一 研究目的

20以内数的认识和加、减法是小学数学中最基础的内容之一；它又是学习数学的起点，因此还带有启蒙教育的性质。儿童刚入学，通过这一部分内容的学习，获得20以内数的比较明确的概念，初步理解加、减法的意义，能够熟练地计算20以内的加、减法，同时发展他们的智力，培养良好的学习习惯和对数学的兴趣，就可以为进一步学习打下较好的基础。因此，编好这部分教材，对于提高小学数学教学质量，为培养人才打好基础，具有十分重要的意义。

如何编好这部分教材，一直是教学研究工作者和教师不断探索的一个问题。古今中外，有各种各样的处理方法。现行通用教材第一册是在总结过去改革经验的基础上编写成的。采取了认数和计算结合，加法和减法穿插编排的形式，注意加、减法之间的联系，比以前的教材容易掌握。但是也存在一些缺点。主要是：1.10以内数的认识，分散出现，拖的时间长，落后于多数儿童认数能力的发展；在建立数的概念时对数的序数含义重视不够。2.进位加法按照得数是11、12、13、……的顺序编排，由于每次教学的式题得数单一，不能很好地调动儿童的学习积极性，容易造成不用思考，死记式题的得数；所学的凑十的计算方法得不到有效地运用和迁移。3.退位减法是根据加减法的关系用加法来计算的，有些儿童初学时有些困难，在编排上不便于教师用不同的方法进行教学。近几年来有些教学研究工作者和教师对这一部分教材的编排和教法进行了不同的实验。例如，20以内的进位加法和退位减法，按照9加几和相应的减法，8加几和相应的减法，……的顺序来编排；或者把加减法分开，先教加法凑十的计算方法，随后进行大量的练习，再教减法破十的计算方法，随后进行大量的练习。这些实验克服了上述的一部分缺点，但是也还有一些值得研究的问题。现在的问题是：20以内加、减法教材具有什么样的结构比较好，使初入学的儿童既能够顺利地掌握这部分基础知识和计算技巧，又能使他们的智力获得初步的发展？这就是本实验研究的主要目的。

二 改革要点和实验过程

（一）本实验对教材主要做的几点改进：

1.在准备课中出现1到10的数字，以及等号、大于号和小于号。

2.认识1到10各数时，加强数的组成练习，增加数的大小比较，加强数的序数含义。

3.10以内加、减法采取如下的编排方式：认识3以后，出现加法的初步认识和减法的初步认识；从认识4开始，每次都把加法和减法结合起来（如把得数是4的加法和4减几放在一节课内）进行教学，再通过练习逐步达到计算熟练。

4.20以内的进位加法和退位减法采取加减穿插的编排方式：先出9加几，随后出十几减9；再出8加几，随后出十几减8；……以后逐步对有联系的算式加以综合整理。

5.在教学认数和计算时，加强儿童的实际操作和其他活动。

（二）实验过程

1.本实验进行了两次。1984年秋先在两所较好的学校的三个班中进行实验，由教学水平较高的教师任教。1985年秋又在较好的学校的一个班中进行实验，由具有一般教学水平的教师任教。学生基本上是就近入学的。由于某些原因，实验时没有对照班，但通过其他方式进行了一些对比。

2.第一次实验时，只就改革方案中某些新课编了实验教材，其他一些课仍用现行教材，做了一些调整。第二次实验时，在总结前次经验的基础上编了全部实验教材。10以内数的认识和加减法按照上述方案实验了两次，20以内进位加法和退位减法只在第二次按照上述方案进行实验。

3.实验前进行了摸底测验。以1984年秋的一个班为例，基本情况如下：

* 这里不管用什么方法，用数手指的方法算出正确结果的也算在内。

4.一般每小节教学之前与实验教师备一次课。第一次实验时，由于只编一部分实验教材，未能完全按照预先计划的课时进行教学；第二次实验时，完全按照预先计划的课时进行教学。

