德国小学的应用题教学的改革６０年代以来应用题教学的地位在德国经历了一场戏剧性的变化。１９７０年—１９７６年由于皮亚杰理 论的影响，应用题地位迅速下降，处于从属地位，而计算题则处于主要地位，这一阶段人们称之谓“小学数学 教育起了根本的变化”。１９７６年开始，由于家长的愤怒与教学实践中产生的实际情况，迫使他们对数学教 育进行新的权衡，天平又回复了。促进思维与技算技能被看得同等重要，应用题又显得重要了。人们认为，经 过改革后的应用题教学既能锻炼理解数学结构的能力，又能锻炼计算技能。

经过多年的讨论，他们认为应用题教学的目的是：

１．培养儿童从周围客观环境事物中抽象出数学结构关系的能力。

２．培养儿童的计算技能，并使他们能正确地运用四则运算解决问题。

３．应用题中涉及的具体知识可以深化学生对某一专门领域的了解，使专业知识得到发展。

４．通过解题可以训练、培养学生的思维，更重要的是还可以培养学生的创造性思维，达到提高学生解决 问题和创造性解决问题的能力。

德国当前的应用题教学（即改革后的应用题教学）强调，所教的内容应该取自于孩子们周围环境中的实际 问题。他们认为：在小学里，儿童学习如何通过数的帮助，来了解周围世界的真相，是一个很重要的方面。所 以培养儿童运用数学方法来掌握某一周围世界情况的能力是至关重要的。现实生活中，在对某一问题考虑出一 个可能的解决方法之前，很少会有一切必不可少的事项、数据、陈述、关系都已在手头齐全了，首先必须对之 加以搜集、挑选、整理、比较，然后才是提出问题，接着是寻求解决方法，最后是得出答案。而在传统的数学 应用题课里，这些必不可少的数据、信息大多是以文字形式给出的。所以也有人说，这些应用题相对于大家所 重视的真正实际问题的解决来说，只是一些“冒牌应用题”。

作为改进，他们对应用题的设计作了带有方向性的改革：

１．在应用题的设计上留出让学生自己补充、搜集信息的余地，使学生能够自己搜集有关的信息并进行选 择。

例如：２０马克可以买多少千克桔子？

这种题按传统观点是无法解的，是条件不全的题。现在学生要完成这个题，首先必须到学校或家庭附近的 商店或超级市场去搜集桔子的价格信息，然后挑选自己喜欢的品种，算出千克数；或挑选价格最便宜的和价格 最贵的，再算出可买桔子的千克数范围。１９８４年与１９８９年笔者两次在德国巴伐利亚州考察进修时，发 现师生都对这一类题很感兴趣。有关教研机构也觉得这类题很有利于培养学生解决问题的能力。

２．应用题不设问，让孩子们自己去寻找计算性的设问。

例１ 乌特买了８只柠檬，她用一枚５马克的硬币去付款，找回了３马克。

例２ 玛丽亚在奶酪摊上帮助她的姑姑。上星期她帮了２０小时，得到工资１４０马克。这个星期她帮了 ２５小时。

教师可以从学生的设问中看出学生对信息的理解程度和处理能力。像例２这种题可以设不止一个问，尤能 看出学生对信息搜集和处理能力。

有的题甚至没有文字说明，只有图。要求学生从图中搜集信息，提出问题（如下图）。

（附图 {图}）

３．为了培养学生的创造力，设计问题时考虑到让学生从不同的角度出发进行发散思维，探求不同的答案 。

例：父亲买玻璃杯（下图）。他用３张１０马克的纸币付款，收回了６马克的找头。

（附图 {图}）

这一类题一般有不止一个的答案，要鼓励学生去寻找不同的答案，答案越多越好。《教学参考书》指出， “当然不是要求所有的学生都找出所有的答案，重要的是，学生都要有兴趣去寻找多个答案。”教师引导学生 通过尝试制表法来寻求各种答案。现介绍如下。

分析与解题过程（摘自教师用书）：

从图片中可以观察到杯子有三种价格：２马克、４马克、８马克。

先计算父亲付了多少钱：３０－６＝２４（马克）

（１）当他只买一种杯子时，有下列几种可能：

每只８马克的２４÷８＝３（只杯子）

每只４马克的２４÷４＝６（只杯子）

每只２马克的２４÷２＝１２（只杯子）

（２）当他买了两种杯子时，就成了丢番图问题，有三种情况：

①ｘ·８＋ｙ·４＝２４

②ｘ·８＋ｙ·２＝２４

③ｘ·４＋ｙ·２＝２４

当ｘ或ｙ为零时，就是（１）中所述的情况。

小学二年级的学生是通过尝试法或制表格来寻得下列答案的：

①（０，６），（１，４），（２，２），（３，０）

②（０，１２），（１，８），（２，４），（３，０）

③（０，１２），（１，１０），（２，８），（３，６），（４，４），（５，２），（６，０）

尝试或制表格的策略是：第一种杯子的数目从零开始逐次上升，在上升过程中，每当第一种杯子数目被确 定，就相应地求出第二种杯子的数目。

（３）当他买三种杯子时，就出现了一个三变量的丢番图方程：ｘ·８＋ｙ·４＋ｚ·２＝２４

可以将ｘ、ｙ、ｚ为零的情况除外，以免重复（１）与（２）。

同样可通过尝试或制表格来解决，策略是第一种杯子数目从１开始上升，当第一种杯子数目取定，第二种 杯子数目也从１开始上升，这时第三种杯子的数目就能确定了。

８马克杯 ４马克杯 ２马克杯 总计

１×８ ＋１×４ ＋６×２ ＝２４

１×８ ＋２×４ ＋４×２ ＝２４

１×８ ＋３×４ ＋２×２ ＝２４

２×８ ＋１×４ ＋２×２ ＝２４

这些题对于传统教学培养出来的学生肯定是困难的，但对经过发散性思维培养的孩子，经过尝试策略培训 的孩子来说，二年级就可以进行教学了。

改革后的应用题教学，在怎样教、如何学上的做法是：紧密联系学生生活实际、切合儿童心理特点来进行 教与学。从下面几方面来帮助孩子们弄清问题的内部联系：

１．一、二年级经常通过游戏，如让学生拿着假钱币去演示购物过程，来发现解题方法。

２．用图画出题目的情节，帮助学生把握事物内部的联系；如画运算草图或给出图解（如箭头图、计算树 图）。

下面举一计算树图的例子：

（附图 {图}）

３．语言上的帮助：解释不熟悉的词，强调一些特别重要的词在运算上的含义。

４．进一步的帮助：对应用题进行改写、加工，以得出一定的模式。