在小学数学中培养学生的思维能力问题 在小学数学中培养学生的思维能力问题

培养学生的思维能力是现代学校教学的一项基本任务。第二次世界大战以后，科学技术迅猛发展，知识激增，知识的更新加快，随之对教育提出了新的要求，就是要提高年轻一代的素质。不仅要教给学生现代科学技术知识，而且要把学生培养成勇于思考、勇于探索、勇于创新的人，从而强调教学要注重发展学生的智力。从心理学角度来看，智力的核心是思维能力。思维能力增强了，智力水平也就提高了。因此各国的小学数学都把培养学生思维能力作为教学的一项基本任务。

培养学生思维能力是一个很复杂的问题，它涉及到逻辑学、心理学、教育学等多学科的知识。同时，逻辑学和心理学都研究思维，但它们的侧重面有所不同。逻辑学主要从思维的结果（或产物）如概念、判断、推理等方面来研究，而且着重研究正确思维的规律及形式，以及这些认识结果之间的关系。心理学则主要从思维过程本身来研究，着重研究思维过程中的规律，以及导致形成某些认识结果的内在的隐蔽的原因。由于思维过程与思维结果是密切联系着的，所以心理学与逻辑学对思维的研究也要紧密联系，并且相互补充。我们在研究小学数学教学中发展思维能力也同样要注意思维过程和思维结果紧密联系这一特点，忽视哪一方面都不可能收到良好的教学效果。

一 人类思维发展的阶段

思维活动是多种多样的。根据人的不同发展阶段的思维特点来划分，可以分为以下几个阶段。

（一）直观行动思维：这是婴儿期（1岁以后）的思维特点。这个阶段的思维是在对物体的感知、动作中进行的。婴儿离开动作就不能进行思考，也不能计划自己的动作或预见动作的结果。这阶段婴儿只能概括事物的一些外部特征。以后长到成人，直观行动思维继续发展成操作思维。例如运动员的技能就需要操作思维。

（二）具体形象思维：幼儿期的思维特点，一般从3岁延续到小学低年级。儿童思维时可以摆脱对动作的直接依赖，而凭借事物的具体形象或具体形象的联想（即在头脑中形成表象）。这阶段儿童能进行一些初步概括，但概括出的特征很多是外部的、形式的。

（三）抽象逻辑思维：它是以抽象概念为基础的思维。又可以分为两个阶段。

1.形式逻辑思维：简称逻辑思维。它是以同一律为核心规律，进行确定的、无矛盾的、前后一贯的思维。它要求在同一思维过程中的每一个概念必须是确定的。例如，A就是A，不能既是A又是非A。在小学数学中每一个概念也都必须是确定的。例如教学约数、倍数时，把0排除，否则公倍数、最小公倍数也要包括0了。

形式逻辑思维的特点主要是从思维形式（概念、判断、推理）上进行思维。它是抽象逻辑思维发展的初级阶段，因此也称为普通思维，形式逻辑也称普通逻辑。一般地说，10—11岁是过渡到逻辑思维的关键年龄。这时学生的概括能力有了较显著的变化。

2.辩证逻辑思维：简称辩证思维。它是以对立统一为核心规律而进行的思维。它着重从事物内部的矛盾性，概念的矛盾运动来进行思考。它把思维形式和思维内容联系起来，对事物的发展变化、相互联系、相互转化的过程进行思考。它是抽象逻辑思维发展的高级阶段，必须在形式逻辑思维的基础上才能形成。据心理学家研究，9—11岁学生的辩证思维才开始萌芽。

从个体发展来说，上述几种思维活动虽然是分阶段逐步发展的，但每发展到后一阶段时，前一阶段的思维特点并不因此而停止发展或消失，在一定条件下，还向更高的水平发展。例如，文学家、艺术家、建筑学家等的具体形象思维获得了高度的发展。

二 在小学数学教学中对发展思维能力的基本要求

新中国成立以来，历届小学数学教学大纲中有关发展学生思维能力的规定基本相同，即培养学生初步的逻辑思维能力。这里所讲的逻辑思维主要是指形式逻辑思维。从国家教委1992年颁发的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》中看得更清楚。其中明确提出，“结合有关内容的教学，培养学生进行初步的分析、综合、比较、抽象、概括，对简单的问题进行判断、推理，逐步学会有条理、有根据地思考问题；同时注意思维的敏捷和灵活。”这表明，在小学阶段主要是培养学生初步的形式逻辑思维能力，同时也注意培养学生的一些良好的思维品质。

为什么在小学以培养初步的形式逻辑思维能力为主呢？个人体会有以下两点。

（一）从数学的特点看：数学具有抽象性和逻辑严密性。数学本身是由许多判断组成的确定体系。这些判断都是由数学术语和逻辑术语以及相应的符号所表示的语句来表达的，并且借助逻辑推理由一些判断形成新的判断。而这些判断的总和就构成了数学这门科学。小学数学内容虽然比较简单，也没有严格的推理论证，但都是经过人们抽象、概括、判断、推理、论证得出的真正的科学结论，只是不给学生进行严密的合乎逻辑的论证。即使这样，一时一刻也离不开判断、推理。这就为培养学生的逻辑思维提供了十分有利的条件。

（二）从小学生的思维特点看：小学生正处在从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。特别是中、高年级，学生的抽象思维发生了“飞跃”或“质变”。具体地说，10—11岁学生开始能逐步分出概念的本质特征，能初步掌握比较科学的定义，能领会概念之间的逻辑关系，也能独立进行一些简单的逻辑分析，并进行间接的推理（即由几个判断推出新的判断）。因此可以说，这一阶段正是发展学生形式逻辑思维的有利时期。

由此可以看出，小学数学教学大纲中提出培养学生初步的逻辑思维能力，既符合数学学科的特点，又符合小学生的年龄特点。

有人一度提出，小学数学的教学目的之一是发展学生的创造思维。这一点值得商榷。第一，根据心理学研究，创造思维是人们思维活动的高级过程。它有普通思维的特点，例如在解问题时，也有提出问题、明确问题、提出假设、检验假设等阶段。但是不同之处在于有想象的参与。另外，创造思维往往是逻辑思维的简缩。从多数学生来说，如果没有良好的逻辑思维的训练，很难发展创造思维。也就是说，发展创造思维首先要有逻辑思维做基础。其次，人们的一般思维活动中也具有一定的创造性思维的因素。可以说，发展逻辑思维，在一定程度上也包含着发展思维的创造性品质。但是如果把创造思维作为基本要求提出来，对小学生说就要求太高了。此外，由于创造思维这一过程本身比较复杂，心理学的分析研究还很不充分，还难以具体说明它的内涵，要在小学里提出明确具体的教学要求就更困难了。

也有人强调小学数学应着重发展辩证思维。这也值得商榷。如前所述，辩证思维是抽象逻辑思维发展的高级阶段，需要有一定的形式逻辑思维做基础。而且从小学数学内容来说，虽然有些内容能够反映辩证思维的某些规律，但有很多内容受到一定的局限。例如，对加与减，可以说是相反的运算，两种运算相互依存，但是在一定条件下可以互相转化就不好讲，因为还没有学过负数。另外从小学生的年龄特点来说，9—11岁才开始萌发辩证思维，显然比形式逻辑思维发展得晚。因此在小学把发展辩证思维作为教学的基本要求，还为时过早。在小学只能结合某些内容适当渗透一些唯物辩证观点的因素，给学生积累一些感性材料，而不是讲辩证法。例如，讲整数加法与减法时，可以通过实例说明它们是相反的运算，是相互依存的；讲分数乘除法时，可以通过实例说明两种运算在分数中可以相互转化。