5.对实验情况的收集和研究，主要采取以下几种方法：做听课记录，阶段测试，个别查问，对比测试，专项调查，对记录、测试结果进行分析、讨论。

三 实验结果与分析

着重分析以下几个问题。

（一）关于提早出现等号、大于号、小于号

在现行通用教材中，等号是在开始教加法时出现的，大于号、小于号是在第二册教学求两个数相差多少的应用题时出现的。实验教材改在准备课中教比较两组物体多少时出现，以后结合数的认识和计算，做一些数的大小比较的练习，如7＞6，5+3＜9等。（圈里的符号要求儿童填）

从实验情况看，开始教学大于号、小于号，多数儿童能掌握，有少部分儿童不知开口朝向较大的数。学完10以内加减法，绝大多数掌握得比较好。测试结果如下：

提早出现大于号和小于号，是近20年来小学数学教学发展趋势之一。如苏联、民主德国在一年级认l、2时都出这两个符号，英、法两国也出得比较早。从实验情况看，提早出现这两个符号是完全可能的。因为儿童已经有了比较物体的数量多少的经验，这里只是把这种比较符号化；而这两个符号形象易懂，儿童只要记住开口朝向较大的数就不难掌握。在实验中还看到出现这两个符号有以下好处：1.在以后认数时便于用来表示比较数的大小，从而有利于弄清数的概念。2.有助于理解“相等”的概念。正如赞科夫所说，只有跟“不等”进行比较，才能掌握“相等”这个概念。3.经常利用对应关系比较实物多少和数的大小，可为以后教学求两数相差多少等应用题做较好的准备。4.出现大于号和小于号以后，可以使练习形式增加变化，有助于培养儿童思维的灵活性。例如，学完10以内加减法，出了一道思考题，3+□＜5，1985年实验班填对的达91.6％。教学时有一点值得注意，最初几节课只要让学生初步认识大于号、小于号，不要求全班一下都掌握，而要在以后的反复练习中逐步掌握。

（二）关于10以内加、减法的编排

这部分教材进行实验时，由于加强操作，把加、减法结合着教学，儿童的学习积极性高，掌握知识的质量好。实验的结果如下：

1985年实验班后来参加本校一年级各班统一测验，结果正确率和速度都是最好的。

根据实验情况初步分析，实验教材的编排有以下几点好处：

1.使儿童更清楚地理解加减基本式题之间的关系，便于利用联想算出加、减法式题的得数。现行通用教材中加、减法虽然穿插编排，但是相互联系较少，只是通过少数练习题反映它们之间的联系。实验教材从得数是4的加法和相应的减法开始，每次都把加减法对照排列，在儿童操作的基础上由用一幅图表示两个算式（如在4个白木块和2个黑木块下面出现4+2=6和2+4=6，在4个绿苹果和2个红苹果下面出现6-2=4和6-4=2），逐步过渡到用一幅图表示四个算式（如在8个白木块和1个黑木块下面出现8+1=9，1+8=9，9-1=8，9-8=1），儿童对10以内加、减法逐渐形成明确的认知结构，计算时联系数的组成和加减法的关系，能较快地算出结果。在给一幅图要求儿童看图写出两个加法算式和两个减法算式时，1984年三个实验班除了一人不清楚外，其他都明确加减法的关系，1985年实验班则全都写出正确答案。

2.加、减法结合在一起教，减少了单教加法时得数单一的练习，调动了儿童学习的积极性。同时，由于儿童在头脑中逐步形成加、减法的内在联系，以后学到得数是8、9、10的加法与相应的减法，他们自己就能把这种规律性的联系运用于新的问题之中，这样就初步培养了儿童的类化、迁移的能力。

3.由于新知识的教学相对集中，加强了联系，儿童又初步有一些类化、迁移的能力，相对地缩短了讲授时间，加强了课内练习，从而也减轻了学习负担。实验这部分教材时，虽然增加了大于号、小于号，加减混合式题以及用图画表示的应用题，而教学的课时数比现行通用教材的计划课时数还稍有减少。

（三）关于20以内进位加法和退位减法的编排

1984年实验时，进位加法按照9加几、8加几、……的顺序编排，同时出现交换加数位置的式题；退位减法结合着进位加法，每次出现相应的减法的所有情况。第二次则按照前述改革要点（4）进行实验。两次实验结果如下：

