2016-06-13
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高中是重要的一年,大家一定要好好把握高中,查字典数学网小编为大家整理了14年高三数学必修同步练习题,希望大家喜欢。
1.(2013重庆)设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为
()
A.6 B.4
C.3 D.2
解析:当PQ所在直线过圆心且垂直于直线x=-3时,|PQ|有最小值,且最小值为圆心(3,-1)到直线x=-3的距离减去半径2,即最小值为4,故选B.
答案:B
2.(2013江西)过点(2,0)引直线l与曲线y=1-x2相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积最大值时,直线l的斜率等于
()
A.33 B.-33
C.33 D.-3
解析:如图,设直线AB的方程为x=my+2(显然m0),A(x1,y1),B(x2,y2),P(2,0),联立x=my+2,y=1-x2消去x得(1+m2)y2+22my+1=0,由题意得=8m2-4(1+m2)0,所以m21,
由根与系数的关系得y1+y2=-22m1+m2,
y1y2=11+m2,
S△AOB=S△POB-S△POA=12|OP||y2-y1|=228m21+m22-41+m2=224m2-11+m22.
令t=1+m2(t2),
S△AOB=2t-2t2
=2-21t-142+18,
当1t=14,即t=4,m=-3时,△AOB的面积取得最大值,此时,直线l的斜率为-33,故选B.
答案:B
3.(2012江西)过直线x+y-22=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60,则点P的坐标是________.
解析:法一:如图所示,
|OP|=|OA|sinOPA=2,易得P为CD中点,
故P(2,2).
法二:设P(x,y),则x2+y2=2,x+y-22=0
x=2,y=2,故P(2,2).
答案:(2,2)
4.已知点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0.
(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43.求l的方程;
(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.
解:(1)如图所示,|AB|=43,将圆C方程化为标准方程为(x+2)2+(y-6)2=16,
圆C的圆心坐标为(-2,6),半径r=4,设D是线段AB的中点,则CDAB,
|AD|=23,|AC|=4.C点坐标为(-2,6).
在Rt△ACD中,可得|CD|=2.
设所求直线l的斜率为k,则直线l的方程为:y-5=kx,即kx-y+5=0.
由点C到直线AB的距离公式:|-2k-6+5|k2+-12=2,
得k=34.
故直线l的方程为3x-4y+20=0.
又直线l的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为x=0.
所求直线l的方程为x=0或3x-4y+20=0.
(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y),
则CDPD,即CDPD=0,
(x+2,y-6)(x,y-5)=0,
化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.
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