2011年江苏省高中数学青年教师优秀课评比的课题是“指数函数”、“几何概型”,并提前3个月公布于众.为配合此次活动,南京市教研室举行了一系列活动:以同样的课题,通过说课、上课,挑选推荐参加省级比赛的选手,并为参加省赛课进行集体备课.笔者作为评委参与其中,受益匪浅:经历了研究探索的过程,深化了对教学内容的认识,引发了对教学设计的深度思考……这里,笔者以指数函数为例,谈谈自己的真切体会.

一、指数函数教学教什么

1.高中指数函数的教育价值

我们先从整体上把握高中数学新课程“函数”的教学.在高中数学新课程中,函数内容展开的线路与顺序是,第一步,函数的概念(三要素)、表示方法.第二步,研究函数的性质(单调性、奇偶性),从数和形两个角度研究并相互印证,以求让学生初步形成研究函数的一般方法,即掌握研究函数一般要研究哪些内容,通过怎样的方法与思路去研究.第三步,学习具体的重要的函数模型:指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、数列(离散型的函数)等.而这些函数模型的学习与研究,又是在重复并深化了研究函数的一般方法与步骤:函数的定义域是什么,对应法则如何,性质怎样?其图形表征是怎样的(图形语言)?看图象能够看出什么(数形结合)?学生不仅学到了知识,而且掌握了方法,提高了能力.第四步,就是函数的知识与方法在学习其他内容过程中的渗透与应用,同时,学生对函数的理解也在一直不断地得以强化和深入.

可见,指数函数是在学习“对应说”函数概念和函数的一般性质的基础上,具体研究的第一个重要函数模型,是应用研究函数性质的一般方法去研究函数的一次实践.对学生而言,既学习了新的函数模型,又强化了对函数研究方法的掌握,为后续学习研究另外的几个重要函数模型积累宝贵的经验,还将进一步深化对函数概念的理解.指数函数是超越函数,学生第一次遇到,学习面临着挑战.其学习过程充满着观察、分析、抽象、概括等方法,蕴含着从特殊到一般、数形结合、函数的思想.因此,学习指数函数是学生认识函数的又一次飞跃.更为重要的是,让学生深入理解科学研究的一般方法,这对于提高学生的科学素养,实现教育要关注“人的发展”是十分有意义的.

2.指数函数教学教什么

按照南京师范大学涂荣豹教授的观点,教什么就是教学生学什么和教学生怎么学.具体到本节课,我们就要思考:学生学习指数函数,能够在哪些方面得到发展,为了达成这一教学目标,我们又要把握哪些关键呢?

首先,教学生学习“提出问题”.提出问题比解决问题更重要.因而,教学要创设恰当的问题情境,努力让学生产生学习研究新事物的倾向,尝试提出问题.在新课引入的过程中,学生可能会自然地有这样的疑问:既然我们已经学习了函数的概念和性质,为什么还要研究具体的函数;函数有千千万万,为何要专门研究指数函数?这就要求我们在问题情境的创设(本节课是以实际问题情境引入新概念)时给学生以强烈刺激:形式新——以前未曾见过;有用——问题均来自于现实背景.从而,使学生意识到学习研究这样的函数模型的必要性,产生学习研究的欲望和动力.进一步地,启发引导学生思索:这一类事物的共同的本质属性是什么,如何给他们下一个严格的数学定义……在问题情境基础上的观察、比较、分析、概括……学生自主建构概念过程也就自然地展开了.

其次,让学生学习“寻找”一般科学研究方法的方法.这具有方法论的意义.在建立指数函数概念后,接下来要干什么?——研究它的性质.但是,这个问题由谁提出,由谁回答,大不一样:是教师直接给出这样的任务倾向,明示学习的任务,让学生具体地做下去;还是由学生主动产生探究的欲望,并自己探索研究的任务和方向,应该说二者不是一个层次上的问题.显然,前者对学生学习能力(具体地:自己提出问题,探索研究方向)的培养,是非常重要的.如果教师告知指导学生,接下来要干什么,要怎么做,学生只能是按教师的“既定路线”去“执行”,只能是完成教师布置的任务,其学习过程是被动的,思维是肤浅的.将来遇到新的问题,学生还是束手无策,不知所从.因此,启发引导学生自己提出问题、自己寻找探究的方向、探究的方法,自己概括探究的结果……也许是本节课的重中之重.

