深究习例开拓能力深究是一种重要的思想方法和学习方法。

教师充分挖掘课本习、例题的潜能，不仅能开拓学生的解题思路，激发学生的学习兴趣，而且还能有效地 开拓学生的能力，提高教学质量。

一、变形创新，培养思维转换能力

思维转换能力是指：由一种思维对象转移到另一种思维对象，由一种思维方式过渡到另一种思维方式的能 力，也就是通常所说的思维的灵活性。适当地把问题引伸、变形，对于调动学生的学习兴趣，学习的积极性和 主动性，激发学生的求知欲望，拓宽解题思路、培养思维转换能力，有着重要意义。如：

例1，如图1，MN是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，求证：点A，B与MN的距离和等于⊙O的直径。（《几何》第 三册P116第8题）

（附图 {图}）

图1

此题是很普通的习题，但经过深究，不难发现它的内涵之丰富。

（一）解题方法

1.连结OC，证明半径OC是直角梯形的中位线。

2.过C作CG⊥AB，连结AC、BC，证明△ADC≌△AGC，△BEC≌△BGC得AD=AG，BE=BG

BE AD OC

3.如图2，连结OC，延长AB交MN于P，显然sinP=──=──=── ?

PB PD OP BE+AD OC BE+AD OC───=── ，即 ───=──PB+PD OP 2OP OP

从而 BE+AD=2OC

（附图 {图}）

图2

（二）变形创新

如果MN不是切线，而是割线，则有

例2，如图3，AB是⊙O的直径，MN交⊙O于E、F（E、F在AB的同侧）两点，AD⊥MN，BC⊥MN，垂足分别为D、 C，连结AF、AE，设AD=a，CD=b，BC=c，求证：tg∠DAF和tg∠DAE是方程：ax[2,]-bx+c=0的根

DF+DE DF+DE

证明：①证tg∠DAF+tg∠DAE=───= ────

AD a

b

②过O作OG⊥EF，证DF=CE，得tg∠DAF+tg∠DAE=── ，

a

BC

③连结BE，证 ∠CEB=∠DAE，tg∠DAE=tg∠CEB=── ，得

CE

c

tg∠DAF·tg∠DAE=tg∠DAF·tg∠CEB=──结论已明。

a

（附图 {图}）

图3

二、创设反面，培养逆向思维能力

所谓逆向思维，就是与原有的思维方向完全相反的思维。逆向思维能有效地打破思维定势，启动思维转换 机制。当我们的思维陷入某种困境时，逆向思维往往使人茅塞顿开。因此，创设命题的逆命题，是深究问题的 又一重要方面。如：

例3，如图4，Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长分别为3cm和4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，求： BD的长。（《几何》第三册P128第2题）

（附图 {图}）

（附图 {图}）

图4

此题是很简单的解答题，但经深究，可创设：

命题：如图5，Rt△ABC中，两条直角边是AC、BC，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，过D作圆的切线，交 BC于E，求证：E是BC中点。

证明：连结CD、OD，证EB=ED

从而得：E是BC中点。

（附图 {图}）

图5

逆命题：BC、AC是Rt△ABC的两条直角边，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，E是BC中点，求证：DE是圆的 切线。

证明：连结OD、CD、OE，证△ODE≌OCE?∠ODE=∠OCE=90°，结论得证。

充分挖掘这种习、例题的潜能，创设新颖课题，使学生在积极的探究中学到了知识，发展了智力，提高了 能力。

三、由此及彼，培养思维的广阔性

思维的广阔性，也称为思维的广度，是指思路的宽广，富有想象力，善于从多角度、多方向、多层次去思 考问题，认识问题和解决问题。

数学习题浩如烟海，如何从“题海”中解脱出来，提高教学能力呢？这就要求我们对课本的习、例题不仅 仅满足于具体方法，而应该挖掘题目中的丰富内涵，训练学生思维的灵活性、广阔性，提高逻辑思维能力和发 展创造能力。如：

例4，如图6，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于D，求证：DE=DB。（《几何》第三 册P117第12题）

证明：连结BE，证∠BED=∠DBE?DE=DB。