2016-06-15 收藏
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向量的数乘运算
计算下列各式:
(1)4(a+b)-3(a-b);
(2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c);
(3)(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b).
思路分析:利用向量的线性运算律计算.
解:(1)4(a+b)-3(a-b)=4a-3a+4b+3b=a+7b.
(2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c)
=3a-6b+3c-2a-b+3c=a-7b+6c.
(3)(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)
=a-b-a-b+a+b
=a+b
=0·a+0·b=0+0=0.
计算:(1)3(6a+b)-9;
(2)-2;
(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.
解:(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.
(2)原式=-a-b
=a+b-a-b=0.
(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.
向量的数乘运算类似于实数运算,先算小括号里面的,再算中括号里面的,将相同的向量看作同类项进行合并.
二、向量共线条件的应用
已知向量e1和e2不共线.
(1)如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3(e1-e2),求证:A,B,D三点共线.
(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线,试确定实数k的值.
思路分析:(1)要证A,B,D三点共线,可证,共线(或与共线等);(2)当ke1+e2与e1+ke2共线时,由向量共线的条件知必有ke1+e2=λ(e1+ke2),从而求得k的值.
(1)证明:∵=e1+e2,
=+=2e1+8e2+3e1-3e2
=5(e1+e2)=5,
∴∥.又∵AB∩BD=B,
∴A,B,D三点共线.
(2)解:∵ke1+e2与e1+ke2共线,
∴存在λ使ke1+e2=λ(e1+ke2),
则(k-λ)e1=(λk-1)e2.
由于e1与e2不共线,
只能有
则k=±1.
已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1,e2不共线,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ,μ,使d=λa+μb与c共线?
解:∵d=λa+μb
=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)
=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2,
要使d与c共线,则应存在实数k,使d=kc,
即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2,
∴∴λ=-2μ.
故存在这样的实数λ,μ,只要λ=-2μ,就能使d与c共线.
1.若b=λa(λ∈R),则b与a共线.由此可以判断向量共线问题.若b与a(a≠0)共线,则必存在唯一实数λ,使b=λa.据此可以求两个共线向量中的系数问题.
2.用向量证明三点共线时,关键是能否找到一个实数λ,使得a=λb(a,b为这三点构成的其中任意两个向量).证明步骤是先证明两个向量共线,然后再由两个向量有公共点,证得三点共线.
三、向量线性运算的应用
=a,=b为边的平行四边形.又BM=BC,CN=CD,试用a,b表示,,.
思路分析:利用向量加法的平行四边形法则、三角形法则以及减法的三角形法则对向量进行分解,同时结合向量的数乘运算将未知向量用a,b表示.===(-)=(a-b),
∴=+=b+a-b=a+b,
==.
∴=+=+=
=(+)=(a+b)=a+b.
=-=(a+b)-a-b=a-b.1.已知在△ABC中,D是BC边的中点,用向量,表示向量为________.
答案:+
解析:∵=,
∴-=-,2=+.
∴=+.
2.如图所示,点E在△ABC的边BC上,且CE=3EB,设=a,=b,用a,b表示.
解:∵CE=3EB,
∴=.
又∵=-,
∴=+=+
=a+(b-a)=a+b.
在平面几何图形中进行向量运算时,一般要把所求向量放在三角形或平行四边形中,利用向量加减的三角形法则或平行四边形法则把所求向量表示出来,同时,注意平面几何中一些定理的应用.
.
1.下列计算正确的数目是( )
①(-3)·2a=-6a ②2(a+b)-(2b-a)=3a ③(a+2b)-(2b+a)=0
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:C
解析:①②正确,③错误,应有(a+2b)-(2b+a)=0.
2.化简为( )
A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b
答案:C
解析:原式=a+b+a-a+b=a+b.
3.下面向量a,b共线的有( )
①a=2e1,b=-2e2;
②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;
③a=4e1-e2,b=e1-e2;
④a=e1+e2,b=2e1-2e2.(e1,e2不共线)
A.②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④
答案:A
解析:①中a与e1共线,b与e2共线,而e1,e2不共线,所以a与b不共线;
②中b=-2a,故a与b共线;
③中b=a,故a与b共线;
④中a与b不共线,因为若a与b共线,则必存在实数λ,使e1+e2=λ(2e1-2e2),于是λ无解.故a与b不可能共线.
4.已知平行四边形ABCD中,=a,=b,其对角线交点为O,则等于( )
A.a+b B.a+b C.(a+b) D.a+b
答案:C
解析:+=+==2,所以=(a+b),故选C.
5.已知向量a与b不共线,m=a-b,n=xa+3b,若m与n共线,则x的值等于__________.
答案:-6
解析:依题意存在实数λ,使m=λn,
即=λ(xa+3b),
即于是λ=-,x=-6.
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