的曲面形如,. 令,得到一个关于的方程,是封闭曲面围成的区域在XOY平面上的最大投影,也是满足的范围,然后根据所得到的的关系判断的大小. 例1 化三重积分为三次

积分,积分区域是由曲面及围成的闭区域.

解 根据有,因为得到的是最大投影,所以满足的是,根据该式可知,则

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2.给出的曲面形如

(1)若C=0,关于的积分一般是;(2)若C0,关于的积分一般是;根据需要有时会给出的函数,来确定的取值范围。。。。

例2 化三重积分为三次积分,积分区域是由曲面及围成的闭区域.

分析 (根据情况(1))依题意有,则有,再有,得出闭区域在平面上的最大投影区域,则

2.卢方芳(1982-),女,硕士

例3 化三重积分为三次积分,积分区域是由曲面及围成的闭区域.

分析给出的曲面形如,.故闭区域在平面上的最大投影区域即,再根据情况(2)有,则.

3. 给出形如或曲面围成的闭区域

形如曲面围成的闭区域可以用柱坐标变换.一般的的最高次项是一次, 的最高次项是二次都可使用柱坐标变换.

形如z=曲面围成的闭区域可以用球面坐标变换. 一般,的最高次项都是二次可使用球面坐标变换.

上面的两种坐标变换是固定的变换形式,可以代回给出的的曲面方程判断新的参数的范围.

例4计算,其中是由曲面及围成的闭区域.

分析 先判断闭曲面的最大投影,令,则有,故闭区域在平面上的最大投影区域,根据得出,而根据所给的曲面方程形式,可以使用柱坐标变换,

令 ,对于本题则有

解

.

例5计算,其中是由球面若围成的闭区域.

分析 本题可以用球面坐标

则有,

解

.

例6计算,其中是由曲面围成的闭区域.

分析 本题显然可以使用球面坐标

带入曲面方程有

解

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以上例题均来自参考文献[1],本文介绍在空间图像不好想象的情况下,可以根据给出封闭曲面的函数形式,来划分积分区间,从而将三重积分化为累次积分.

参考文献:

[1] 同济大学应用数学系主编.高等数学(五版)[M].高教出版社,2002.