立足基础 举一反三

——谈反比例函数基础知识的应用

江苏省泰州市九龙实验学校 陈建（225300）

一、反比例函数的基础知识

1．一般地，形如y=(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数,其中x是自变量,y是函数,k是比例系数.

2.函数的解析式的特征:①等号左边是函数y,等号右边是一个分式,分子是常数k,分母中含有自变量x,且x的指数是1.②自变量x的取值范围是x≠0的一切实数.③比例系数“k≠0”是反比例函数定义的一个重要组成部分.④函数y的取值范围也是一切非0的实数.

3.反比例函数的几种等价形式：y=;y=kx-1;xy=k.(k≠0)

4.用待定系数法，求反比例函数的解析式：反比例函数 （且k为常数）中，只有一个待定系数，因此只需一对对应值就可求出k的值，从而确定其解析式.

5.反比例函数y=( k为常数,k≠0)图象是双曲线.(既是轴对称图形,又是中心对称图形)

6.反比例函数图象的性质：当k0时,双曲线位于第一,三象限,在每个象限内,曲线从左向右下降,因而y随x的增大而减小;当k0时,双曲线位于第二,四象限,在每个象限内,曲线从左向右上升,因而y随x的增大而增大.双曲线与x轴,y轴都没有交点,而是越来越接近x轴,y轴.

7.比例系数k的几何意义:反比例函数中比例系数k的几何意义,如果过双曲线上任意一点引x轴,y轴垂线,与两坐标轴围成的矩形面积为|k|.

二、反比例函数基础知识的应用

例1． 已知 是反比例函数

（1） 求它的解析式.

（2） 求自变量 的取值范围，在每个象限内， 随 的增大而怎样变化？

（3） 它的图象位于哪个象限？

分析： （k≠0）叫反比例函数，也可以写成 ，因此，它的特点是（1）k≠0，（2）x的指数为-1.

解：（1）由题意得 ， ，解析式为

（2）自变量 的取值范围是 .

（3）由于 ，它的图象位于二、四象限；在每个象限内， 随 的增大而增大.

O

A

O

O

B

O

O

C

O

O

A

3

O

例2、在同一坐标系中，函数 和 的图像大致是 （ ）

分析：本题是考查含有字母系数的几个函数在同一坐标系中的图象，分 和 两种情况进行讨论，选A.

例3、如右图，在 的图象上有两点A、C，

过这两点分别向x轴引垂线，交x轴于B、D两点，

连结OA、OC，记△ABO、△CDO的面积为 ，

则 与 的大小关系是( )

A. B. C. D.不确定

分析：由基础知识7知 ，故选C.

例4．已知反比例函数 的图像上有两点A( ， )，B( ， )， 且 ，则 的值是（ ）

A、正数 B、负数 C、非正数 D、不能确定

分析：由 可分为 ，易得 ，故选D.特别要注意反比例函数的增减性是对每一支曲线而言.

例5．如图是三个反比例函数 ， ， 在x轴上方的图象，由此观察得到 、 、 的大小关系为（ ）

A、 B、

C、 D、

分析：根据图象所在的象限，知 ，取 得 ，即 ，故选B.

例6．在矩形ABCD中AB=3，BC=4，P是BC边上与B点不重合的任意点，PA=x，D点到PA的距离为y，求y与x之间的函数关系式，并画出函数的图像以及自变量x的取值范围.

A

3

B

A

0

C

2解：如图，由题意（1）∠DEA=∠ABP，∠1=∠2，∴⊿DEA∽⊿ABP，∴

即

(2) ∵P在BC上,与B不重合,可以与C重合

, .

(3)由于函数自变量的取值范围是3x≤5，所以y对应的取值范围是 ，因此图像只是一段曲线,其中不包括（3，4）而包括（5， ）.(图略)

例7.已知一个函数具有以下条件：（1）该图象经过第四象限；（2）当 时， y随x的增大而增大；（3）该函数图象不经过原点.请写出一个符合上述条件的函数关系式： .

分析:这是一道开放题,必须非常熟悉函数的图象和性质,才能解决问题.符合上述条件的函数关系式为 .

例8、某自来水公司计划新建一个容积为40000 的长方形蓄水池.

（1）蓄水池的底面积S（ ）与其深度h（m）有怎样的函数关系？

（2）如果蓄水池的深度设计为5m，那么蓄水池的底面积应为多少平方米？

（3）由于绿化以及辅助用地的需要，经过实地测量，蓄水池的长和宽最多能分别设计为100m和60m，那么蓄水池的深度至少达到多少才能满足要求？（保留两位小数）

分析：这是一道反比例函数在生活实际中应用的问题，通过长方体体积公式v＝sh的变式来解决问题(1)，得到 与 进行类比，得到是反比例函数关系；问题（2）和问题（3）则都是知道关系式中一个变量求另外一个变量，只需代入关系式计算出所求值即可，引导学生明白解决问题一定依靠函数关系式进行.

以上我们通过例题分析了反比例函数基础知识在不同类型题目中的应用，我们在以后的学习中一定要打好基础、学会举一反三。