三 小学数学中培养初步的逻辑思维能力的内容和教法

下面基本按照《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》中所提的内容分别加以阐述，同时分别提出一些教学建议供参考。

（一）培养学生初步运用分析、综合、比较、抽象、概括等能力

这些内容，从逻辑学上说都是逻辑的方法；从心理学上说都是人们进行思维活动必不可少的过程。

1.培养初步的分析、综合能力。

分析是在思维中把事物的整体分解成个别部分、要素或特性；综合是把个别部分或特性结合成一个整体。分析与综合是密切联系着的，人们一方面不断进行分析，另一方面对分析的结果不断加以综合。

分析与综合在小学数学中有广泛的应用。通过分析可以理解某一数学知识的要素，新旧知识间的联系；通过综合又对数学知识有了全面的和整体的理解。

从一年级开始就用到分析与综合，而且贯穿在各年级各部分数学知识的教学之中。下面举几个例子。

（1）教学10以内的数时，要了解每个数的分解和组成。如

（2）任何一个计算，几乎都可以分解成几个已学的基本计算。如20

（3）在进行概括的时候，一般都先经过分析，然后再综合。例如，讲除法的意义，先通过具体例子分析除法中各组成部分与乘法中各组成部分的联系，在此基础上概括出除法的意义。

（4）解答简单应用题时，根据问题找出所需的已知条件就是分析的过程，根据已知条件提出所能解的问题就是综合的过程。解答复合应用题时，分析、综合就较为复杂。先把复合应用题分解为几个有联系的简单应用题，进一步分析解每个简单应用题所需的已知条件，然后把已知条件成对的结合，连续地解答几个简单应用题，最后得到问题的答案。例如：

两步应用题：“同学们做了12朵红花，8朵黄花。送给幼儿园15朵，还剩几朵？”

想：要求还剩几朵，须知道什么？——一共做多少朵，送了多少朵。（分析）

一共做多少朵知道吗？那么要先算什么？

要求一共做多少朵，须知道什么？——做了几朵红花，几朵黄花。（分析）

题里告诉了什么？怎么求一共做多少朵？（综合）

知道一共做20朵，现在可以求什么？怎么求？（综合）

（5）教学几何初步知识也同样运用着分析与综合。例如，教学长方体特征时，引导学生观察、分析它们的面、校和顶点，然后加以综合，总结出长方体有6个面、12条棱和8个顶点，以及其他特征。

小学生的分析与综合，在不同年龄段具有不同的水平。低年级学生能进行简单的分析与综合，但是一般都要结合动作和直观来进行，而且主要是进行部分的分析，即能分析某个事物的个别部分或个别特征。中年级学生在教学的影响下有所发展，但多数还是部分分析，而进行综合的分析能力还很差。解答两步应用题时，有近50％的学生能正确分析出第一步先求什么，多数能列综合算式解答。高年级学生的分析、综合能力有较大的发展。他们能进行稍复杂的分析与综合。解答整、小数两步应用题时，近80％的学生能正确分析出第一步先求什么。但解分数的两步应用题时，还有较多学生对分析感到困难。在用不同方法解答应用题时，需要把原有条件重新组合分析，然后列综合算式，从而使学生的综合分析能力也得到了发展。

教学生进行分析、综合时要注意以下几点：

（1）研究的事物都有许多部分、要素和特性，其中有些是重要的、本质的，教学时要引导学生分析重要的和本质的东西。例如，12×3，口算时可以把12分解成任意两个数的和，但是要着重引导学生把12分解成10和2，先算整十数乘以3，再算2乘以3，最后把两个积合并起来。

（2）要随着学生的年龄逐步提高分析、综合的要求。例如，低年级教学10以内数的组成要结合动作、直观来进行分析；解答应用题也借助动作、直观来分析数量关系。到了高年级，有的就可脱离直观，但较抽象的内容还要适当利用直观。如教学约数、公约数、倍数、公倍数等可以让学生摆一摆计数板，以加深对分解公有的质因数的理解。

（3）分析的深刻、详细的程度注意适当划分层次。例如，低年级教学长方形、只分析出它有4条边、对边相等，有4个角，都是直角。较高年级教学平行以后再分析出它的对边平行。

（4）为了培养学生分析、综合的能力，注意适当让学生口头表述分析、综合的过程，可以让同桌的学生经常互相说给对方听。

2.培养初步的比较能力。

比较就是确定所研究的事物之间的相同点和不同点。有比较才能鉴别，通过比较可以加深对事物的理解。比较与分析、综合有着密切的联系。通过分析，把事物的个别部分、个别特性区分出来，才有可能加以比较，确定它们的异同。

比较在小学

在小学数学中培养学生的思维能力问题 在小学数学中培养学生的思维能力问题

培养学生的思维能力是现代学校教学的一项基本任务。第二次世界大战以后，科学技术迅猛发展，知识激增，知识的更新加快，随之对教育提出了新的要求，就是要提高年轻一代的素质。不仅要教给学生现代科学技术知识，而且要把学生培养成勇于思考、勇于探索、勇于创新的人，从而强调教学要注重发展学生的智力。从心理学角度来看，智力的核心是思维能力。思维能力增强了，智力水平也就提高了。因此各国的小学数学都把培养学生思维能力作为教学的一项基本任务。

培养学生思维能力是一个很复杂的问题，它涉及到逻辑学、心理学、教育学等多学科的知识。同时，逻辑学和心理学都研究思维，但它们的侧重面有所不同。逻辑学主要从思维的结果（或产物）如概念、判断、推理等方面来研究，而且着重研究正确思维的规律及形式，以及这些认识结果之间的关系。心理学则主要从思维过程本身来研究，着重研究思维过程中的规律，以及导致形成某些认识结果的内在的隐蔽的原因。由于思维过程与思维结果是密切联系着的，所以心理学与逻辑学对思维的研究也要紧密联系，并且相互补充。我们在研究小学数学教学中发展思维能力也同样要注意思维过程和思维结果紧密联系这一特点，忽视哪一方面都不可能收到良好的教学效果。

一 人类思维发展的阶段

思维活动是多种多样的。根据人的不同发展阶段的思维特点来划分，可以分为以下几个阶段。

（一）直观行动思维：这是婴儿期（1岁以后）的思维特点。这个阶段的思维是在对物体的感知、动作中进行的。婴儿离开动作就不能进行思考，也不能计划自己的动作或预见动作的结果。这阶段婴儿只能概括事物的一些外部特征。以后长到成人，直观行动思维继续发展成操作思维。例如运动员的技能就需要操作思维。

（二）具体形象思维：幼儿期的思维特点，一般从3岁延续到小学低年级。儿童思维时可以摆脱对动作的直接依赖，而凭借事物的具体形象或具体形象的联想（即在头脑中形成表象）。这阶段儿童能进行一些初步概括，但概括出的特征很多是外部的、形式的。

（三）抽象逻辑思维：它是以抽象概念为基础的思维。又可以分为两个阶段。

1.形式逻辑思维：简称逻辑思维。它是以同一律为核心规律，进行确定的、无矛盾的、前后一贯的思维。它要求在同一思维过程中的每一个概念必须是确定的。例如，A就是A，不能既是A又是非A。在小学数学中每一个概念也都必须是确定的。例如教学约数、倍数时，把0排除，否则公倍数、最小公倍数也要包括0了。

形式逻辑思维的特点主要是从思维形式（概念、判断、推理）上进行思维。它是抽象逻辑思维发展的初级阶段，因此也称为普通思维，形式逻辑也称普通逻辑。一般地说，10—11岁是过渡到逻辑思维的关键年龄。这时学生的概括能力有了较显著的变化。

