2016-06-12
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n/7与一类线性方程 真分数n/7是一个6位纯循环小数:
1/7=0.1·42857·;2/7=0.2·85714·;3/7=0.4·28571·;4/7=0.5·71428·;5/7=0.7·14285·;6/7=0.8·57142·.
各分数除数字排列顺序有别外,其数字组成完全相同.依据这种结构特征可编排一类线性方程,通过这类方程解法的研究,可开拓中学生的思维空间,增强其分析、想象、综合、归纳等解决实际问题的能力,现提供几例供参考.
例1有一六位数,若将后三位数依次移到前三位,则所得新的六位数是原六位数的6倍.求原六位数.
解:设原六位数的前三位数为x,后三位数为y,则原六位数为103x+y,移动后的新六位数为103y+x.故依题意得103y+x=6×103x+6y,即5999x=994y,亦即857x=142y.
又因为x与y皆为三位数,且x的首位上的数字小于2,否则其6倍便要进位而成为一个七位数了,又857与142互质,故y=857,x=142,因而原六位数是142857.
例2有一位六位数,若将后三位数依次移到前三位,则所得新的六位数比原六位数大13.求原六位数.
解:设原六位数的前三位数为x,后三位数为y,则原六位数为103x+y,新六位数为103y+x.依题意得4×103x+4y=3×103y+3x,即3997x=2996y;亦即517x=428y,故有x=428,y=571,则原六位数是428571.
例3有一六位数,若将首位上的数字移至末尾,则所得新的六位数是原数的3倍,求原数.
解:设这个六位数的首位上的数字为x,其余五位数为y,则原数就是105x+y,新数是10y+x.依题意可得10y+x=3×105x+3y,就是7y=299999x,y=42857x.显然,x只可取1或2,当x≥3时,y便不是五位数了.故当x=1时,y=42857,原六位数是142857;当x=2时,y=85714,原六位数是285714.
例4有一六位数,若将首位上的数字移至末尾,则所得新的六位数与原六位数之比为2∶3,求原数.
解:设这个六位数的首位上的数字为x,其余的五位数为y,则原数就是105x+y,新的六位数是10y+x,依题意可得30y+3x=2×105x+2y,也就是28y=199997x,亦即4y=28571x.显然,x只可取4或8.当x=4时,y=28571,则原数是428571;当x=8时,y=57142,则原数是857142.
例5有一六位数,若将前两位数依次移至末尾,则所得新的六位数是原数的2倍,求原数.
解:设这个六位数的前两位数为x,后四位数为y,则原数就是104x+y,新的六位数是102y+x.依题意可得102y+x=2×104x+2y,也就是98y=19999x,亦即14y=2857x.因14与2857互质,故x可取14、28或42,则对应的y值应是2857、5714、8571,故所求的六位数是142857、285714或428571.
有兴趣的读者不妨再做下列练习:
(1)有一六位数,若将末尾的数字移至首位,则所得新数是原数的5倍,求原数.
(2)有一六位数,若将末尾的数字移至首位,则所得新数与原数之比为3∶2,求原数.
(3)有一六位数,若将末尾的数字移至首位,则所得新数是原数的80%,求原数.
(4)有一六位数,若将末尾的数字移至首位,则所得新数是原数的13,求原数.
(5)有一六位数,若将末尾的数字移至首位,再将原数的首位上的数字移至末尾,前后两次移动所得新数之比为5∶3,求原数.
(答案:(1)142857;(2)285714或571428;(3)714285;(4)428571或857142;(5)142857)
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