(考试时间120分钟 满分150分)

本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分

第一部分(选择题 共40分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

(1)复数 在复平面内对应的点位于

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

(2)已知集合 ，集合 ，则

(A) (B) (C) (D)

(3)已知平面向量 ， 满足 ， ，则 与 的夹角为

(A) (B) (C) (D)

(4)如图，设区域 ，向区域 内

随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落

入到阴影区域 的概率为

(A) (B)

(C) (D)

(5)在 中， ， ，则

是 的

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

(6)执行如图所示的程序框图,输出的S值为

(A) (B)

(C) (D)

(7)已知函数 .下列命题：

①函数 的图象关于原点对称; ②函数 是周期函数;

③当 时,函数 取最大值;④函数 的图象与函数 的图象没有公共点，其中正确命题的序号是

(A) ①③ (B)②③ (C) ①④ (D)②④

(8)直线 与圆 交于不同的两点 ， ，且 ，其中 是坐标原点，则实数 的取值范围是

(A) (B)

(C) (D)

第二部分(非选择题 共110分)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.

(9)在各项均为正数的等比数列 中， ， ，则该数列的前4项和

为 .

(10)在极坐标系中， 为曲线 上的点， 为曲线 上的点，则线段

长度的最小值是 .

(11)某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积

为表面积为 .

(12)双曲线 的一个焦点到其渐近线的距离是 ，则 ;

此双曲线的离心率为 .

(13)有标号分别为1,2,3的红色卡片3张，标号分别为1,2,3的

蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内

(如图).若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数

为 .(用数字作答)

(14)如图，在四棱锥 中， 底面 .底面 为梯形， ， ∥ , ， .若点 是线段 上的动点，则满足 的点 的个数是 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

(15)(本小题满分13分)

已知函数 ， .

(Ⅰ)求 的值及函数 的最小正周期;

(Ⅱ)求函数 在 上的单调减区间.

(16)(本小题满分13分)

某单位从一所学校招收某类特殊人才.对 位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：

一般良好优秀

一般

良好

优秀

例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有 人.由于部分数据丢失，只知道从这 位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为 .

(I)求 ， 的值;

(II)从参加测试的 位学生中任意抽取 位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思

维能力优秀的学生的概率;

(III)从参加测试的 位学生中任意抽取 位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学

生人数为 ，求随机变量 的分布列及其数学期望 .

(17)(本小题满分14分)

如图，四棱锥 的底面为正方形，侧面 底面 . 为等腰直角三角形，且 . ， 分别为底边 和侧棱 的中点.

(Ⅰ)求证： ∥平面 ;

(Ⅱ)求证： 平面 ;

(Ⅲ)求二面角 的余弦值.

(18)(本小题满分13分)

已知函数 ， .

(Ⅰ)求函数 的单调区间;

(Ⅱ)若函数 在区间 的最小值为 ，求 的值.

(19)(本小题满分14分)

已知椭圆 经过点 ，离心率为 .

(Ⅰ)求椭圆 的方程;

(Ⅱ)直线 与椭圆 交于 两点，点 是椭圆 的右顶点.直线 与直线 分别与 轴交于点 ，试问以线段 为直径的圆是否过 轴上的定点?若是，求出定点坐标;若不是，说明理由.

(20)(本小题满分13分)

从 中这 个数中取 ( ， )个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为 .

(Ⅰ)当 时，写出所有可能的递增等差数列及 的值;

(Ⅱ)求 ;

(Ⅲ)求证： .

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学答案(理工类) 2014.3

一、选择题

题号12345678

答案BABABDCD

二、填空题

题号91011121314

答案

2

2

三、解答题

15. (本小题满分13分)

解：

.

(Ⅰ) .

显然，函数 的最小正周期为 . 8分

(Ⅱ)令 得

， .

又因为 ，所以 .

函数 在 上的单调减区间为 . 13分

16. (本小题满分13分)

解：(I)设事件 ：从 位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生.

由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有 人.

