高中最重要的阶段，大家一定要把握好高中，多做题，多练习，为高考奋战，编辑老师为大家整理了高三数学不等式、推理与证明，希望对大家有帮助。

高三数学章末综合测试题(11)不等式、推理与证明

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的)

1.已知a，b，cR，那么下列命题中正确的是()

A.若ab，则ac2bc2 B.若acbc，则ab

C.若a3b3且ab0，则1a D.若a2b2且ab0，则1a1b

解析 C 当c=0时，可知选项A不正确;当c0时，可知B不正确;由a3b3且ab0知a0且b0，所以1a1b成立;当a0且b0时，可知D不正确.

2.若集合A={x||x-2|3，xR}，B={y|y=1-x2，xR}，则AB=()

A.[0,1] B.[0，+)

C.[-1,1] D.

解析 C 由|x-2|3，得-15，即A={x|-1B={y|y1}.故AB=[-1,1].

3.用数学归纳法证明1+2+22++2n+2=2n+3-1，在验证n=1时，左边计算所得的式子为()

A.1 B.1+2

C.1+2+22 D.1+2+22+23

解析 D 当n=1时，左边=1+2+22+23.

4.已知x，y，zR+，且xyz(x+y+z)=1，则(x+y)(y+z)的最小值是()

A.1 B.2

C.3 D.4

解析 B ∵(x+y)(y+z)=xy+y2+xz+yz=y(x+y+z)+xz=y1xyz+xz=1xz+xz21xzxz=2，当且仅当xz=1，y(x+y+z)=1时，取=，

(x+y)(y+z)min=2.

5.要证a2+b2-1-a2b20，只要证明()

A.2ab-1-a2b2 B.a2+b2-1-a4+b420

C.a+b22-1-a2b2 D.(a2-1)(b2-1)0

解析 D 因为a2+b2-1-a2b2(a2-1)(b2-1)0，故选D.

6.对于平面和共面的直线m、n，下列命题为真命题的是()

A.若m，mn，则n∥ B.若m∥，n∥，则m∥n

C.若m，n∥，则m∥n D.若m、n与所成的角相等，则m∥n

解析 C 对于平面和共面的直线m，n，真命题是若m，n∥，则m∥n.

7.若不等式2x2+2kx+k4x2+6x+31对于一切实数都成立，则k的取值范围是()

A. (-，+) B. (1,3)

C. (-，3) D. (-，1)(3，+)

解析 B ∵4x2+6x+3=4x2+32x+3=4x+342+3434，

不等式等价于2x2+2kx+k4x2+6x+3，

即2x2+(6-2k)x+3-k0对任意的x 恒成立，

=(6-2k)2-8(3-k)0，1

8.设函数f(x)=x2+x+a(a0)满足f(m)0，则f(m+1)的符号是()

A.f(m+1) B.f(m+1)0

C.f(m+1) D.f(m+1)0

解析 C ∵f(x)的对称轴为x=-12，f(0)=a0，

由f(m)0，得-1

9.已知a0，b0，则1a+1b+2ab的最小值是()

A.2 B.22

C.4 D.5

解析 C ∵a0，b0， 1a+1b+2ab21ab+2ab4，

当且仅当a=b=1时取等号，1a+1b+2abmin=4.

10.使不等式log2x(5x-1)0成立的一个必要不充分条件是()

A.x B.15

C.15

解析 D log2x(5x-1)

5x-10，2x1，5x-11或5x-10，01，5x-1x15，x12，x25或x15，0

x12或15

11.假设f(x)=x2-4x+3，若实数x、y满足条件f(y)0，则点(x，y)所构成的区域的面积等于()

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

解析 B 由f(y)0可得fyfx，fx0，即13，x-yx+y-40，

画出其表示的平面区域如图所示，可得面积S=21221=2，故选B.

12.设x，y 满足约束条件3x-y-60，x-y+20，x0，y0，若目标函数z=ax+by(a0，b0)的最大值为12，则2a+3b的最小值为()

A.256 B.83

C.113 D.4

解析 A 作出可行域(四边形OBAC围成的区域，包括边界)如图，作出直线l：ax +by=0，当直线l经过点A时，z=ax+by取得最大值.

解x-y+2=0，3x-y-6=0，得点A(4,6)，4a+6b=12，即a3+b2=1，

2a+3b=2a+3ba3+b2=23+32+ab+ba23+32+2=256，当且仅当a =b时取等号.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)

13.已知等差数列{an}中，有a11+a12++a2010=a1+a2++a3030，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论：___ _____.

解析 由等比数列的性质可知，b1b30=b2b29==b11b20，10b11b12b20=30b1b2b30 .

【答案】 10b11b12b20=30b1b2b30

14.已知实数x，y满足约束条件x-y+40，x+y0，x3，则z=4x2-y的最小值为________.

