用"集成"的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的的、有意识的整体处理,这就是我们通常所说的--整体思想。

与分解,分步处理问题相反,整体思想是将问题看成一个完整的整体,从大处着眼,由整体入手,突出对问题的整体结构的分析和改造,把一些彼此孤立实际上紧密联系的量作为整体考虑.在整体思想中,往往能够找到问题的捷径.

例题选讲

例 1 .( 2006太原)已知实数 a、b 满足( a +b ) 2 = 1 ,(a-b) 2 = 1. 求a 2 +b 2 +ab的值 .

解: 由已知,得( a +b ) 2 +(a-b) 2=2(a 2 +b 2)=2,

( a +b ) 2 ﹣(a-b) 2=4ab=0

例2、已知 ,求 的值.

分析:若将问题中的x看成一个未知数,将其求出,然后代入后式中求值,显然计算复杂繁琐,计算量偏大,但将 看成一个整体,通过通分得到 ,继而看

作整体,求其倒数得到 ,对比联想容易找到解决问题

的思路.

解:因为 , 则

对于一个数学问题,不是从局部着手,而是从大处着眼,从整体入手,会捷足先登,使计算过程大大简化.

求一个不规则图形的面积,要设法找出它与规则图形面积的关系,化不规则为规则,化零为整,下面我们来看看整体思想在几何领域的应用:

例4 求下图中阴影部分的面积(单位:cm)。

分析与解:本题可以采用一般方法,也就是分别计算两块阴影部分面积,再加起来,但不如整体考虑好。我们可以运用翻折的方法,将左上角一块阴影部分(弓形)翻折到半圆的右上角(以下图中虚线为折痕),把两块阴影部分合在一起,组成一个梯形(如下图所示),这样计算就很容易。

说明:当某些图形的面积不易直接计算时,可以把这个图形的各个部分适当拼接成一个易于直接计算的图形。也就是说,可以化零为整。上述解法运用翻折(或旋转)的方法达到了化零为整的目的。

从问题的整体性质出发,突出对问题的整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征,善于用"集成"的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面都有广泛的应用,整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。