2013-07-04 收藏
对于有些代数题采用常规处理往往颇费周折,而利用“图形”则会取得事半功倍的效果。请看:
例1. 已知a,b,c,d都是正数,并且。
求证:
证明:作和,使斜边,,(如图1)。
图1
由得:
又
所以
又
所以
即
例2. A、B两地相距64千米,甲骑车比乙骑车每小时少行4千米。如果甲、乙两人分别从A、B两地相向而行,甲比乙先行40分钟,两人相遇时所行的路程正好相等。求甲、乙两人骑车的速度各是多少?
解:如图2所示,AB表示A、B两地相距64千米,AC⊥AB
图2
设AC=x,表示甲的行驶速度,作BD⊥AB
设BD=x+4,表示乙的行驶速度,在AB上,取,表示甲在40分钟所行的路程,⊥AB,且=x,连结与AB交于E,表示甲、乙各在A、B处同时相向而行并相遇于E点,于是
由,得
解得:(舍去)
于是
即甲、乙两人骑车的速度分别为12千米/小时和16千米/小时。
例3. 甲对乙说:“当我的岁数是你现在的岁数时,你才4岁。”乙对甲说:“当我的岁数是你现在的岁数时,你将61岁。”请你算一算甲、乙现在的各自岁数。
图3
解:如图3,画两条直线分别表示甲、乙的年龄,设乙现在的年龄为x岁,从图形中可以很直观地看到。当甲为x岁时,乙为4岁;当乙为x岁时,甲为岁;当乙为岁时,甲为61岁。
根据甲、乙的年龄差不变,可得
解得:
所以
答:甲现在42岁,乙现在23岁。
例4. 设a,b,c都是正实数,求证:
证明:时,显然成立。由于a,b的地位相同,不妨假设,这时要证的不等式转化为。
图4
作△ABC(如图4),CA=CB,CD为底边AB上的高,E为CD上的一点,使得,由勾股定理得:
又
在△CBE中,
即
综上,命题得证。
例5. 设a,b,c,d均为正数,满足,且a为最大。求证:。
证明:不妨取线段,在AC上取一点B,使,则,以BC为直径作⊙O,如图5。
图5
设,作割线(或切线)交⊙O于E,作OF⊥AD,F为垂足 初中学习方法。
因为
即
因为,所以
又
在中,AO>AF
所以即有
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