2.辩证逻辑思维：简称辩证思维。它是以对立统一为核心规律而进行的思维。它着重从事物内部的矛盾性，概念的矛盾运动来进行思考。它把思维形式和思维内容联系起来，对事物的发展变化、相互联系、相互转化的过程进行思考。它是抽象逻辑思维发展的高级阶段，必须在形式逻辑思维的基础上才能形成。据心理学家研究，9—11岁学生的辩证思维才开始萌芽。

从个体发展来说，上述几种思维活动虽然是分阶段逐步发展的，但每发展到后一阶段时，前一阶段的思维特点并不因此而停止发展或消失，在一定条件下，还向更高的水平发展。例如，文学家、艺术家、建筑学家等的具体形象思维获得了高度的发展。

二 在小学数学教学中对发展思维能力的基本要求

新中国成立以来，历届小学数学教学大纲中有关发展学生思维能力的规定基本相同，即培养学生初步的逻辑思维能力。这里所讲的逻辑思维主要是指形式逻辑思维。从国家教委1992年颁发的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》中看得更清楚。其中明确提出，“结合有关内容的教学，培养学生进行初步的分析、综合、比较、抽象、概括，对简单的问题进行判断、推理，逐步学会有条理、有根据地思考问题；同时注意思维的敏捷和灵活。”这表明，在小学阶段主要是培养学生初步的形式逻辑思维能力，同时也注意培养学生的一些良好的思维品质。

为什么在小学以培养初步的形式逻辑思维能力为主呢？个人体会有以下两点。

（一）从数学的特点看：数学具有抽象性和逻辑严密性。数学本身是由许多判断组成的确定体系。这些判断都是由数学术语和逻辑术语以及相应的符号所表示的语句来表达的，并且借助逻辑推理由一些判断形成新的判断。而这些判断的总和就构成了数学这门科学。小学数学内容虽然比较简单，也没有严格的推理论证，但都是经过人们抽象、概括、判断、推理、论证得出的真正的科学结论，只是不给学生进行严密的合乎逻辑的论证。即使这样，一时一刻也离不开判断、推理。这就为培养学生的逻辑思维提供了十分有利的条件。

（二）从小学生的思维特点看：小学生正处在从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。特别是中、高年级，学生的抽象思维发生了“飞跃”或“质变”。具体地说，10—11岁学生开始能逐步分出概念的本质特征，能初步掌握比较科学的定义，能领会概念之间的逻辑关系，也能独立进行一些简单的逻辑分析，并进行间接的推理（即由几个判断推出新的判断）。因此可以说，这一阶段正是发展学生形式逻辑思维的有利时期。

由此可以看出，小学数学教学大纲中提出培养学生初步的逻辑思维能力，既符合数学学科的特点，又符合小学生的年龄特点。

有人一度提出，小学数学的教学目的之一是发展学生的创造思维。这一点值得商榷。第一，根据心理学研究，创造思维是人们思维活动的高级过程。它有普通思维的特点，例如在解问题时，也有提出问题、明确问题、提出假设、检验假设等阶段。但是不同之处在于有想象的参与。另外，创造思维往往是逻辑思维的简缩。从多数学生来说，如果没有良好的逻辑思维的训练，很难发展创造思维。也就是说，发展创造思维首先要有逻辑思维做基础。其次，人们的一般思维活动中也具有一定的创造性思维的因素。可以说，发展逻辑思维，在一定程度上也包含着发展思维的创造性品质。但是如果把创造思维作为基本要求提出来，对小学生说就要求太高了。此外，由于创造思维这一过程本身比较复杂，心理学的分析研究还很不充分，还难以具体说明它的内涵，要在小学里提出明确具体的教学要求就更困难了。

也有人强调小学数学应着重发展辩证思维。这也值得商榷。如前所述，辩证思维是抽象逻辑思维发展的高级阶段，需要有一定的形式逻辑思维做基础。而且从小学数学内容来说，虽然有些内容能够反映辩证思维的某些规律，但有很多内容受到一定的局限。例如，对加与减，可以说是相反的运算，两种运算相互依存，但是在一定条件下可以互相转化就不好讲，因为还没有学过负数。另外从小学生的年龄特点来说，9—11岁才开始萌发辩证思维，显然比形式逻辑思维发展得晚。因此在小学把发展辩证思维作为教学的基本要求，还为时过早。在小学只能结合某些内容适当渗透一些唯物辩证观点的因素，给学生积累一些感性材料，而不是讲辩证法。例如，讲整数加法与减法时，可以通过实例说明它们是相反的运算，是相互依存的；讲分数乘除法时，可以通过实例说明两种运算在分数中可以相互转化。

三 小学数学中培养初步的逻辑思维能力的内容和教法

下面基本按照《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》中所提的内容分别加以阐述，同时分别提出一些教学建议供参考。

（一）培养学生初步运用分析、综合、比较、抽象、概括等能力

这些内容，从逻辑学上说都是逻辑的方法；从心理学上说都是人们进行思维活动必不可少的过程。

1.培养初步的分析、综合能力。

分析是在思维中把事物的整体分解成个别部分、要素或特性；综合是把个别部分或特性结合成一个整体。分析与综合是密切联系着的，人们一方面不断进行分析，另一方面对分析的结果不断加以综合。

分析与综合在小学数学中有广泛的应用。通过分析可以理解某一数学知识的要素，新旧知识间的联系；通过综合又对数学知识有了全面的和整体的理解。

从一年级开始就用到分析与综合，而且贯穿在各年级各部分数学知识的教学之中。下面举几个例子。

（1）教学10以内的数时，要了解每个数的分解和组成。如

（2）任何一个计算，几乎都可以分解成几个已学的基本计算。如20

（3）在进行概括的时候，一般都先经过分析，然后再综合。例如，讲除法的意义，先通过具体例子分析除法中各组成部分与乘法中各组成部分的联系，在此基础上概括出除法的意义。

（4）解答简单应用题时，根据问题找出所需的已知条件就是分析的过程，根据已知条件提出所能解的问题就是综合的过程。解答复合应用题时，分析、综合就较为复杂。先把复合应用题分解为几个有联系的简单应用题，进一步分析解每个简单应用题所需的已知条件，然后把已知条件成对的结合，连续地解答几个简单应用题，最后得到问题的答案。例如：

两步应用题：“同学们做了12朵红花，8朵黄花。送给幼儿园15朵，还剩几朵？”

想：要求还剩几朵，须知道什么？——一共做多少朵，送了多少朵。（分析）

一共做多少朵知道吗？那么要先算什么？

要求一共做多少朵，须知道什么？——做了几朵红花，几朵黄花。（分析）

题里告诉了什么？怎么求一共做多少朵？（综合）

知道一共做20朵，现在可以求什么？怎么求？（综合）

（5）教学几何初步知识也同样运用着分析与综合。例如，教学长方体特征时，引导学生观察、分析它们的面、校和顶点，然后加以综合，总结出长方体有6个面、12条棱和8个顶点，以及其他特征。

小学生的分析与综合，在不同年龄段具有不同的水平。低年级学生能进行简单的分析与综合，但是一般都要结合动作和直观来进行，而且主要是进行部分的分析，即能分析某个事物的个别部分或个别特征。中年级学生在教学的影响下有所发展，但多数还是部分分析，而进行综合的分析能力还很差。解答两步应用题时，有近50％的学生能正确分析出第一步先求什么，多数能列综合算式解答。高年级学生的分析、综合能力有较大的发展。他们能进行稍复杂的分析与综合。解答整、小数两步应用题时，近80％的学生能正确分析出第一步先求什么。但解分数的两步应用题时，还有较多学生对分析感到困难。在用不同方法解答应用题时，需要把原有条件重新组合分析，然后列综合算式，从而使学生的综合分析能力也得到了发展。

