2016-06-03
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高中是人生的一个转折点,把握时间,认真学习,为将来的路奠定基础,查字典数学网为学子整理了高三年级数学期末试卷一文:
第Ⅰ卷 (选择题 共50分)
一、选择 题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置。
1.已知平面向量 , ,且 ,则实数 的值为
A. B. C. D.
2.设集合 , ,若 ,则实数 的值为
A. B. C. D.
3.已知直线 平面 ,直线 ,则 是 的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 定义: .若复数 满足 ,则 等于
A. B. C. D.
5.函数 在 处的切线方程是
A. B. C. D.
6. 某程序框图如右图所示,现输入如下 四个函数,
则可以输出的函数是
A. B. C. D.
7. 若函数 的图象(部分)如图所示,
则 和 的取值是
A. B.
C. D.
8. 若函数 的零点与 的零点之差的绝对值不超过 ,则 可以是
A. B. C. D.
9.已知 ,若方程 存在三个不等的实根 ,则 的取值范围是
A. B. C. D.
10.已知集合 , 。若存在实数 使得 成立,称点 为£点,则£点在平面区域 内的个数是
A. 0 B.1 C .2 D. 无数个
第二卷(非选择题共100分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分. 把答案填在答题卡上.
11. 已知随机变量 ,若 ,则 等于 ******.
12.某几何体的三视图如下右图所示,则这个几何体的体积是 ****** .
13. 已知抛物线 的准线 与双曲线 相切,
则双曲线 的离心率 ****** .
14.在平面直角坐标系中,不等式组 所表示的平面区域的面积是9,则实数 的值为 ****** .
15. 已知不等式 ,若对任意 且 ,该不等式恒成立,则实
数 的取值范围是 ****** .
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
16.(本小题满分13分)
在等差数列 中, ,其前 项和为 ,等比数列 的各项均为正数, ,公比为 ,且 , .
(Ⅰ)求 与 ;
(Ⅱ)证明: .
17. (本小题满分13分)
已知向量
(Ⅰ)求 的解析式;
(Ⅱ)求由 的图象、 轴的正半轴及 轴的正半轴三者 围成图形的面积。
18. (本小题满分13分)图一,平面四边形 关于直线 对称, , , .把 沿 折起(如图二),使二面角 的余弦值等于 .
对于图二,完成以下各 小题:
(Ⅰ)求 两点间的距离;
(Ⅱ)证明: 平面 ;
(Ⅲ)求直线 与平面 所成角的正弦值.
19. (本小题满分13分) 二十世纪50年代,日本熊本县水俣市的许多居民都患了运动失调、四肢麻木等症状,人们把它称为水俣病.经调查发现一家工厂排出的废水中含有甲基汞,使鱼类受到污染.人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类引起汞中毒. 引起世人对食品安全的关注.《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.00ppm.
罗非鱼是体型较大,生命周期长的食肉鱼,其体内汞含量比其他鱼偏高.现从一批罗非鱼中随机地抽出15条作样本,经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图(以小数点前一位数字为茎,小数点后一位数字为叶)如下:
(Ⅰ)若某检查人员从这15条鱼中,随机地抽出3条,求恰有1条鱼汞含量超标的概率;
(Ⅱ)以此15条鱼的样本数据来估计这批鱼的总体数据.若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼,记表示抽到的鱼汞含量超标的条数,求的分布列及E
20. (本小题满分14分)
已知焦点在 轴上的椭圆 过点 ,且离心率为 , 为椭圆 的左顶点.
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)已知过点 的直线 与椭圆 交于 , 两点.
① 若直线 垂直于 轴,求 的大小;
② 若直线 与 轴不 垂直,是否存在直线 使得 为等腰三角形?如果存在,求出直线 的方程;如果不存在,请说明理由.
21. (本小题共14分)
已知 是由满足下述条件的函数构成的集合:对任意 ,
① 方程 有实数根;② 函数 的导数 满足 .
普通高中20122013学年第一学期三明一、二中联合考试
高三数学(理科)答案
三、解答题
16.解:(Ⅰ)设 的公差为 ,
因为 所以 3分
解得 或 (舍), .
故 , .6分
(Ⅱ)因为 ,
所以 .9分
故
11分
因为 ,所以 ,于是 ,
所以 .
即 13分
17.解:(Ⅰ) 2分
4分
6分
,
。 7分
(Ⅱ)令 =0,解得
易知 的图象与 轴正半轴的第一个交点为 。 9分
所以 的图象、 轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积
。11分
13分
18.解:(Ⅰ)取 的中点 ,连接 ,
由 ,得:
就是二面角 的平面角,即 2分
在 中,解得 ,又
,解得 。 4分
(Ⅱ)由 ,
, ,
, 又 , 平面 .8分
(Ⅲ)方法一:由(Ⅰ)知 平面 , 平面
平面 平面 ,平面 平面 ,
就是 与平面 所成的角。11分
.13分
方 法二:设点 到平面 的距离为 ,
∵ , ,
, 11分
于是 与平面 所成角 的正弦为 .13分
方法三:以 所在直线分别为 轴, 轴和 轴建立空间直角坐标系 ,
则 .
设平面 的法向量为 ,则
, , , ,
取 ,则 , 11分
于是 与平面 所成角 的正弦 .13分
19.解:(I)记15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标为事件A
则 .
15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为 5分
(II)解法一:依题意可知,这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率P= ,7分
所有的取值为0,1,2,3,其分布列如下:
0123
P()
11分
所以~ , 12分
所以E=1. 13分
解法 二:依题意可知,这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率P= , 7分
所有的取值为0,1,2,3,其分布列如下:
0123
P()
11分
所以E= . 13分
20.解:(Ⅰ)设椭圆 的标准方程为 ,且 .
由题意可知: , . 2分
解得 .
椭圆 的标准方程为 . 3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 .设 .
(ⅰ)当直线 垂直于 轴时,直线 的方程为 .
由 解得: 或
即 (不妨设点 在 轴上方). 5分
则直线 的斜率 ,直线 的斜率 .
∵ ,得 .
. 6分
(ⅱ)当直线 与 轴不垂直时,由题意可设直线 的方程为 .
由 消去 得: .
因为 点 在椭圆 的内部,显然 .
8分
因为 , , ,
所以
. 即 为直角三角形. 11分
假设存在直线 使得 为等腰三角形,则 .
取 的中点 ,连接 ,则 .
记点 为 .
另一方面,点 的横坐标 ,
点 的纵坐标 .
又
故 与 不垂直,矛盾.
所以 当直线 与 轴不垂直时,不存在直线 使得 为等腰三角形.
13分
21.解:(Ⅰ)因为①当 时, ,
所以方程 有实数根0;
② ,
所以 ,满足条件 ;
由①②,函数 是集合 中的元素. 5分
(Ⅱ)假设方程 存在两个实数根 , ,
则 , .
不妨设 ,根据题意存在 ,
满足 .
因为 , ,且 ,所以 .
与已知 矛盾.又 有实数根,
所以方程 有且只有一个实数根. 10分
(Ⅲ)当 时,结论显然成立; 11分[来源:学科网ZXK]
当 ,不妨设 .
因为 ,且 所以 为增函数,那么 .
又因为 ,所以函数 为减函数,
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