有研究表明:“低认知水平数学教学任务几乎不可能产生学生高水平的参与,而高认知水平数学教学任务为学生提供了运用高水平的思维和推理的机会,日复一日,学生从高水平任务中体验到的累积效果,就在于学生对数学本质的认识得到潜在的发展,创新精神和创造能力得到提高。”《高认知水平数学教学任务的特征分析》一文在对数学教学任务进行分析和界定的基础上,结合我国数学教学的特点,并综合考虑了数学教学任务的构成成分(教学目的、教学内容、教学方式和学生的学习方式或效果)及其阶段或过程,探讨出了高认知水平数学教学任务的特征:任务的目的是培养学生的数学探究能力、创新能力和数学洞察力;从教学内容方面分析,任务具有非常规性、情境性、开放性,需要学生进行复杂的非算法式思维,并随时调控自己的认知过程,需要相当大的认知努力;从教师的教学方式方面分析,要求教师是任务的提供者,学生探究活动的组织者、引导者、合作者和调控者;从学生的学习方式或效果方面分析,任务要求学生主动探索和理解数学观念、过程和关系的本质,主动建构知识,运用高水平的思维和推理亲身经历“做数学”的过程。本文笔者将结合高认知水平数学教学任务的特征,对其教育价值进行一些探讨和分析。

一、高认知水平数学教学任务可以使学生经历数学化的过程

数学化是指学生从自己的数学现实出发,经过自己的思考得出有关数学结论的过程。《数学课程标准》强调要让学生经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程,实际上也就是让学生经历数学化的过程。而高认知水平数学教学任务具有情境性,这就要求学生发现实际问题情境中的数学成分,并对这些成分做符号化处理,把一个实际问题转化为数学问题,这其实就是一个数学建模的过程。学生在建立数学模型、形成新的数学知识的过程中更能体会数学知识的来龙去脉。如:

例1用一张正方形纸片制作一个无盖的长方体,怎样制作使得体积较大?

任务要求“用一张正方形纸片制作一个无盖的长方体,而且要求制作的无盖长方体的体积较大”,这就需要学生动手实验、操作,所以任务具有情境性。另外“用一张正方形纸片怎样制作一个无盖的长方体?什么情况下无盖长方体的体积较大?”等所有这些问题都没有特定的或预演好的方法和法则可以借鉴,而且用一张正方形纸片制作一个无盖的长方体可能又有多种操作方式,所以任务还具有非常规性和开放性。因此例1中的任务属于高认知水平数学教学任务。

学生要完成上述任务首先要思考无盖长方体展开后是什么样,并通过动手实践、操作,探索出用一张正方形的纸片制作一个无盖的长方体的方法、步骤,然后用符号表示制作的无盖长方体的体积,最后通过观察、实验、比较、归纳探索出什么情况下无盖长方体的体积较大,即探索出一般规律。这实际上就是一个数学化的过程。在此过程中学生经历了运用数学符号描述变化规律的过程,体会到了函数思想以及符号表示在实际问题中的应用,进一步丰富了自己的空间观念。

二、高认知水平数学教学任务有助于发展学生的创造性思维、发散思维、批判性思维以及自我反思等高层次的思维能力

《数学课程标准》强调要培养学生的探究能力和创新能力,注重提高学生的数学思维能力,而高认知水平任务具有非常规性、情境性和开放性等特征。由于任务具有非常规性,即没有现成的方法可以借鉴,学生要完成任务必须进行创造性思维,经历探索、灵活运用相关知识和经验的过程。由于任务具有开放性特征,所以学生必须运用发散思维,才能找到解决问题的各种策略或方法,同时为防止思维发散过度或偏离主题太远等,还必须进行元认知监控,即对思维的起点和方向进行思维监控并适时调控自己的认知过程。又因为任务还具有情境性,所以学生还必须回顾、反思解决问题的过程,结合实际问题情境,对这些策略或方法进行评论、鉴别和总结,这就需要学生进行元认知反思活动和积极主动的批判性思考。请看下面的问题。