在学生明确要研究指数函数的性质的任务取向后,接下来的问题自然是,怎样研究指数函数的性质,即通过什么途径、用什么方法来研究它的性质——这还是需要让学生自己去寻找.教师只能是启发引导:以往有什么样的研究函数性质的经历、经验,初中阶段是如何研究函数性质的,进入高中后又学习了函数的哪些性质,研究函数要研究函数的哪些性质……教师要不断地、愈来愈近地、由暗及明地启发引导,让学生自己主动地去回想联想,探索研究函数性质的方法,明确研究函数性质的内容,确定研究方案,并付诸于研究的实践.

另外,指数函数的概念、图象、性质,当然是重要的知识,是本节课的重点,是学生要努力学习掌握的,但是,教学仅关注知识的落实是不够的.因为,比知识更为重要的是发展学生的认识力.正如涂荣豹教授所说的:“如果把‘人的发展’放在首位,那么,每节数学课都要把发展学生的认识力作为教学的最大目标.”从这样的观点出发,去设计教学,去实施教学,才可能是真正把准了知识与能力的关系,并在教学中做到:既落实知识,更注重培养和发展学生的能力.从而,把提出问题的机会留给学生,把寻找方法的空间让给学生,把自主探究学习的权力还给学生,把学生的数学思考给“逼向”深入……这些是教师应该努力做到的.

二、教学内容的三个节点分析

笔者认为,指数函数的教学有三个环节不容忽视,或者说,这三个环节把握的恰当与否是教学设计和实施成败的关键.

第一,指数概念的引入.如前文所及,需要创设一组问题情境,并启发引导学生“从大量的同类事物的不同例证中独立发现同类事物的关键属性”.问题情境应当是反映共同本质属性的、学生所熟悉的、学生感兴趣的若干个实际问题.让学生从问题解决的过程中发现新事物,然后是去“情境化”,即把具体的实际问题转化为具体的数学问题.在此基础上,再进行二次抽象:把具体的数学问题转化成更为一般形式的概括——建立严格的数学概念.

第二,指数函数性质的研究.要注意以下几个关键:一是要让学生提出问题——需要研究指数函数的性质;二是要让学生探究研究函数性质的方法——怎样研究函数的性质;三是在研究过程中,让学生有明确的研究目标——研究函数性质研究什么,也就是得到怎样的“研究成果”才算完成了指数函数性质的研究.

第三,指数函数的简单应用.即例题的教学,具体是简单指数式的大小比较,需要利用指数函数的单调性.问题看似简单,实则蕴含着重要的函数思想:题目中没有函数,需要将问题转化为函数问题,即需要引进指数函数解决.问题的思维价值在于:怎样想到的“引进”一个“指数函数”?——努力地让学生自己去“想到”,正是培养学生寻找解决问题策略的大好时机,同时,也将促进学生对函数思想的理解.如果教师直接讲解告知,即像教材上那样,上来就直接解题,开始就“考察指数函数……”解题过程无懈可击,学生“听懂”没有困难,解决类似问题也可模仿处理,好像并无不妥.但是,结果似从天而降,过程毫无思维含量而言,教学是教师强加于人,题目也变得索然无味了.从这一点而言,看似简单例题的教学,也许还有文章可做.

三、三个节点教学设计构想

基于上述分析,就上述三个节点的教学设计,在启发引导学生自主探究方面,笔者从提问设计的角度,作出以下设想和思考.

1.概念引入要突出过程

先给出三个实际问题情境(其中两个来自于苏教版教材),并通过问题解决得到三个关系式:

(1)某细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个,……若细胞分裂的次数为x,相应的细胞个数y是多少?

(2)根据下面的一句话,写出“天数”x与“长度”y的关系式:

“一尺之棰,日取其半,万世不竭”——《庄子·天下篇》.

(3)要测定古物的年代,可以利用放射性碳法:在动植物的体内都含有微量的放射性.动植物死亡后,停止了新陈代谢,不再产生,且原有的会自动衰变.经科学测定,若的原始量为1,则经过x年后的残留量为.

