2016-07-01
收藏
导读:深入分析换元法的目的和意义,从而得出各种换元技巧的本质规律,以便在数学解题中能够有效地选择换元方式. 关键词:换元法,转化 从一种形态转化到另一种形态,这是数学发展的一个杠杆,也是解题常用的手段. 数学史中这样的例子很多,无论是对一些具体问题的解决,还是在经典的数学方法中,都无不渗透着
这一思想. 解题中常用到的换元法,其实也是这一思想的具体体现.
当然,为了使问题得到解决,转化应该是有效的. 什么是有效的转化?总的说来,有利于问题解决的转化就是有效转化. 在具体问题中,针对转化的有效性,人们作了很多的探讨. 以换元法为例,就有很多文章探讨了解方程中的换元技巧,积分中的换元技巧,等等. 每一类问题又由于其具体形式的不同,换元的形式也多种多样. 分析各种换元形式的共同规律,可以将其归结为以下两种模式.
一、通过换元使形式凝练、简化
化繁为简是处理问题的一种常用方法,也是数学解题的一种重要手段,恰当的换元往往可以起到这一作用.
例1 解方程.
分析 这是一个含根式的二次方程,形式较复杂,但注意到方程左端可以化成关于的表达式,令,原方程可简化为一元二次方程,问题得以解决.
解 原方程可改写为
.(1)
令,则方程(1)可化为
,(2)
解此方程,得(舍去),.
由,得
,(3)
解方程(3),得原方程的根
,.
二、通过换元改造难于处理的形式
表达式中出现难于处理的形式,如根式、超越函数等,通过适当的换元来改造形式,使问题得以解决.
例2 求不定积分.
分析 被积函数的分子、分母中分别出现了二次根式和三次根式,没有直接的积分公式可以套用,设法将根式去掉. 令,可以将无理函数转化为有理函数.
解 设,即,. 于是
在具体问题中,换元的形式多种多样,但究其本质,多是从以上两个角度选择换元方式. 弄清这一基本规律,我们就没有必要去记忆各种换元技巧,具体问题具体分析,有针对性地恰当选择换元.
[参考文献]
[1]刘玉琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁. 数学分析讲义(第四版)[M]. 北京:高等教育出版社,2003.
[2]宋天鉴,刘卫华,孙敏. 高中数学解题法[M]. 昆明:云南教育出版社,1996.
2016年小学六年级数学圆锥的体积随堂练习题:下学期
新课标小学六年级上册数学《圆》单元练习题
苏教版一下一单元第二课时《认识几十几》教案
西师大版数学一年级下册第一单元《确定位置》教案
西师大版数学一年级下册第一单元《上和下》教案
新人教版小学二年级数学下册应用题集锦
人教版四年级上册数学《亿以内数的写法》单元练习题
圆柱与圆锥的认识同步检测题:小学六年级下册数学
万以内数的认识与表达同步检测题:二年级下学期数学
2016年中考数学考场答题技巧指导
新课标数学一年级第四单元《数数数的组成》教案
2016三年级数学下册第七单元试卷(人教版)
2016年小学数学数学模拟试卷
小学五年级数学上册综合应用题自测
2016年中考数学压轴题型的猜想
西师大版数学一年级下册第一单元《左和右》教案
四年级下册《连减的简便计算》教学设计
中考数学审题要注意什么
新课标版数学一年级下册《读数写数》教案
小学三年级上册数学第四单元自测试卷
新课标版数学一年级第五单元《认识人民币2》教案
小学三年级数学下册第七单元检测试卷(新苏教版)
小学五年级上册数学计算题自测锦集
2016年中考数学冲刺复习的致命陷阱总结
三年级数学下册第七单元小数的初步认识练习题(2016人教版)
小学二年级数学下册知识点:100以内的加法和减法
2016年中考数学复习考点总结
中考数学函数必考的性质总结
浙教版六年级下册数学圆柱的体积练习题(精选)
2016年六年级数学圆柱的表面积随堂检测题:下册
小学 |
初中 |
高中 |
不限 |
一年级 | 二年级 |
三年级 | 四年级 |
五年级 | 六年级 |
初一 | 初二 |
初三 | 高一 |
高二 | 高三 |
小考 | 中考 |
高考 |
不限 |
数学教案 |
数学课件 |
数学试题 |
不限 |
人教版 | 苏教版 |
北师版 | 冀教版 |
西师版 | 浙教版 |
青岛版 | 北京版 |
华师大版 | 湘教版 |
鲁教版 | 苏科版 |
沪教版 | 新课标A版 |
新课标B版 | 上海教育版 |
部编版 |
不限 |
上册 |
下册 |
不限 |