教学生进行分析、综合时要注意以下几点：

（1）研究的事物都有许多部分、要素和特性，其中有些是重要的、本质的，教学时要引导学生分析重要的和本质的东西。例如，12×3，口算时可以把12分解成任意两个数的和，但是要着重引导学生把12分解成10和2，先算整十数乘以3，再算2乘以3，最后把两个积合并起来。

（2）要随着学生的年龄逐步提高分析、综合的要求。例如，低年级教学10以内数的组成要结合动作、直观来进行分析；解答应用题也借助动作、直观来分析数量关系。到了高年级，有的就可脱离直观，但较抽象的内容还要适当利用直观。如教学约数、公约数、倍数、公倍数等可以让学生摆一摆计数板，以加深对分解公有的质因数的理解。

（3）分析的深刻、详细的程度注意适当划分层次。例如，低年级教学长方形、只分析出它有4条边、对边相等，有4个角，都是直角。较高年级教学平行以后再分析出它的对边平行。

（4）为了培养学生分析、综合的能力，注意适当让学生口头表述分析、综合的过程，可以让同桌的学生经常互相说给对方听。

2.培养初步的比较能力。

比较就是确定所研究的事物之间的相同点和不同点。有比较才能鉴别，通过比较可以加深对事物的理解。比较与分析、综合有着密切的联系。通过分析，把事物的个别部分、个别特性区分出来，才有可能加以比较，确定它们的异同。

比较在小学

在小学数学中培养学生的思维能力问题 在小学数学中培养学生的思维能力问题

培养学生的思维能力是现代学校教学的一项基本任务。第二次世界大战以后，科学技术迅猛发展，知识激增，知识的更新加快，随之对教育提出了新的要求，就是要提高年轻一代的素质。不仅要教给学生现代科学技术知识，而且要把学生培养成勇于思考、勇于探索、勇于创新的人，从而强调教学要注重发展学生的智力。从心理学角度来看，智力的核心是思维能力。思维能力增强了，智力水平也就提高了。因此各国的小学数学都把培养学生思维能力作为教学的一项基本任务。

培养学生思维能力是一个很复杂的问题，它涉及到逻辑学、心理学、教育学等多学科的知识。同时，逻辑学和心理学都研究思维，但它们的侧重面有所不同。逻辑学主要从思维的结果（或产物）如概念、判断、推理等方面来研究，而且着重研究正确思维的规律及形式，以及这些认识结果之间的关系。心理学则主要从思维过程本身来研究，着重研究思维过程中的规律，以及导致形成某些认识结果的内在的隐蔽的原因。由于思维过程与思维结果是密切联系着的，所以心理学与逻辑学对思维的研究也要紧密联系，并且相互补充。我们在研究小学数学教学中发展思维能力也同样要注意思维过程和思维结果紧密联系这一特点，忽视哪一方面都不可能收到良好的教学效果。

一 人类思维发展的阶段

思维活动是多种多样的。根据人的不同发展阶段的思维特点来划分，可以分为以下几个阶段。

（一）直观行动思维：这是婴儿期（1岁以后）的思维特点。这个阶段的思维是在对物体的感知、动作中进行的。婴儿离开动作就不能进行思考，也不能计划自己的动作或预见动作的结果。这阶段婴儿只能概括事物的一些外部特征。以后长到成人，直观行动思维继续发展成操作思维。例如运动员的技能就需要操作思维。

（二）具体形象思维：幼儿期的思维特点，一般从3岁延续到小学低年级。儿童思维时可以摆脱对动作的直接依赖，而凭借事物的具体形象或具体形象的联想（即在头脑中形成表象）。这阶段儿童能进行一些初步概括，但概括出的特征很多是外部的、形式的。

（三）抽象逻辑思维：它是以抽象概念为基础的思维。又可以分为两个阶段。

1.形式逻辑思维：简称逻辑思维。它是以同一律为核心规律，进行确定的、无矛盾的、前后一贯的思维。它要求在同一思维过程中的每一个概念必须是确定的。例如，A就是A，不能既是A又是非A。在小学数学中每一个概念也都必须是确定的。例如教学约数、倍数时，把0排除，否则公倍数、最小公倍数也要包括0了。

形式逻辑思维的特点主要是从思维形式（概念、判断、推理）上进行思维。它是抽象逻辑思维发展的初级阶段，因此也称为普通思维，形式逻辑也称普通逻辑。一般地说，10—11岁是过渡到逻辑思维的关键年龄。这时学生的概括能力有了较显著的变化。

2.辩证逻辑思维：简称辩证思维。它是以对立统一为核心规律而进行的思维。它着重从事物内部的矛盾性，概念的矛盾运动来进行思考。它把思维形式和思维内容联系起来，对事物的发展变化、相互联系、相互转化的过程进行思考。它是抽象逻辑思维发展的高级阶段，必须在形式逻辑思维的基础上才能形成。据心理学家研究，9—11岁学生的辩证思维才开始萌芽。

从个体发展来说，上述几种思维活动虽然是分阶段逐步发展的，但每发展到后一阶段时，前一阶段的思维特点并不因此而停止发展或消失，在一定条件下，还向更高的水平发展。例如，文学家、艺术家、建筑学家等的具体形象思维获得了高度的发展。

二 在小学数学教学中对发展思维能力的基本要求

新中国成立以来，历届小学数学教学大纲中有关发展学生思维能力的规定基本相同，即培养学生初步的逻辑思维能力。这里所讲的逻辑思维主要是指形式逻辑思维。从国家教委1992年颁发的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》中看得更清楚。其中明确提出，“结合有关内容的教学，培养学生进行初步的分析、综合、比较、抽象、概括，对简单的问题进行判断、推理，逐步学会有条理、有根据地思考问题；同时注意思维的敏捷和灵活。”这表明，在小学阶段主要是培养学生初步的形式逻辑思维能力，同时也注意培养学生的一些良好的思维品质。

为什么在小学以培养初步的形式逻辑思维能力为主呢？个人体会有以下两点。

（一）从数学的特点看：数学具有抽象性和逻辑严密性。数学本身是由许多判断组成的确定体系。这些判断都是由数学术语和逻辑术语以及相应的符号所表示的语句来表达的，并且借助逻辑推理由一些判断形成新的判断。而这些判断的总和就构成了数学这门科学。小学数学内容虽然比较简单，也没有严格的推理论证，但都是经过人们抽象、概括、判断、推理、论证得出的真正的科学结论，只是不给学生进行严密的合乎逻辑的论证。即使这样，一时一刻也离不开判断、推理。这就为培养学生的逻辑思维提供了十分有利的条件。

（二）从小学生的思维特点看：小学生正处在从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。特别是中、高年级，学生的抽象思维发生了“飞跃”或“质变”。具体地说，10—11岁学生开始能逐步分出概念的本质特征，能初步掌握比较科学的定义，能领会概念之间的逻辑关系，也能独立进行一些简单的逻辑分析，并进行间接的推理（即由几个判断推出新的判断）。因此可以说，这一阶段正是发展学生形式逻辑思维的有利时期。