解析 作出不等式组所表示的可行域(图略)，z=4x2-y=22x2y=22x+y，令=2x+y，可求得=2x+y的最小值是-2，所以z=4x2-y的最小值为2-2=14.

【答案】 14

15.某公司租地建仓库，每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库，这项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那 么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________ km处.

解析 设仓库建在离车站d km处，

由已知y1=2=k110，得k1=20，y1=20d. 由y2=8=10k2，得k2=45，y2=45d.

y1+y2=20d+4d5220d4d5=8，当且仅当20d=4d5，即d=5时，费用之和最小.

【答案】 5

16.在不等边三角形中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，三边a，b，c应满足________.

解析 由余弦定理cos A=b2+c2-a22bc0，所以b2+c2-a20，即a2b2+c2.

【答案】 a2b2+c2

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知表中的对数值有且只有两个是错误的.

x 1.5 3 5 6

lg x 3a-b+c 2a-b a+c 1+a-b-c

x 7 8 9 14 27

lg x 2(a+c) 3(1-a-c) 2(2a-b) 1-a+2b 3(2a-b)

(1)假设上表中lg 3=2a-b与lg 5=a+c都是正确的，试判断lg 6=1+a-b-c是否正确?给出判断过程;

(2)试将两个错误的对象值均指出来并加以改正(不要求证明).

解析 (1)由lg 5=a+c得lg 2=1-a-c，

lg 6=lg 2+lg 3=1-a-c+2a-b=1+a-b-c，

满足表中数值，即lg 6在假设下是正确的.

(2)lg 1.5与lg 7是错误的，

正确值应为lg 1.5=lg32=lg 3-lg 2=2a-b-1+a+c=3a-b+c-1.

lg 7=lg 14-lg 2=1-a+2b-1+a+c=2b+c.

18.(12分)已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6.

(1)解关于a的不等式f(1)

(2)若不等式f(x)b的解集为(-1,3)，求实数a、b的值.

解析 (1)∵f(x)=-3x2+a(6-a)x+6，

f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+30

即a2-6a-30，解得3-23

不等式解集为{a|3-23

(2)f(x)b的解集为(-1,3)，

即方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3，

2=a6-a3，-3=-6-b3， 解得a=33，b=-3.

19.(12分)(2011南京模拟)已知数列{an}满足a 1=0，a2=1，当nN*时，an+2=an+1+an.求证：数列{an}的第4m+1(mN*)项能被3整除.

解析 (1)当m=1时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=(a2+a 1)+2a2+a1=3a2+2a1=3+0=3.

即当m=1时，第4m+1项能被3整除.命题成立.

(2)假设当m=k时，a4k+1能被3整除，则当m=k+1时，

a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=2a4k+3+a4k+2=2(a4k+2+a4k+1)+a4k+2=3a4k+2+2a4k+1.

显然，3a4k+2能被3整除，又由假设知a4k+1能被3整除，

3a4k+2+2a4k+1能被3整除.

即当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整除.命题也成立.

由(1)和(2)知，对于任意nN*，数列{an}中的第4m+1(mN*)项能被3整除.

20.(12分)设二次函数f(x)=x2+ax+a，方程 f(x)-x=0的两根x1和x2满足0

(1)求实数a的取值范围;

(2)试比较f(0)f(1)-f(0)与116的大小，并说明理由.

解析 (1)令g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a，

由题意可得0，01，g10，g003-22或a3+22，-1

故实数a的取值范围是(0,3-22).

(2)f(0)f(1)-f(0)=g(0)g(1)=2a2，

令h(a)=2a2，∵当a0时，h(a)单调递增，

当0

即f(0)f(1)-f(0)116.

21.(12分)已知{an}是正数组成的数列，a1=1，且点(an，an+1)(nN*)在函数y=x2+1的图象上.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}满足b1=1，bn+1=bn+2an，求证：bnbn+2

解析 (1)由已知得an+1=an+1，则an+1-an=1，又a1=1，所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列.故an=1+(n-1)1=n.

(2)由(1)知，an=n，从而bn+1-bn=2n.

当n2时，

bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)++(b2-b1)+b1

=2n-1+2n-2++2+1=1-2n1-2=2n-1.

又b1=1也适合上式，所以bn=2n-1，

bnbn+2-b2n+1=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2

=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-22n+1+1 )

=-2n0.

所以bnbn+2

22.(12分)某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐?

解析 设该儿童分别预定x，y个单位的午餐和晚餐，共需z元，则z=2.5x+4y.

可行域为12x+8y64，6x+6y42，6x+10y54，x0，y0，即3x+2y16，x+y7，3x+5y27，x0，y0，

作出可行域如图阴影部分所示，所以当x=4，y=3时，花费最少，zmin=22元.

因此，分别预定4个单位午餐和3个单位晚餐，就满足要求了.

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