例2如图1,A,B两点被一座小山隔开,现有皮尺和木桩若干,请你用所学过的几何知识设计一种方法,求出A,B两点之间的距离(简要说明设计方法和理由)。

任务中的问题可能有多种解答方式,但问题本身没有暗示出解决问题的特定的或预演好的方法,而是要求学生自己设计一种方法来测量两点之间的距离,并要求学生解释思维过程,所以任务具有非常规性、情境性和开放性的特征,属于高认知水平数学教学任务。由于任务具有非常规性,所以学生为了解决问题,必须进行创造性思维和元认知监控活动:经过探索、启用相关的知识和经验(如两点之间的距离、三角形全等等),创造性地加以应用,并随时调整自己的思维方向。又由于任务具有开放性,要测量两点之间的距离,可以用平行线之间的距离和三角形全等等不同的方法来完成,所以还需要学生进行发散思维,才能找到各种解决问题的策略或方法。另外,因为任务不是一个纯粹的数学问题,所以学生还必须反思解决问题的过程,仔细考虑实际问题情境——要测量的是山两边的两个点之间的距离,能使用的工具只有皮尺和木桩等。任务还要求对以上各种解决问题的策略或方法作出评价,这就需要学生进行批判性思考和元认知反思活动。因此,高认知水平数学教学任务为发展并实践学生高层次的思维技能提供了良好的机会。

三、高认知水平数学教学任务可以激发学生学习数学的兴趣、促进学生对数学的理解

《数学课程标准》要求要注重激发学生的好奇心和学习积极性,培养其数学学习的兴趣,强调学生的自主体验和探索历程,要求学生真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法。由于高认知水平数学教学任务具有情境性和开放性,对于学生来说是现实的、有意义的和富有挑战性的,因此具有极强的吸引力。而且高认知水平数学教学任务要求学生采取积极主动、勇于探索的学习方式,通过观察、分析、类比、归纳、猜测、验证等数学活动,与同学合作交流,共同处理任务的认知复杂性,从而对开放的实际问题情境数学化、建立数学模型、解决实际问题、建构新知识,使学生亲身经历“做数学”的过程。所以高认知水平数学任务不仅可以培养学生学习数学的兴趣,而且可以促进学生对数学的理解,因为“做数学”是学生理解数学的重要条件。

如例1的任务中要求学生动手实践操作,而例2的任务与学生的生活实际紧密相连,这都可以激发学生学习数学的兴趣。同时学生在亲身经历用数学知识解决实际问题的过程中对函数概念、两平行线之间的距离、三角形全等以及符号表达的作用、数学抽象的方法等都会有深刻的理解,从而对数学形成整体性的认识。

四、高认知水平数学教学任务可以培养学生独立思考、积极探索、合作交流、自主学习、反思回顾等良好的数学学习习惯《数学课程标准》强调有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿和记忆,动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。高认知水平数学教学任务要求教师是引导者、促进者与合作者,学生是数学学习的主人,要求学生在教师的启发和引导下主动探索和理解数学观念、过程和关系的本质,主动建构知识。因此高认知水平任务实施中,学生获得知识、解决问题主要靠自己,需要学生自我激励、积极思考、同时进行自我引导、主动建构知识或将知识灵活运用到复杂的问题解决之中,还要监控和反思解决问题的过程。所以学生在参与高认知水平教学任务的活动中,可以逐渐养成独立思考、积极探索、自主学习的习惯。

另外,由于高认知水平教学任务对于学生来说具有一定的挑战性和认知复杂性,需要相当大的认知努力,所以有时单凭学生个人积极思考、努力探索还不能完成任务,还常常需要学生以小组为单位进行合作学习、共同处理任务的认知复杂性。在小组中学生需要积极参与小组活动、共同承担任务,相互交流想法、相互鼓励和沟通,进行积极的良性互动。因此高认知水平数学教学任务不仅可以培养学生独立思考、积极探索的习惯,还可以使学生成为有效的合作者和交流者。

此外,当学生通过创造性思维和发散思维找到解决问题的各种策略和方法后,由于任务还具有情境性,所以学生还必须结合实际问题情境,回顾和反思解决问题的过程,对这些策略或方法作出评价。另外,在任务完成之后,学生还要进行回顾和反思,抽象出数学知识、数学模型、建构知识的方法、解决问题的策略以及学习策略等,所以高认知水平数学教学任务还可以培养学生批判思考、反思回顾的学习习惯。

因此,如果学生能长期成功参与高认知水平数学教学任务,便可逐渐养成独立思考、积极探索、合作交流、自主学习、反思回顾等良好的数学学习习惯。良好的学习习惯一旦形成,它不但能提高学生学习数学的效率,更能推动素质教育活动的有效进行,甚至使人的一生都受益无穷。

五、结语

高认知水平数学教学任务为新课程理念付诸实施、为促进学生的发展搭建了良好的平台,但是还有一些问题尚待讨论如,学生能否有效参与高认知水平任务,高认知水平任务在实施中能否保持其高认知水平等,因为有研究表明实施带有高水平认知要求的教学任务是最困难的。因此,如何成功实施高认知水平数学教学任务还是一个急需研究的课题,需要数学教育研究者与数学教师共同关注。