由此可以看出，小学数学教学大纲中提出培养学生初步的逻辑思维能力，既符合数学学科的特点，又符合小学生的年龄特点。

有人一度提出，小学数学的教学目的之一是发展学生的创造思维。这一点值得商榷。第一，根据心理学研究，创造思维是人们思维活动的高级过程。它有普通思维的特点，例如在解问题时，也有提出问题、明确问题、提出假设、检验假设等阶段。但是不同之处在于有想象的参与。另外，创造思维往往是逻辑思维的简缩。从多数学生来说，如果没有良好的逻辑思维的训练，很难发展创造思维。也就是说，发展创造思维首先要有逻辑思维做基础。其次，人们的一般思维活动中也具有一定的创造性思维的因素。可以说，发展逻辑思维，在一定程度上也包含着发展思维的创造性品质。但是如果把创造思维作为基本要求提出来，对小学生说就要求太高了。此外，由于创造思维这一过程本身比较复杂，心理学的分析研究还很不充分，还难以具体说明它的内涵，要在小学里提出明确具体的教学要求就更困难了。

也有人强调小学数学应着重发展辩证思维。这也值得商榷。如前所述，辩证思维是抽象逻辑思维发展的高级阶段，需要有一定的形式逻辑思维做基础。而且从小学数学内容来说，虽然有些内容能够反映辩证思维的某些规律，但有很多内容受到一定的局限。例如，对加与减，可以说是相反的运算，两种运算相互依存，但是在一定条件下可以互相转化就不好讲，因为还没有学过负数。另外从小学生的年龄特点来说，9—11岁才开始萌发辩证思维，显然比形式逻辑思维发展得晚。因此在小学把发展辩证思维作为教学的基本要求，还为时过早。在小学只能结合某些内容适当渗透一些唯物辩证观点的因素，给学生积累一些感性材料，而不是讲辩证法。例如，讲整数加法与减法时，可以通过实例说明它们是相反的运算，是相互依存的；讲分数乘除法时，可以通过实例说明两种运算在分数中可以相互转化。

三 小学数学中培养初步的逻辑思维能力的内容和教法

下面基本按照《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》中所提的内容分别加以阐述，同时分别提出一些教学建议供参考。

（一）培养学生初步运用分析、综合、比较、抽象、概括等能力

这些内容，从逻辑学上说都是逻辑的方法；从心理学上说都是人们进行思维活动必不可少的过程。

1.培养初步的分析、综合能力。

分析是在思维中把事物的整体分解成个别部分、要素或特性；综合是把个别部分或特性结合成一个整体。分析与综合是密切联系着的，人们一方面不断进行分析，另一方面对分析的结果不断加以综合。

分析与综合在小学数学中有广泛的应用。通过分析可以理解某一数学知识的要素，新旧知识间的联系；通过综合又对数学知识有了全面的和整体的理解。

从一年级开始就用到分析与综合，而且贯穿在各年级各部分数学知识的教学之中。下面举几个例子。

（1）教学10以内的数时，要了解每个数的分解和组成。如

（2）任何一个计算，几乎都可以分解成几个已学的基本计算。如20

（3）在进行概括的时候，一般都先经过分析，然后再综合。例如，讲除法的意义，先通过具体例子分析除法中各组成部分与乘法中各组成部分的联系，在此基础上概括出除法的意义。

（4）解答简单应用题时，根据问题找出所需的已知条件就是分析的过程，根据已知条件提出所能解的问题就是综合的过程。解答复合应用题时，分析、综合就较为复杂。先把复合应用题分解为几个有联系的简单应用题，进一步分析解每个简单应用题所需的已知条件，然后把已知条件成对的结合，连续地解答几个简单应用题，最后得到问题的答案。例如：

两步应用题：“同学们做了12朵红花，8朵黄花。送给幼儿园15朵，还剩几朵？”

想：要求还剩几朵，须知道什么？——一共做多少朵，送了多少朵。（分析）

一共做多少朵知道吗？那么要先算什么？

要求一共做多少朵，须知道什么？——做了几朵红花，几朵黄花。（分析）

题里告诉了什么？怎么求一共做多少朵？（综合）

知道一共做20朵，现在可以求什么？怎么求？（综合）

（5）教学几何初步知识也同样运用着分析与综合。例如，教学长方体特征时，引导学生观察、分析它们的面、校和顶点，然后加以综合，总结出长方体有6个面、12条棱和8个顶点，以及其他特征。

小学生的分析与综合，在不同年龄段具有不同的水平。低年级学生能进行简单的分析与综合，但是一般都要结合动作和直观来进行，而且主要是进行部分的分析，即能分析某个事物的个别部分或个别特征。中年级学生在教学的影响下有所发展，但多数还是部分分析，而进行综合的分析能力还很差。解答两步应用题时，有近50％的学生能正确分析出第一步先求什么，多数能列综合算式解答。高年级学生的分析、综合能力有较大的发展。他们能进行稍复杂的分析与综合。解答整、小数两步应用题时，近80％的学生能正确分析出第一步先求什么。但解分数的两步应用题时，还有较多学生对分析感到困难。在用不同方法解答应用题时，需要把原有条件重新组合分析，然后列综合算式，从而使学生的综合分析能力也得到了发展。

教学生进行分析、综合时要注意以下几点：

（1）研究的事物都有许多部分、要素和特性，其中有些是重要的、本质的，教学时要引导学生分析重要的和本质的东西。例如，12×3，口算时可以把12分解成任意两个数的和，但是要着重引导学生把12分解成10和2，先算整十数乘以3，再算2乘以3，最后把两个积合并起来。

（2）要随着学生的年龄逐步提高分析、综合的要求。例如，低年级教学10以内数的组成要结合动作、直观来进行分析；解答应用题也借助动作、直观来分析数量关系。到了高年级，有的就可脱离直观，但较抽象的内容还要适当利用直观。如教学约数、公约数、倍数、公倍数等可以让学生摆一摆计数板，以加深对分解公有的质因数的理解。

（3）分析的深刻、详细的程度注意适当划分层次。例如，低年级教学长方形、只分析出它有4条边、对边相等，有4个角，都是直角。较高年级教学平行以后再分析出它的对边平行。

（4）为了培养学生分析、综合的能力，注意适当让学生口头表述分析、综合的过程，可以让同桌的学生经常互相说给对方听。

2.培养初步的比较能力。

比较就是确定所研究的事物之间的相同点和不同点。有比较才能鉴别，通过比较可以加深对事物的理解。比较与分析、综合有着密切的联系。通过分析，把事物的个别部分、个别特性区分出来，才有可能加以比较，确定它们的异同。

比较在小学

在小学数学中培养学生的思维能力问题 在小学数学中培养学生的思维能力问题

培养学生的思维能力是现代学校教学的一项基本任务。第二次世界大战以后，科学技术迅猛发展，知识激增，知识的更新加快，随之对教育提出了新的要求，就是要提高年轻一代的素质。不仅要教给学生现代科学技术知识，而且要把学生培养成勇于思考、勇于探索、勇于创新的人，从而强调教学要注重发展学生的智力。从心理学角度来看，智力的核心是思维能力。思维能力增强了，智力水平也就提高了。因此各国的小学数学都把培养学生思维能力作为教学的一项基本任务。

培养学生思维能力是一个很复杂的问题，它涉及到逻辑学、心理学、教育学等多学科的知识。同时，逻辑学和心理学都研究思维，但它们的侧重面有所不同。逻辑学主要从思维的结果（或产物）如概念、判断、推理等方面来研究，而且着重研究正确思维的规律及形式，以及这些认识结果之间的关系。心理学则主要从思维过程本身来研究，着重研究思维过程中的规律，以及导致形成某些认识结果的内在的隐蔽的原因。由于思维过程与思维结果是密切联系着的，所以心理学与逻辑学对思维的研究也要紧密联系，并且相互补充。我们在研究小学数学教学中发展思维能力也同样要注意思维过程和思维结果紧密联系这一特点，忽视哪一方面都不可能收到良好的教学效果。

