摘要:二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型,初中阶段主要研究二次函数的概念、图像和性质,用二次函数的观点审视一元二次方程,用二次函数的相关知识分析和解决简单的实际问题。其图像因为是曲线,关系式变化形式多,应用比较复杂,学习难度较大。教学中,应抓住重点组织教学,立足整体设计教法,帮助学生系统把握二次函数的图像和性质,明晰二次函数应用的方法。

关键词:二次函数重点整体难点

二次函数是初中阶段继一次函数、反比例函数之后,学生要学习的最后一类重要的代数函数,它也是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。初中阶段主要研究二次函数的概念、图像和性质,用二次函数的观点审视一元二次方程,用二次函数的相关知识分析和解决简单的实际问题。二次函数和一次函数、反比例函数一样,都是高中阶段要学习的一般函数和非代数函数的基础。二次函数的图像因为是曲线,关系式变化形式多,应用比较复杂。我在二次函数的教学中,整体把握,重点突破,收到了较好的教学效果。

一、 抓住重点组织教学

(一) 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的关系式,并体会二次函数的意义

这里体现了数学与生活的关系。教学中,应从教材中的“水滴激起波纹”、“圈养小兔”等实际问题入手,引导学生列出函数关系式。然后,让学生观察、思考:所列的函数关系式有什么共同点?它们与一次函数、反比例函数有什么不同?从而引导出二次函数的概念,让学生认识二次函数的各部分名称。如此,学生能够体会到二次函数来自生活,感受到二次函数也是描述一类现实问题中变量关系的数学模型,激发学习的积极性。

(二) 采用“描点法”画出二次函数的图像,从图像上认识二次函数的性质

这是二次函数的教学重点。一方面,学生要学会画出二次函数的图像;另一方面,要能从图像上认识二次函数的性质。教学中,教师要扎实地让学生画出二次函数的图像(不能一带而过,就让学生去解决与图像有关的复杂题),即运用探索函数图像的方法——“描点法”,一步一步地列表、描点、连线,加深对二次函数图像形状的认识。然后,引导学生从二次函数图像的形状、开口方向、对称性、顶点坐标、增减性等方面去理解二次函数的性质(学生一边看图像,一边说性质,很直观)。要提醒的是,不仅要让学生画出二次函数的准确图像,还要会画二次函数的示意图像。

(三) 利用公式确定二次函数的顶点、开口方向和对称轴,解决简单的实际问题

这里包括两点:一是从二次函数关系式上认识二次函数的性质,这是学生对二次函数性质的进一步认识;二是列二次函数的关系式解决问题,这是学生学习二次函数的落脚点所在。从直观的图像到关系式认识二次函数的性质,是一个提升;从实际问题中提炼出二次函数,通过研究,再回到实际问题中去,这是一个跨越.教学中,为了突破这一难点,可以从二次函数的图像入手,将二次函数的关系式与其图像比照着进行教学,由图像认识关系式,由关系式认识图像。这种“捆绑式”教学,可以促进学生对借助公式确定对二次函数的顶点、开口方向的理解和掌握。而在运用二次函数解决简单的实际问题时,应将知识块分类后进行教学,这样效果较好。

(四) 运用二次函数的图像求一元二次方程的近似解

这是二次函数的内部应用。即从函数的角度审视一元二次方程与二次函数的关系,并根据直观图形,借助计算器探索函数值为0的自变量的值,进而得出用二次函数图像求一元二次方程的近似解的方法。在这个过程中,应通过直观图像,研究函数值与自变量的变化,渗透无限逼近和区间套的数学思想方法,为学生高中阶段的函数学习做好铺垫。

二、 立足整体设计教法

二次函数的整体性,体现在其图像、性质以及应用上。教材从学生熟悉的简单实际问题出发,建立二次函数的概念,立足运动、变换的观点,由特殊到一般,分别探讨各种形式的二次函数的图像和性质,最后以3个探究性问题为例,探讨二次函数在实际中的应用。学生学习二次函数的图像和性质的障碍主要体现在解析式、图像、性质的对应上,应用的主要障碍则是建立二次函数解析式,并利用解析式解决问题。

