张景中院士写了一本书,作为献给中学生的礼物,书的名字叫做《数学家的眼光》 。当我看到这本书时,首先就被书名"镇"住了并在生活的这个环境中,向前辈学习各种价值观和观点。尽管在正规的裁缝课程中并没有这些价值观和观点,但是它们在这个环境中、在学徒学习的东西中具有决定性作用。学徒不断学艺,设法进入裁缝阶层。而他们学成之后,不仅掌握了一系列技能,还学会了一种观点,这两部分决定了他们成为一个裁缝。

在这里,莱夫强调的是"思维方式"和"价值观"。(它们都是观念的组成部分)实际上,从事任何一种职业都要学会相应的"思维方式"并建立起相应的观念。

这说明,学习实际上是一个社会化的活动,当我们的目光在关注具体的知识和技能的同时,更要关注价值观和思维方式这类隐蔽的处于更高层次的东西,只有这些才是具有决定意义的。

特别对于从本质上来说就是思维(精神)活动的数学来说,观念就更具有决定性的意义了。

数学教育家雷斯尼克说:

"近来,人们就认知过程的性质展开了一系列研究工作,对思维和学习进行了重新认识,并指出要成为好的数学问题解决者--要在任何领域中成为好的思维者,可能最重要的是在获取各种特定技能、策略和知识的同时,不断养成一种习惯和个性,对事物作出解释,理解其中的意义。如果情况确实如此的话,我们更好的作法也许是,不应老是把数学教育看作是-个教学过程(传统意义上的那种把各类具体、明确的技能或知识点教给学生的做法),而应把它看作是-个社会化过程。"

让学生

尝试用数学家的眼光看世界,这正是数学学习社会化的具体方法。雷斯尼克认为:实现社会化的关键就是要"把各种观点作为知识的核心部分"来学习,而数学观念正集中地体现在数学家的眼光之中,活生生地体现在数学家的活动之中!

而学习数学就是学习"用数学家的眼光看世界"的观点正是上述观点的反映。

应该指出的是:尝试用数学家的眼光看世界,强调数学学习的社会化,并不等同于强调数学的应用,也不等同于数学学习的"生活化",尽管它有这种倾向,但是其中的内涵要比后者丰富得多!因为数学家的眼光并不仅仅(甚至主要的)总是盯着应用,也不总是仅仅关注着"生活",他们追求的是认识、发现、创造一个和谐的、美的世界!

初步的实践

令人欣喜的是,尽管让学生尝试用数学(家)的眼光看世界的观点还远远没有被人们接受和重视,但是,在具体的教学改革的实践中已经得到了体现。

例如,在新的数学教学标准中,已经把"初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会,去解决日常生活中和其他学科学习中的问题,增强应用数学的意识"等等内容列入了数学教学的总体目标(尽管这一目标还是被置于"应用意识"的框框里),但是总算"用数学的角度看世界"的重要方面。

这样的思想,在按新课标编写的教科书中也得到了充分的体现。例如在北师大版的实验教材第三章"用字母表示数",编入的题为"探索规律"的"日历问题":

在展示了一张日历表后,向学生提出了下面的问题:

星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六

12345

6789101112

13141516171819

20212223242526

2728293031

(1)日历表的方框中的9个数之和与该方框中的数有什么关系?

(2)这个关系对其它的方框成立吗?你能用代数式表示这个关系吗?

(3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗?为什么?

(4)你还能发现这样的方框中9个数之间的其它关系吗?用代数式表示。

面对着这样的问题,学生必须审视日历表中各个数中的数量关系,(而这在以前他们对此是熟视无睹的);为了回答这些问题,为了清楚地表示这个关系,为了说清"为什么",他们必须选用数学语言!特别是当他们试图发现新的关系时,更会感受到数学语言的作用。(实际上,为了发现新的关系,学生开始是直接把日历表当成观察的对象的,但是后来,他们就会发现,用字母表示的方框是更好的观察对象了!)因此,从这样的探究活动中,学生会更为关注事物的数量关系,关注个别事物后面隐藏着的模式;会感到用数学语言进行交流的便利,会感到探究的乐趣。而这一切,都会促使学生学着用数学(家)的眼光看待周围的事物。如果我们能注意到学生在这里经历的探索过程在程序上和数学家的探索过程的一致性的话(例如和前面引用的华罗庚教授在茶杯盖问题中的探索过程相比较),就更会相信编者在这里所做的一切都是在引导、帮助学生用数学家的眼光看世界!