可以看出，根据1985年教实验班的教师的实际情况，教学成绩却接近1984年实验班的成绩，在计算速度方面还超过了1984年的成绩。这个班参加本校统一的期末考试，成绩也都优于其他两个普通班。

下面根据第二次实验情况，也联系第一次实验情况，着重分析第二次实验教材的特点。

1.新课的内容单一，思路单一，规律突出，儿童比较容易掌握。如9加几，都先把第二个加数分成1和几，用1和9凑成10；8加几，都先把第二个加数分成2和几，用2和8凑成10；算十几减9，在熟练9加几的基础上，都想9加几等于被减数；算十几减8，在熟练8加几的基础上，都想8加几等于被减数；……大多数儿童都能较快地学会推想方法，并达到熟练。少数儿童开始学减法有些困难，主要是在计算十几减9、减8时不会用加法逆向联想算出减法的得数；也有少数儿童虽然能用加法推想，但由于加法不熟练而想错了得数；还有个别儿童在想未知的加数时与凑十的加法混淆，如算15-9想成9+（4）=15，算16-9想成9+（5）=16，误认为想出的数比和的个位数少1。（第一次实验也有类似情况）经过及时的辅导，一方面借助逆向联想的卡片[如15-9=（ ），9+（ ）=15]教会儿童推想的方法，另一方面加强相应的进位加法的练习，儿童逐步都掌握了，以后计算就比较顺利，有的后进生进步还较快。下面列举1985年实验班的几个儿童的进步情况：

从表中看出，儿童接受新知识的快慢程度是有明显差别的。有些儿童理解和掌握新知识要经历一个较长的过程。这些儿童暂时处于落后状态，但并不都是差生。只要教师明确这一点，及时地、耐心地和有针对性地给以帮助，这个暂时困难可以逐步克服，最后还能取得较好成绩。

2.新的编排方式有助于发展儿童智力。在实验中看到，多数儿童在学8加几时能把已经掌握的凑十方法迁移到新的情况中去。教学时实验教师有意识地提问：计算9加几和计算8加几时都用凑十法，有什么不同的地方？很多儿童能正确地回答。这会促进儿童分析、比较能力的发展。教学退位减法时，运用加法推算减法的得数（如15-9，儿童要想9加几得15，因为9加6得15，所以15减9等于6）这种训练本身就是培养儿童初步推理能力的过程，而且用加算减带有逆向思维的性质，而培养逆向思维是培养思维能力的一个重要方面。前面所举的少数儿童感到困难的也正是这一点。但是儿童通过实际操作、观察演示以及借助逆向联想的卡片练习，逐渐掌握了推想的方法，后面的学习就比较顺利。这时儿童不但计算能力明显提高，类化、迁移的能力也获得发展。

3.新的编排便于逐步简缩思维过程，提高计算速度，最后形成熟练的计算技巧。开始教学9加几、8加几……的凑十方法，只是教给儿童推想的一般步骤，儿童大都按照思考步骤来计算。经过一些练习，教师引导儿童简缩思维的中间环节。如9+3，只要想3拨过1（省略“和9凑成10，3还剩2，合起来”）得12；8+5，只要想5拨过2，得13。儿童掌握这个规律以后，计算速度有较明显的提高。再经过一定的练习，达到看见式题不假思索地很快说出得数。至于退位减法，开始按照9加几得12，8加几得13等来推想12-9、13-8等的计算结果。以后在掌握基本推想方法的基础上，对于减数较大的情况，也适当启发儿童找规律，有助于简缩思维过程。如减9所得的差比被减数的个位数都多1，等等。实验表明，这种简缩思维过程、探索规律的工作不能进行得太早，在儿童还没掌握基本推想方法时教这种简便的方法，容易造成混乱，欲速则不达。另外，注意加减法之间的联系仍然很重要。开始为了便于儿童掌握，只限一个加法算式和一个减法算式建立联系，如9+2和11-9，8+3和11-8，……随着学习的进展，逐步建立两个加法算式和两个减法算式的联系，最后还加以综合整理。这不仅使儿童进一步明确加减法的关系，而且便于儿童运用多方面联想，促进思维过程的简缩，较好地掌握20以内的进位加法和退位减法。