(一) 层层递进,系统把握二次函数的图像和性质

二次函数的一般形式及其变换形式共有六种:(1) y=ax2 (a≠0);(2) y=ax2+k(a≠0);(3) y=a(x+h)2(a≠0);(4) y=a(x+h)2 +k(a≠0);(5) y=ax2+bx+c(a≠0);(6) y=ax2+bx(a≠0)。要求学生由不同的解析式画出图形示意图并说出对应的性质,有一定的难度。教学时,应层层递进,通过画示意图像来说性质。同时,在学习这六种形式的二次函数的关系式、图像和性质时,每节课都复习上节课学习的二次函数的关系式、图像和性质,并板书。这样,当学到最后一种二次函数的解析式、图像和性质时,学生已在头脑中形成了系统、全面的关于二次函数的解析式、图像、性质的知识网络。

(二) 策略分类,明晰掌握二次函数应用的方法

二次函数是研究单变量最优化问题的常用数学模型。教材从数量关系入手,把实际问题数学化,进而求出最优解,研究了面积最大、利润最大等问题。然后,从“形”上研究了抛物线形的拱桥、抛物线形的隧道、喷泉、投掷、跳远、跨栏等与抛物线有关的问题。这样的分类(一会儿求关系式,一会儿不求;一会儿给应用问题,一会儿给图像),对正由形象思维向抽象思维过渡的初中生来说挑战不小,学生的思维容易发生混乱。教学二次函数的应用问题时,根据学生的年龄特点和知识基础,按解题策略进行分类,有助于学生理清思路,正确解决问题。

第一类:给二次函数的关系式解决问题。比如,教材第33页第4题的“火箭升空”、第34页第9题的“对概念接受能力”、第35页第12题的“喷泉”等问题,只要将二次函数的关系式配方求定点坐标,或令x、y等于0,即可顺利解决。

第二类:给应用问题列二次函数的关系式,再用关系式解决问题。比如,教材第25页的“最大收益”、“最大面积”等问题,只要分析数量关系,列出二次函数的关系式,再由二次函数的关系式即可解决问题。

第三类:给二次函数的图像列二次函数的关系式解决问题。比如,教材第27页的问题2“喷泉”问题,只要从图像上找到一个或两个点的坐标,代入二次函数的关系式的一般形式,从而求出二次函数的关系式,再由二次函数的关系式,即可解决问题。

第四类:建立直角坐标系,求出二次函数的关系式解决问题。比如,教材第28页的“抛物线形拱桥”、第30页的“栏杆”和“抛物线形拱桥”等问题。这样的问题,要建立适当的直角坐标系,再由图像求出二次函数关系式,然后由二次函数关系式即可解决问题。

三、 着手关键化解难点

(一) 将二次函数的一般形式化为顶点式

学生对前四个形式的二次函数y=ax2 (a≠0),y=ax2+k(a≠0),y=a(x+h)2(a≠0),y =a(x+h)2 +k(a≠0)画图像、说性质相对比较容易,对后两个形式的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),y=ax2+bx(a≠0)画图像、说性质,难度就大得多。因为要将它们转化为y=a(x+h)2 +k(a≠0)的形式,其中涉及配方的问题。而配方又涉及完全平方公式——这在一元二次方程解法的教学时已有所涉猎。因此,教学一元二次方程解法时,就必须注重配方法的教学,到了这个阶段再增添求二次三项式的最值问题,学生因为掌握了配方的方法,就容易理解和接受了。

(二) 列二次函数关系式和应用二次函数关系式

比如,最大效益问题是一元二次方程的利润类应用问题的迁移,关键是把握关系式“每亩(件、千克)效益(利润)×亩数(件数、千克数)=总效益(总利润)”;面积类问题,关键是面积公式;给二次函数图像列二次函数关系式解决问题,关键是设二次函数关系式;建立直角坐标系,求出二次函数关系式解决问题,关键是建立适当的直角坐标系、设二次函数关系式;应用二次函数关系式,关键是理解关系式中的字母的意义,看清问题中要求的是关系式中的哪一个问题,从而确定方法。

参考文献:

[1] 罗增儒。数学解题学引论[M].西安:陕西师范大学出版社,1997

[2] 李明振。数学方法与解题研究[M].上海:上海科技教育出版社