(考试时间120分钟 满分150分)

本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分

第一部分(选择题 共40分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

(1)已知集合 , ,则

(A) (B) (C) (D)

(2)已知 为虚数单位,复数 的值是

(A) (B) (C) (D)

(3)若 满足约束条件 则函数 的最大值是

(A) (B) (C) (D)

(4)在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中,甲、乙两位队员各跳一次.设命题 是甲落地站稳, 是乙落地站稳,则命题至少有一位队员落地没有站稳可表示为

(A) (B) (C) (D)

(5)执行如右图所示的程序框图，则输出 的值是 ( )

(A)10

(B)17

(C)26

(D)28

(6)函数 的图象大致为

(A) (B) (C) (D)

(7)已知 和 是平面内两个单位向量，它们的夹角为 ，则 与 的夹角是

(A) (B) (C) (D)

(8)如图，梯形 中， , , , ,将 沿对角线 折起.设折起后点 的位置为 ，并且平面 平面 .给出下面四个命题：

① ;

②三棱锥 的体积为 ;

③ 平面 ;

④平面 平面 .

其中正确命题的序号是

(A)①② (B)③④ (C)①③ (D)②④

第二部分(非选择题 共110分)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.

(9)抛物线 的准线方程是 .

(10)在一次选秀比赛中，五位评委为一位表演者打分，若去掉一个最低分后平均分为90分，去掉一个最高分后平均分为86分.那么最高分比最低分高 分.

(11)在 中， 分别是角 的对边.已知 , , ，则 .

(12)一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为表面积为 .

(13)已知直线 与曲线 交于不同的两点 ，若 ，则实数 的取值范围是 .

(14)将1，2，3，，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上.现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，则6应该写在第 张卡片上;第三张卡片上的所有数组成的集合是 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

(15)(本小题满分13分)

已知函数 .

(Ⅰ)求 的值及函数 的单调递增区间;

(Ⅱ)求函数 在区间 上的最大值和最小值.

(16)(本小题满分13分)

某单位从一所学校招收某类特殊人才.对 位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：

一般良好优秀

一般

良好

优秀

例如表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生是 人.由于部分数据丢失，只知道从这 位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为 .

(Ⅰ)求 ， 的值;

(Ⅱ)从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取 位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率.

(17)(本题满分14分)

在四棱柱 中， 底面 ，底面 为菱形， 为

与 交点，已知 , .

(Ⅰ)求证： 平面 ;

(Ⅱ)求证： ∥平面 ;

(Ⅲ)设点 在 内(含边界),且 ，说明满足条件的点 的轨迹，并求 的最小值.

(18)(本小题满分13分)

设函数 ， ， ，记 .

(Ⅰ)求曲线 在 处的切线方程;

(Ⅱ)求函数 的单调区间;

(Ⅲ)当 时，若函数 没有零点，求 的取值范围.

(19)(本小题满分14分)

已知椭圆 经过点 ，一个焦点为 .

(Ⅰ)求椭圆 的方程;

(Ⅱ)若直线 与 轴交于点 ，与椭圆 交于 两点，线段 的垂直平分线与 轴交于点 ，求 的取值范围.

(20)(本小题满分13分)

已知 是公差不等于0的等差数列， 是等比数列 ，且 .

(Ⅰ)若 ,比较 与 的大小关系;

(Ⅱ)若 .

(ⅰ)判断 是否为数列 中的某一项，并请说明理由;

(ⅱ)若 是数列 中的某一项，写出正整数 的集合(不必说明理由).

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试答案(文史类)

2014.3

一、选择题

题号12345678

答案CCDDBACB

二、填空题

题号91011121314

答案

16

;

二;

三、解答题

15. 解：(Ⅰ)因为

所以， .

由 , ，

得 ，

所以 的单调递增区间是 ， . 8分

(Ⅱ)因为

所以 .

所以，当 ，即 时， 取得最小值 ;

当 即 时， 取得最大值 . 13分

16. 解：(I)由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有 人.

设事件 ：从 位学生中随机抽取一位，逻辑思维能力优秀的学生，

则 .

解得 .

所以 . 5分

(Ⅱ)由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有 位，分别记为

.其中 和 为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生.

从中任意抽取 位，可表示为 ,

, , ，共 种可能.

设事件 ：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取 位，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生.

事件 包括 , , , ，共 种可能.所以 .

所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为 . 13分

17. 解：(Ⅰ)依题意, 因为四棱柱 中， 底面 ，

所以 底面 .

又 底面 ,

所以 .

因为 为菱形，

所以 .而 ，

所以 平面 . 4分

(Ⅱ)连接 ,交 于点 ，连接 .

依题意， ∥ ,

且 ， ,

所以 为矩形.

所以 ∥ .

又 , , ,

所以 = ，所以 为平行四边形，

则 ∥ .

又 平面 ， 平面 ,

所以 ∥平面 . 9分

(Ⅲ)在 内，满足 的点 的轨迹是线段 ，包括端点.

分析如下：连接 ，则 .

由于 ∥ ,故欲使 ，只需 ,从而需 .

又在 中， ,又 为 中点，所以 .

故 点一定在线段 上.

当 时， 取最小值.

在直角三角形 中， , , ,

所以 . 14分

18.解：(I) ，则函数 在 处的切线的斜率为 .

又 ，

所以函数 在 处的切线方程为 ,即 4分

(Ⅱ) ， ，( ).

①当 时， ， 在区间 上单调递增;

②当 时，令 ，解得 ;令 ，解得 .

综上所述，当 时，函数 的增区间是 ;

当 时，函数 的增区间是 ，减区间是 . 9分

(Ⅲ)依题意，函数 没有零点，即 无解.

由(Ⅱ)知，当 时，函数 在区间 上为增函数,区间 上为减函数，

由于 ，只需 ，

解得 .

所以实数 的取值范围为 . 13分

19. 解：(Ⅰ)由题意得 解得 ， .

所以椭圆 的方程是 . 4分

(Ⅱ)由 得 .

设 ，则有 ， ，

.

所以线段 的中点坐标为 ，

所以线段 的垂直平分线方程为 .

于是，线段 的垂直平分线与 轴的交点 ，又点 ，

所以 .

又 .

于是， .

因为 ，所以 .

所以 的取值范围为 . 14分

20. 解：记 的 ， 公差为 ， 公比为 ，由 ，得

(Ⅰ) ， ， ， ，

当 时，显然 ;

当 时，由平均值不等式 ，当且仅当 时取等号，而 ，所以 即 .

综上所述， . 5分

(Ⅱ)(ⅰ)因为 ，所以 得 所以 或 .因为 ，所以 ， .

令 ，即 ， ， ，所以 是 中的一项.

(ⅱ)假设 ，则 ， ，

当 或 ，( )时， .

正整数 的集合是 . 13分