则 .

解得 .

所以 . 4分

(II)设事件 ：从 人中任意抽取 人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生.

由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有 人.

则 . 7分

(III) 的可能取值为 ， ， .

位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为 人.

所以 ，

，

.

所以 的分布列为

012

所以， . 13分

17. (本小题满分14分)

(Ⅰ)证明：取 的中点 ，连接 ， .

因为 ， 分别是 ， 的中点，

所以 是△ 的中位线.

所以 ∥ ，且 .

又因为 是 的中点，且底面 为正方形，

所以 ，且 ∥ .

所以 ∥ ，且 .

所以四边形 是平行四边形.

所以 ∥ .

又 平面 ， 平面 ，

所以 平面 . 4分

(Ⅱ)证明： 因为平面 平面 ，

，且平面 平面 ，

所以 平面 .

所以 ， .

又因为 为正方形，所以 ，

所以 两两垂直.

以点 为原点，分别以 为 轴，

建立空间直角坐标系(如图).

由题意易知 ，

设 ，则

， ， ， ， , , .

因为 ， ， ，

且 ，

所以 ， .

又因为 ， 相交于 ，所以 平面 . 9分

(Ⅲ)易得 ， .

设平面 的法向量为 ，则

所以 即

令 ，则 .

由(Ⅱ)可知平面 的法向量是 ，

所以 .

由图可知，二面角 的大小为锐角，

所以二面角 的余弦值为 . 14分

18. (本小题满分13分)

解：函数 的定义域是 ， .

(Ⅰ)(1)当 时， ，故函数 在 上单调递减.

(2)当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递减.

(3)当 时，令 ，又因为 ，解得 .

①当 时， ，所以函数 在 单调递减.

②当 时， ，所以函数 在 单调递增.

综上所述，当 时，函数 的单调减区间是 ，

当 时，函数 的单调减区间是 ，单调增区间为 .7分

(Ⅱ)(1)当 时，由(Ⅰ)可知， 在 上单调递减，

所以 的最小值为 ，解得 ，舍去.

(2)当 时，由(Ⅰ)可知，

①当 ，即 时，函数 在 上单调递增，

所以函数 的最小值为 ，解得 .

②当 ，即 时，函数 在 上单调递减，

在 上单调递增，所以函数 的最小值为 ，

解得 ，舍去.

③当 ，即 时，函数 在 上单调递减，

所以函数 的最小值为 ，得 ，舍去.

综上所述， . 13分

19. (本小题满分14分)

解：(Ⅰ)由题意得 ，解得 ， .

所以椭圆 的方程是 . 4分

(Ⅱ)以线段 为直径的圆过 轴上的定点.

由 得 .

设 ，则有 ， .

又因为点 是椭圆 的右顶点，所以点 .

由题意可知直线 的方程为 ，故点 .

直线 的方程为 ，故点 .

若以线段 为直径的圆过 轴上的定点 ，则等价于 恒成立.

又因为 ， ，

所以 恒成立.

又因为

，

所以 .

解得 .

故以线段 为直径的圆过 轴上的定点 . 14分

20. (本小题满分13分)

解：(Ⅰ)符合要求的递增等差数列为1，2，3;2，3，4;3，4，5;1，3，5，共4个.

所以 . 3分

(Ⅱ)设满足条件的一个等差数列首项为 ，公差为 ， .

， ， 的可能取值为 .

对于给定的 ， ， 当 分别取 时，可得递增等差数列 个(如： 时， ，当 分别取 时，可得递增等差数列91个： ; ; ; ，其它同理).

所以当 取 时，可得符合要求的等差数列的个数为：

. 8分

(Ⅲ)设等差数列首项为 ，公差为 ，

记 的整数部分是 ，则 ，即 .

的可能取值为 ，

对于给定的 ， ，当 分别取 时，可得递增等差数列 个.

所以当 取 时，得符合要求的等差数列的个数

易证 .

又因为 ， ，

所以 .

所以

.

即 . 13分