一 人类思维发展的阶段

思维活动是多种多样的。根据人的不同发展阶段的思维特点来划分，可以分为以下几个阶段。

（一）直观行动思维：这是婴儿期（1岁以后）的思维特点。这个阶段的思维是在对物体的感知、动作中进行的。婴儿离开动作就不能进行思考，也不能计划自己的动作或预见动作的结果。这阶段婴儿只能概括事物的一些外部特征。以后长到成人，直观行动思维继续发展成操作思维。例如运动员的技能就需要操作思维。

（二）具体形象思维：幼儿期的思维特点，一般从3岁延续到小学低年级。儿童思维时可以摆脱对动作的直接依赖，而凭借事物的具体形象或具体形象的联想（即在头脑中形成表象）。这阶段儿童能进行一些初步概括，但概括出的特征很多是外部的、形式的。

（三）抽象逻辑思维：它是以抽象概念为基础的思维。又可以分为两个阶段。

1.形式逻辑思维：简称逻辑思维。它是以同一律为核心规律，进行确定的、无矛盾的、前后一贯的思维。它要求在同一思维过程中的每一个概念必须是确定的。例如，A就是A，不能既是A又是非A。在小学数学中每一个概念也都必须是确定的。例如教学约数、倍数时，把0排除，否则公倍数、最小公倍数也要包括0了。

形式逻辑思维的特点主要是从思维形式（概念、判断、推理）上进行思维。它是抽象逻辑思维发展的初级阶段，因此也称为普通思维，形式逻辑也称普通逻辑。一般地说，10—11岁是过渡到逻辑思维的关键年龄。这时学生的概括能力有了较显著的变化。

2.辩证逻辑思维：简称辩证思维。它是以对立统一为核心规律而进行的思维。它着重从事物内部的矛盾性，概念的矛盾运动来进行思考。它把思维形式和思维内容联系起来，对事物的发展变化、相互联系、相互转化的过程进行思考。它是抽象逻辑思维发展的高级阶段，必须在形式逻辑思维的基础上才能形成。据心理学家研究，9—11岁学生的辩证思维才开始萌芽。

从个体发展来说，上述几种思维活动虽然是分阶段逐步发展的，但每发展到后一阶段时，前一阶段的思维特点并不因此而停止发展或消失，在一定条件下，还向更高的水平发展。例如，文学家、艺术家、建筑学家等的具体形象思维获得了高度的发展。

二 在小学数学教学中对发展思维能力的基本要求

新中国成立以来，历届小学数学教学大纲中有关发展学生思维能力的规定基本相同，即培养学生初步的逻辑思维能力。这里所讲的逻辑思维主要是指形式逻辑思维。从国家教委1992年颁发的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》中看得更清楚。其中明确提出，“结合有关内容的教学，培养学生进行初步的分析、综合、比较、抽象、概括，对简单的问题进行判断、推理，逐步学会有条理、有根据地思考问题；同时注意思维的敏捷和灵活。”这表明，在小学阶段主要是培养学生初步的形式逻辑思维能力，同时也注意培养学生的一些良好的思维品质。

为什么在小学以培养初步的形式逻辑思维能力为主呢？个人体会有以下两点。

（一）从数学的特点看：数学具有抽象性和逻辑严密性。数学本身是由许多判断组成的确定体系。这些判断都是由数学术语和逻辑术语以及相应的符号所表示的语句来表达的，并且借助逻辑推理由一些判断形成新的判断。而这些判断的总和就构成了数学这门科学。小学数学内容虽然比较简单，也没有严格的推理论证，但都是经过人们抽象、概括、判断、推理、论证得出的真正的科学结论，只是不给学生进行严密的合乎逻辑的论证。即使这样，一时一刻也离不开判断、推理。这就为培养学生的逻辑思维提供了十分有利的条件。

（二）从小学生的思维特点看：小学生正处在从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。特别是中、高年级，学生的抽象思维发生了“飞跃”或“质变”。具体地说，10—11岁学生开始能逐步分出概念的本质特征，能初步掌握比较科学的定义，能领会概念之间的逻辑关系，也能独立进行一些简单的逻辑分析，并进行间接的推理（即由几个判断推出新的判断）。因此可以说，这一阶段正是发展学生形式逻辑思维的有利时期。

由此可以看出，小学数学教学大纲中提出培养学生初步的逻辑思维能力，既符合数学学科的特点，又符合小学生的年龄特点。

有人一度提出，小学数学的教学目的之一是发展学生的创造思维。这一点值得商榷。第一，根据心理学研究，创造思维是人们思维活动的高级过程。它有普通思维的特点，例如在解问题时，也有提出问题、明确问题、提出假设、检验假设等阶段。但是不同之处在于有想象的参与。另外，创造思维往往是逻辑思维的简缩。从多数学生来说，如果没有良好的逻辑思维的训练，很难发展创造思维。也就是说，发展创造思维首先要有逻辑思维做基础。其次，人们的一般思维活动中也具有一定的创造性思维的因素。可以说，发展逻辑思维，在一定程度上也包含着发展思维的创造性品质。但是如果把创造思维作为基本要求提出来，对小学生说就要求太高了。此外，由于创造思维这一过程本身比较复杂，心理学的分析研究还很不充分，还难以具体说明它的内涵，要在小学里提出明确具体的教学要求就更困难了。

也有人强调小学数学应着重发展辩证思维。这也值得商榷。如前所述，辩证思维是抽象逻辑思维发展的高级阶段，需要有一定的形式逻辑思维做基础。而且从小学数学内容来说，虽然有些内容能够反映辩证思维的某些规律，但有很多内容受到一定的局限。例如，对加与减，可以说是相反的运算，两种运算相互依存，但是在一定条件下可以互相转化就不好讲，因为还没有学过负数。另外从小学生的年龄特点来说，9—11岁才开始萌发辩证思维，显然比形式逻辑思维发展得晚。因此在小学把发展辩证思维作为教学的基本要求，还为时过早。在小学只能结合某些内容适当渗透一些唯物辩证观点的因素，给学生积累一些感性材料，而不是讲辩证法。例如，讲整数加法与减法时，可以通过实例说明它们是相反的运算，是相互依存的；讲分数乘除法时，可以通过实例说明两种运算在分数中可以相互转化。

三 小学数学中培养初步的逻辑思维能力的内容和教法

下面基本按照《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》中所提的内容分别加以阐述，同时分别提出一些教学建议供参考。

（一）培养学生初步运用分析、综合、比较、抽象、概括等能力

这些内容，从逻辑学上说都是逻辑的方法；从心理学上说都是人们进行思维活动必不可少的过程。

1.培养初步的分析、综合能力。

分析是在思维中把事物的整体分解成个别部分、要素或特性；综合是把个别部分或特性结合成一个整体。分析与综合是密切联系着的，人们一方面不断进行分析，另一方面对分析的结果不断加以综合。

分析与综合在小学数学中有广泛的应用。通过分析可以理解某一数学知识的要素，新旧知识间的联系；通过综合又对数学知识有了全面的和整体的理解。

从一年级开始就用到分析与综合，而且贯穿在各年级各部分数学知识的教学之中。下面举几个例子。

（1）教学10以内的数时，要了解每个数的分解和组成。如

（2）任何一个计算，几乎都可以分解成几个已学的基本计算。如20

（3）在进行概括的时候，一般都先经过分析，然后再综合。例如，讲除法的意义，先通过具体例子分析除法中各组成部分与乘法中各组成部分的联系，在此基础上概括出除法的意义。

（4）解答简单应用题时，根据问题找出所需的已知条件就是分析的过程，根据已知条件提出所能解的问题就是综合的过程。解答复合应用题时，分析、综合就较为复杂。先把复合应用题分解为几个有联系的简单应用题，进一步分析解每个简单应用题所需的已知条件，然后把已知条件成对的结合，连续地解答几个简单应用题，最后得到问题的答案。例如：

