在“平行四边形的面积”一课的教学中,教师为了强化学生对平行四边形面积公式的理解,经常会在总结的时候问这样一个问题:

“谁能说一说,要想求出平行四边形的面积,就必须知道什么条件?”

学生对这个问题几乎一致的回答是:“必须知道这个平行四边形的底和高。”

小学数学课堂上,这样的师生问答非常普遍。教师问得好,可以启发学生思维,使学生形成正确概念;问得不好,就可能禁锢学生的思维,甚至导致学生形成错误概念。

前面这一问一答,连起来说,就是:要想求出一个平行四边形的面积,就必须知道这个平行四边形的底和高。

这个结论或许会使学生形成这样一个思维定式:只要遇到求平行四边形面积的问题,就必须先求平行四边形的底和高。如果求不出底和高,自然就求不出平行四边形的面积。这样一来,学生如果遇到下面的问题,可能就无从下手了。

问题:在下图中,三角形ABE的面积为24平方厘米,求平行四边形ABCD的面积。

翻阅一些《小学数学教案选》发现,类似提问还比较普遍,比如:

●要求出长方形的周长,就必须知道这个长方形的什么?(答:长和宽)

●圆锥和圆柱的体积在什么条件下存在三分之一的倍数关系?(答:等底等高)

●要求一个小数的倒数,就必须先把它化为分数。

为了说明这种语言的问题所在,下面我从逻辑和数学两个方面进行分析。

从逻辑的角度看,一个命题(在逻辑学中称为“判断”)与它的逆否命题是等价的,它的逆命题与它的否命题是等价的。但命题与它的逆命题和否命题并不等价。这就是说,一个真命题的逆命题和否命题未必是真的。根据平行四边形面积公式,可以知道命题——如果已知一个平行四边形的底和高,则可以求出这个平行四边形的面积——是真的。其逆命题和否命题分别是:如果可以求出一个平行四边形的面积,就一定知道这个平行四边形的底和高;如果不知道平行四边形的底和高,就无法求出这个平行四边形的面积。这样的结论与原来的命题并不等价。老师将求解面积的一条途径简单化为唯一途径,极容易给学生造成错误认识。事实上,能用公式求出面积的平面图形是很少的,更一般的方法是寻求图形面积之间的关系。比如在前图中,只要看出平行四边形ABCD的面积是三角形ABE面积的2倍,问题就可以迎刃而解了。

平行四边形面积公式“面积=底×高”,在数学中可以看作是一个函数关系。函数通常描述自变量和因变量之间的依赖与制约关系,体现的是当自变量确定的时候,因变量随之确定。反过来却不一定成立,就是说当因变量确定的时候,自变量未必随之确定。

在“面积=底×高”这一函数关系中,底和高是自变量,面积是因变量,当底和高确定的时候,则面积随之确定;反过来,当面积确定的情况下,底和高未必能够确定。

教师在课堂上提问,其根本目的在于促进学生思考。因此不妨把提问设计得宽泛一些,让学生有充分的思考空间。在教学平行四边形的面积公式之后,如果提出如下问题供学生思考,也许会得到更好的效果。

1.如果两个平行四边形等底等高,那么这两个平行四边形的面积具有什么样的关系?

2.如果两个平行四边形面积相等,那么这两个平行四边形的底和高具有什么样的关系?

3.在同一个平行四边形中,底、高、面积三者满足什么关系?

第一个问题体现的是函数关系中自变量对因变量的制约,也就是函数的确定性;学生对第二个问题的思考,可以初步体会因变量对自变量不具有这种确定的制约,只能得到两个平行四边形底和高的乘积相等;第三个问题相当于对前两个问题进行了综合和总结。学生对这三个问题进行充分思考和讨论,可以更加准确地理解本节课的学习内容,而且还可以经历逻辑思维的训练以及函数思想的渗透。

任何教学方法的顺利实施,都依赖于教师在课堂上的教学语言。教师在课堂上的每一句话都或多或少地对学生产生着影响。因此,教师无论具备了多么先进的教育思想,采用了多么先进的教学方法,都应该慎重地对待课堂上教学语言的设计,特别是“提问式”和“结论式”的语言,一定要做到“慎之又慎”,即使小学教学也不例外。