(这里附带说一下,原来问句(2)中"你能用代数式表示这个关系吗"应该取消.因为仅仅从"表示这个关系"的角度看,学生还没有体会到代数式的作用。但是当学生回答问题(3)中的"为什么"时,就会有怎么说都说不清楚的感觉,这就逼着他们走上用代数式表示这个关系的道路。因此,问题(2)中的问句实际上对学生做了没有必要的暗示,缩小了学生思考的空间,是不妥当的。)

a-8a-7a-6

a-1aa+1

a+6a+7a+8

从学会提出问题开始

学习用数学家的眼光看世界,可以从学习提出数学问题,特别是建立提出数学问题的意识开始。正如张景中教授所说:"当你用数学家的眼光看周围的事物的时候,处处都能提出数学问题","但是数学家不喜欢含含糊糊的问题,先要把问题理清楚,把现实世界的问题化成纯数学的问题。"要提出数学问题,就必须从数学的视角审视周围的事物,因此可以看成是让学生学会用数学家的眼光看世界的突破口。

下面这一节别开生面的数学课,可以说在这方面作了有益的尝试。

这是一节安排在一元一次方程的应用后面的习题课。课的题目叫《阿偶繁忙的一天》。课的进程可以概括为两项:(1)根据教师提供的材料提出数学问题;(2)解决上述提出的问题。

课的开头,教师来了一段简短而又富于激情的开场白,意思是生活中充满了数学,只要用数学的眼光来观察周围的事物,就会提出和发现许多数学问题,得到许多意想不到的发现。现在我们就尝试一下,看看我们能不能做到这一点?

接着教师出示了名为《阿偶繁忙的一天》的材料,要求学生根据这个材料提出问题。

阿偶繁忙的一天

阿偶今天上午要到人才市场去应聘,早晨起床后,他精心打扮了一番,发现领带和西服不太相配,于是决定去世纪大厦重新买一条。

到了那儿,大厦刚开门,售货小姐送上了一个灿烂的笑容,"祝贺您,先生!您是本店今天的第一位顾客,将享受---件商品的8折优惠。"谢谢!我需要--条和这身西服相配的领带"。售货小姐立即帮他选了一条,并介绍说,"这原是按成本提高40%后标的价,现在给您打8折,实际我们只赚了您5元。"阿偶看着标价算了算,对售货小姐说:"你说谎了,按你的算法,你实际上赚了我15元!"

刚走出店门,手机突然响了,-看是父亲打来的,"阿偶,我昨天收到了--笔稿费,你去帮我把个人所得税交-下"。于是阿偶赶到税务所,询问有关稿费的交税情况。工作人员给他看了国家规定个人发表文章出版图书获得稿费的纳税计算方法:1。稿费不高于 800元的不纳税;2。稿费低于800元而不高于4000元的应交纳超过800元的那一部分稿费的20%;3。稿费高于4000元的应缴纳全部稿费的11%的税,阿偶根据父亲告诉他的稿费,帮他缴纳了个人所得税434元。然后直奔人才市场。

哇!市场内真是人山人海,人才济济!经过一番比较,一番自荐,有实力相当的龙腾和龙飞两家公司都愿招聘阿偶,但工资有如下差别:龙腾公司年薪10000元,每年加工龄工资200元,龙飞公司半年薪5000元,每半年加工龄工资50元。阿偶左思右想,最后从经济收入角度考虑,阿偶选择了其中的一家公司,乐滋滋的回家了。

学生对教师的要求做出了出乎意料的热烈的反映。提出了很多想象不到的问题,(例如,是卖领带的小姐还是阿偶说谎了?所得税是按第2种方式还是按第3种方式算?等等)并为解决这些问题展开了激烈的争论。有意思的是,在他们谁也说服不了谁的时候,都拿起了数学这个武器--试图用计算来证明自己是正确的!在这里我们高兴地看到了莱布尼兹所憧憬的现象:在为某个问题争执不下的时候,发生争执的双方都能心目平气和地拿出纸和笔来说:让我们来计算,让计算的结果来说明谁是正确的从历史的角度,从文化的角度,从艺术的角度,从科学的角度--无疑地还应该会从数学的角度来审视世界!如果做不到这一点,我们的学生就不能接受时代的挑战,我们的教育就是失败的。为此,数学教育要让学生用数学的眼光看世界,物理的教育应该让学生用科学的眼光看世界……唯有如此,才能让学生全面地接受人类文化的精华,使他们成为站在巨人肩膀上的巨人