4.新的编排方式便于教师采用不同的推想方法。近年来有些教师由于看到部分儿童用加法逆向联想来计算20以内退位减法比较困难，改教“破十法”，或进行了实验。但是这样教学时需要改变现行通用教材的编排顺序。这次实验教材改变了编排方式，为教师采用不同的推想方法提供了方便。（有关“破十法”问题将在后面加以讨论。）

四 结论与讨论

（一）当前，数学教材改革的一项重要任务，就是如何使儿童容易理解和掌握数学基础知识，减轻学习负担，同时又促进儿童智力的发展。要完成这项任务，研究和处理好数学教材的结构具有十分重要的意义。正如美国心理学家布鲁纳所说的，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解学科的基本结构。”苏联教育家斯卡特金在《现代教学论问题》一书中也强调要确定学科的结构，以适应普通教育的目的。本实验表明，在小学数学中，即使是一年级最简单的内容也存在着研究教材结构的问题。良好的教材结构便于教师教和学生学，可以促进教学质量的提高。

（二）20以内加、减法教材的结构可以是多种多样的。但是良好的教材结构，一方面必须反映数学的基本概念和基本原理，另一方面要符合儿童的认知特点。美国G.F.格林认为，“应当成组地讲解基本式，而不要单个地讲，”它的好处是可以“减少要学习的各自独立的内容的数目，便于从结构上做出概括结论并教儿童如何应用它们。”多年实践和本实验证明这种看法是正确的。但是如何分批分组，要对具体内容进行具体分析。苏联心理学家赞科夫在论教科书的系统结构时，强调要注意教育功能的多方面性，不仅使儿童掌握数学知识和技巧，而且要促进他们的一般发展。本实验结果表明，10以内加、减法把两种运算结合起来教学，20以内进位加法和退位减法穿插编排，以后逐步加以综合整理，能使儿童较好地掌握基础知识和计算技巧，又促进他们智力的发展。

（三）本实验表明，初入学儿童学习20以内加、减法时，无论在已有的经验，领会的速度，把已学的知识迁移到新问题中的能力，识记的能力等方面，都存在很大差异。因此编写教材，确定要求和进行教学都要注意适应这一点，改变那种“一刀切”的教育思想和教学方法。在教学某一新知识时不能要求所有儿童当堂都掌握，要容许一些后进儿童经过必要的辅导和较长时间的学习实践逐步掌握。只要教学得法，暂时后进的儿童，能够逐步达到基本的教学要求，甚至能够取得较好的成绩。

（四）本实验虽然初步取得较好结果，但是教材的结构和其他方面的安排是否普遍适合各地情况，还有待进一步实验研究。其中20以内退位减法，实验表明，用加法逆向联想来算，仍是比较好的一种方法。它对于使进位加法进一步熟练，深刻理解加减法的关系，发展儿童智力，都有一定的促进作用。少数儿童开始学习会有一些困难，但只要多利用操作、直观，及时给以帮助，是能够逐步掌握的。实验教材的编排也为教师采用其他方法（如“破十法”）提供了方便。关于“破十法”，由于某些原因没有进行对比实验，仅在采用这种方法的学校进行了一些调查。初步看到，采用“破十法”，儿童比较容易理解和掌握，经过练习也能达到熟练的程度；有些儿童能够简缩思维步骤（如13-8，很快想8的补数2，加3得5）。但是也有很多是分步算的。特别是在计算两位数减法时（如61-7，72-36），有些儿童要用铅笔或手指先点着被减数的十位和减数的个位，再点着减数的个位和被减数的个位，少数儿童甚至往返几次，才算出得数，因而速度很慢。另外，采用“破十法”，削弱了加减法之间的联系，不利于培养儿童通过多种联想运用旧知识解决新问题。这个问题还有待进一步研究，并进行一些追踪调查。