两步应用题：“同学们做了12朵红花，8朵黄花。送给幼儿园15朵，还剩几朵？”

想：要求还剩几朵，须知道什么？——一共做多少朵，送了多少朵。（分析）

一共做多少朵知道吗？那么要先算什么？

要求一共做多少朵，须知道什么？——做了几朵红花，几朵黄花。（分析）

题里告诉了什么？怎么求一共做多少朵？（综合）

知道一共做20朵，现在可以求什么？怎么求？（综合）

（5）教学几何初步知识也同样运用着分析与综合。例如，教学长方体特征时，引导学生观察、分析它们的面、校和顶点，然后加以综合，总结出长方体有6个面、12条棱和8个顶点，以及其他特征。

小学生的分析与综合，在不同年龄段具有不同的水平。低年级学生能进行简单的分析与综合，但是一般都要结合动作和直观来进行，而且主要是进行部分的分析，即能分析某个事物的个别部分或个别特征。中年级学生在教学的影响下有所发展，但多数还是部分分析，而进行综合的分析能力还很差。解答两步应用题时，有近50％的学生能正确分析出第一步先求什么，多数能列综合算式解答。高年级学生的分析、综合能力有较大的发展。他们能进行稍复杂的分析与综合。解答整、小数两步应用题时，近80％的学生能正确分析出第一步先求什么。但解分数的两步应用题时，还有较多学生对分析感到困难。在用不同方法解答应用题时，需要把原有条件重新组合分析，然后列综合算式，从而使学生的综合分析能力也得到了发展。

教学生进行分析、综合时要注意以下几点：

（1）研究的事物都有许多部分、要素和特性，其中有些是重要的、本质的，教学时要引导学生分析重要的和本质的东西。例如，12×3，口算时可以把12分解成任意两个数的和，但是要着重引导学生把12分解成10和2，先算整十数乘以3，再算2乘以3，最后把两个积合并起来。

（2）要随着学生的年龄逐步提高分析、综合的要求。例如，低年级教学10以内数的组成要结合动作、直观来进行分析；解答应用题也借助动作、直观来分析数量关系。到了高年级，有的就可脱离直观，但较抽象的内容还要适当利用直观。如教学约数、公约数、倍数、公倍数等可以让学生摆一摆计数板，以加深对分解公有的质因数的理解。

（3）分析的深刻、详细的程度注意适当划分层次。例如，低年级教学长方形、只分析出它有4条边、对边相等，有4个角，都是直角。较高年级教学平行以后再分析出它的对边平行。

（4）为了培养学生分析、综合的能力，注意适当让学生口头表述分析、综合的过程，可以让同桌的学生经常互相说给对方听。

2.培养初步的比较能力。

比较就是确定所研究的事物之间的相同点和不同点。有比较才能鉴别，通过比较可以加深对事物的理解。比较与分析、综合有着密切的联系。通过分析，把事物的个别部分、个别特性区分出来，才有可能加以比较，确定它们的异同。

比较在小学

在小学数学中培养学生的思维能力问题 在小学数学中培养学生的思维能力问题

培养学生的思维能力是现代学校教学的一项基本任务。第二次世界大战以后，科学技术迅猛发展，知识激增，知识的更新加快，随之对教育提出了新的要求，就是要提高年轻一代的素质。不仅要教给学生现代科学技术知识，而且要把学生培养成勇于思考、勇于探索、勇于创新的人，从而强调教学要注重发展学生的智力。从心理学角度来看，智力的核心是思维能力。思维能力增强了，智力水平也就提高了。因此各国的小学数学都把培养学生思维能力作为教学的一项基本任务。

培养学生思维能力是一个很复杂的问题，它涉及到逻辑学、心理学、教育学等多学科的知识。同时，逻辑学和心理学都研究思维，但它们的侧重面有所不同。逻辑学主要从思维的结果（或产物）如概念、判断、推理等方面来研究，而且着重研究正确思维的规律及形式，以及这些认识结果之间的关系。心理学则主要从思维过程本身来研究，着重研究思维过程中的规律，以及导致形成某些认识结果的内在的隐蔽的原因。由于思维过程与思维结果是密切联系着的，所以心理学与逻辑学对思维的研究也要紧密联系，并且相互补充。我们在研究小学数学教学中发展思维能力也同样要注意思维过程和思维结果紧密联系这一特点，忽视哪一方面都不可能收到良好的教学效果。

一 人类思维发展的阶段

思维活动是多种多样的。根据人的不同发展阶段的思维特点来划分，可以分为以下几个阶段。

（一）直观行动思维：这是婴儿期（1岁以后）的思维特点。这个阶段的思维是在对物体的感知、动作中进行的。婴儿离开动作就不能进行思考，也不能计划自己的动作或预见动作的结果。这阶段婴儿只能概括事物的一些外部特征。以后长到成人，直观行动思维继续发展成操作思维。例如运动员的技能就需要操作思维。

（二）具体形象思维：幼儿期的思维特点，一般从3岁延续到小学低年级。儿童思维时可以摆脱对动作的直接依赖，而凭借事物的具体形象或具体形象的联想（即在头脑中形成表象）。这阶段儿童能进行一些初步概括，但概括出的特征很多是外部的、形式的。

（三）抽象逻辑思维：它是以抽象概念为基础的思维。又可以分为两个阶段。

1.形式逻辑思维：简称逻辑思维。它是以同一律为核心规律，进行确定的、无矛盾的、前后一贯的思维。它要求在同一思维过程中的每一个概念必须是确定的。例如，A就是A，不能既是A又是非A。在小学数学中每一个概念也都必须是确定的。例如教学约数、倍数时，把0排除，否则公倍数、最小公倍数也要包括0了。

形式逻辑思维的特点主要是从思维形式（概念、判断、推理）上进行思维。它是抽象逻辑思维发展的初级阶段，因此也称为普通思维，形式逻辑也称普通逻辑。一般地说，10—11岁是过渡到逻辑思维的关键年龄。这时学生的概括能力有了较显著的变化。

2.辩证逻辑思维：简称辩证思维。它是以对立统一为核心规律而进行的思维。它着重从事物内部的矛盾性，概念的矛盾运动来进行思考。它把思维形式和思维内容联系起来，对事物的发展变化、相互联系、相互转化的过程进行思考。它是抽象逻辑思维发展的高级阶段，必须在形式逻辑思维的基础上才能形成。据心理学家研究，9—11岁学生的辩证思维才开始萌芽。

从个体发展来说，上述几种思维活动虽然是分阶段逐步发展的，但每发展到后一阶段时，前一阶段的思维特点并不因此而停止发展或消失，在一定条件下，还向更高的水平发展。例如，文学家、艺术家、建筑学家等的具体形象思维获得了高度的发展。

二 在小学数学教学中对发展思维能力的基本要求

新中国成立以来，历届小学数学教学大纲中有关发展学生思维能力的规定基本相同，即培养学生初步的逻辑思维能力。这里所讲的逻辑思维主要是指形式逻辑思维。从国家教委1992年颁发的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》中看得更清楚。其中明确提出，“结合有关内容的教学，培养学生进行初步的分析、综合、比较、抽象、概括，对简单的问题进行判断、推理，逐步学会有条理、有根据地思考问题；同时注意思维的敏捷和灵活。”这表明，在小学阶段主要是培养学生初步的形式逻辑思维能力，同时也注意培养学生的一些良好的思维品质。