然后引导学生分析这些关系式的特点,努力让学生感悟到:这是一组函数关系式——它符合函数的定义;这样的函数关系式很有用,值得关注——它们全部来自现实生活;这样的函数关系式从未见过,是新生事物;进一步地,它们有何共同特点——自变量在指数位置……让学生尝试概括指数函数的概念也就水到渠成了.在整个建立概念的过程中,一是要给学生充分的观察、比较、分析、概括的时间和空间;二是要悉心的启发引导学生自主建构概念.特别是概括事物的本质属性,要给学生充分的思考时间,比如,让学生相互讨论交流,让学生再举出类似的例子.

附带说一下关系式中的x的范围的理解.教材中设“经过x年后”,似乎x要取正整数,但理解为“x可取一切正实数”可能更好:一是客观上说得通,的衰变本身就是连续变化的;二是这样做对理解指数函数的定义域为R有好处;三是在前面学习“分数指数幂”时,学生已“知道”当x为无理数时,是一个确定的实数.这对概念的理解与概括都是有益的.至于a0,a≠1的规定,只需根据“分数指数幂”的定义不难理解,不必花太多时间和精力,它并非本节课的重点,而且,过多涉及反而“说不清”,会增加学生理解概念的困难.

2.性质学习要注重探究

建立指数函数的概念后,接下来要干什么?——研究它的性质;怎样研究?——寻找研究的方法;研究什么?——明确研究的目标.这一切均应是学生的自主探究.教师所要做的,就是启发引导——用大量的元认知启发提示语去引导学生,并给学生充足的时间去交流、充分的空间去探索.笔者给出如下的问题串,教学过程中视具体情况再作调整:

——我们已建立了指数函数的概念,接下来你想干什么?

——你想进一步认识指数函数吗?

——指数函数有何特征?

(启发引导学生自己提出“要研究指数函数性质”的问题)

……

——您打算怎样研究指数函数的性质呢?

——以前有过类似的经历吗?

——你研究过哪些函数的性质,是如何研究的?

(让学生回忆研究函数性质的方法——画图象,由图象观察其性质)

……

——你如何实施你确定的研究方法和

研究目标?

——你怎样画出指数函数的图象?

(让学生自己选择a的值,画图象)

(教师巡视,发现并选择有代表性图象展示,比如,要关注到两类(a1、01)情形)

——从图象你看出了什么,请说说,说的越多越好.

(笔者认为,教师并不需要事先给学生明确要研究函数的性质,而是让学生从图中多观察出信息,增加研究的开放性.当学生回答时,教师择其要点板书,列出指数函数的性质,包括“图象过定点(0,1)”)

——研究函数的性质主要关心哪些“指标”?

(让学生明确研究函数的性质主要研究什么)

——这些结论是根据具体的指数函数的图象观察出来的,对一般的情形成立吗?

……

(师生最终完善形成“指数函数的图象和性质”)

3.解题教学要体现方法

先将课本(苏教版)上的例题抄录如下:

例 比较下列各组数中两个值的大小:

如前所述,问题解决是利用指数函数的单调性来比较指数式的大小,教学的意义在于让学生寻找解决问题的方法——函数思想.笔者这样设想提问与启发:

——如何比较二者大小,你能通过计算比较吗?

——如果能,那改为比较与的大小呢?

(意在让学生感受到:直接计算并不是解决问题的办法,必须要寻求另外的“出路”)

——两式有何特征,有何共同特点?

(分析出都是指数式,底数相同,指数不同).

——指数不同是什么意思,是否意味着指数在变化,你有何联想?

(底数不变,指数变化——联系指数函数)

——应该引进怎样的指数函数?

——引进指数函数后怎样说明两个式子值的大小?

……

笔者认为,学生学习的过程就是一个不断地提出问题、寻求方法、解决问题的过程.教师应给学生创造条件,并作悉心地启发引导,让学生自己提出问题,自己寻找研究的方法,自己拟定研究的方案,自己总结研究的成果……从而促进学生认识力的提高,实现学生的可持续发展.正是从这一点出发,笔者作了上述分析与思考,不当之处,请广大同仁批评指正