为什么在小学以培养初步的形式逻辑思维能力为主呢？个人体会有以下两点。

（一）从数学的特点看：数学具有抽象性和逻辑严密性。数学本身是由许多判断组成的确定体系。这些判断都是由数学术语和逻辑术语以及相应的符号所表示的语句来表达的，并且借助逻辑推理由一些判断形成新的判断。而这些判断的总和就构成了数学这门科学。小学数学内容虽然比较简单，也没有严格的推理论证，但都是经过人们抽象、概括、判断、推理、论证得出的真正的科学结论，只是不给学生进行严密的合乎逻辑的论证。即使这样，一时一刻也离不开判断、推理。这就为培养学生的逻辑思维提供了十分有利的条件。

（二）从小学生的思维特点看：小学生正处在从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。特别是中、高年级，学生的抽象思维发生了“飞跃”或“质变”。具体地说，10—11岁学生开始能逐步分出概念的本质特征，能初步掌握比较科学的定义，能领会概念之间的逻辑关系，也能独立进行一些简单的逻辑分析，并进行间接的推理（即由几个判断推出新的判断）。因此可以说，这一阶段正是发展学生形式逻辑思维的有利时期。

由此可以看出，小学数学教学大纲中提出培养学生初步的逻辑思维能力，既符合数学学科的特点，又符合小学生的年龄特点。

有人一度提出，小学数学的教学目的之一是发展学生的创造思维。这一点值得商榷。第一，根据心理学研究，创造思维是人们思维活动的高级过程。它有普通思维的特点，例如在解问题时，也有提出问题、明确问题、提出假设、检验假设等阶段。但是不同之处在于有想象的参与。另外，创造思维往往是逻辑思维的简缩。从多数学生来说，如果没有良好的逻辑思维的训练，很难发展创造思维。也就是说，发展创造思维首先要有逻辑思维做基础。其次，人们的一般思维活动中也具有一定的创造性思维的因素。可以说，发展逻辑思维，在一定程度上也包含着发展思维的创造性品质。但是如果把创造思维作为基本要求提出来，对小学生说就要求太高了。此外，由于创造思维这一过程本身比较复杂，心理学的分析研究还很不充分，还难以具体说明它的内涵，要在小学里提出明确具体的教学要求就更困难了。

也有人强调小学数学应着重发展辩证思维。这也值得商榷。如前所述，辩证思维是抽象逻辑思维发展的高级阶段，需要有一定的形式逻辑思维做基础。而且从小学数学内容来说，虽然有些内容能够反映辩证思维的某些规律，但有很多内容受到一定的局限。例如，对加与减，可以说是相反的运算，两种运算相互依存，但是在一定条件下可以互相转化就不好讲，因为还没有学过负数。另外从小学生的年龄特点来说，9—11岁才开始萌发辩证思维，显然比形式逻辑思维发展得晚。因此在小学把发展辩证思维作为教学的基本要求，还为时过早。在小学只能结合某些内容适当渗透一些唯物辩证观点的因素，给学生积累一些感性材料，而不是讲辩证法。例如，讲整数加法与减法时，可以通过实例说明它们是相反的运算，是相互依存的；讲分数乘除法时，可以通过实例说明两种运算在分数中可以相互转化。

三 小学数学中培养初步的逻辑思维能力的内容和教法

下面基本按照《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》中所提的内容分别加以阐述，同时分别提出一些教学建议供参考。

（一）培养学生初步运用分析、综合、比较、抽象、概括等能力

这些内容，从逻辑学上说都是逻辑的方法；从心理学上说都是人们进行思维活动必不可少的过程。

1.培养初步的分析、综合能力。

分析是在思维中把事物的整体分解成个别部分、要素或特性；综合是把个别部分或特性结合成一个整体。分析与综合是密切联系着的，人们一方面不断进行分析，另一方面对分析的结果不断加以综合。

分析与综合在小学数学中有广泛的应用。通过分析可以理解某一数学知识的要素，新旧知识间的联系；通过综合又对数学知识有了全面的和整体的理解。

从一年级开始就用到分析与综合，而且贯穿在各年级各部分数学知识的教学之中。下面举几个例子。

（1）教学10以内的数时，要了解每个数的分解和组成。如

（2）任何一个计算，几乎都可以分解成几个已学的基本计算。如20

（3）在进行概括的时候，一般都先经过分析，然后再综合。例如，讲除法的意义，先通过具体例子分析除法中各组成部分与乘法中各组成部分的联系，在此基础上概括出除法的意义。

（4）解答简单应用题时，根据问题找出所需的已知条件就是分析的过程，根据已知条件提出所能解的问题就是综合的过程。解答复合应用题时，分析、综合就较为复杂。先把复合应用题分解为几个有联系的简单应用题，进一步分析解每个简单应用题所需的已知条件，然后把已知条件成对的结合，连续地解答几个简单应用题，最后得到问题的答案。例如：

两步应用题：“同学们做了12朵红花，8朵黄花。送给幼儿园15朵，还剩几朵？”

想：要求还剩几朵，须知道什么？——一共做多少朵，送了多少朵。（分析）

一共做多少朵知道吗？那么要先算什么？

要求一共做多少朵，须知道什么？——做了几朵红花，几朵黄花。（分析）

题里告诉了什么？怎么求一共做多少朵？（综合）

知道一共做20朵，现在可以求什么？怎么求？（综合）

（5）教学几何初步知识也同样运用着分析与综合。例如，教学长方体特征时，引导学生观察、分析它们的面、校和顶点，然后加以综合，总结出长方体有6个面、12条棱和8个顶点，以及其他特征。

小学生的分析与综合，在不同年龄段具有不同的水平。低年级学生能进行简单的分析与综合，但是一般都要结合动作和直观来进行，而且主要是进行部分的分析，即能分析某个事物的个别部分或个别特征。中年级学生在教学的影响下有所发展，但多数还是部分分析，而进行综合的分析能力还很差。解答两步应用题时，有近50％的学生能正确分析出第一步先求什么，多数能列综合算式解答。高年级学生的分析、综合能力有较大的发展。他们能进行稍复杂的分析与综合。解答整、小数两步应用题时，近80％的学生能正确分析出第一步先求什么。但解分数的两步应用题时，还有较多学生对分析感到困难。在用不同方法解答应用题时，需要把原有条件重新组合分析，然后列综合算式，从而使学生的综合分析能力也得到了发展。

教学生进行分析、综合时要注意以下几点：

（1）研究的事物都有许多部分、要素和特性，其中有些是重要的、本质的，教学时要引导学生分析重要的和本质的东西。例如，12×3，口算时可以把12分解成任意两个数的和，但是要着重引导学生把12分解成10和2，先算整十数乘以3，再算2乘以3，最后把两个积合并起来。

（2）要随着学生的年龄逐步提高分析、综合的要求。例如，低年级教学10以内数的组成要结合动作、直观来进行分析；解答应用题也借助动作、直观来分析数量关系。到了高年级，有的就可脱离直观，但较抽象的内容还要适当利用直观。如教学约数、公约数、倍数、公倍数等可以让学生摆一摆计数板，以加深对分解公有的质因数的理解。

（3）分析的深刻、详细的程度注意适当划分层次。例如，低年级教学长方形、只分析出它有4条边、对边相等，有4个角，都是直角。较高年级教学平行以后再分析出它的对边平行。

（4）为了培养学生分析、综合的能力，注意适当让学生口头表述分析、综合的过程，可以让同桌的学生经常互相说给对方听。

2.培养初步的比较能力。

比较就是确定所研究的事物之间的相同点和不同点。有比较才能鉴别，通过比较可以加深对事物的理解。比较与分析、综合有着密切的联系。通过分析，把事物的个别部分、个别特性区分出来，才有可能加以比较，确定它们的异同。