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2012届高三数学期中试题及答案

2016-06-03 收藏

【摘要】大家把理论知识复习好的同时,也应该要多做题,从题中找到自己的不足,及时学懂,下面是查字典数学网小编为大家整理的高三数学期中试题及答案,希望对大家有帮助。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的。)

1.(2011辽宁沈阳二中阶段测试)已知复数z=1+2ii5,则它的共轭复数z-等于()

A.2-i B.2+i

C.-2+i D.-2-i

[答案] B

[解析] z=1+2ii5=1+2ii=2-i,故其共轭复数是2+i.

2.(文)(2011辽宁沈阳二中阶段测试)下面框图表示的程序所输出的结果是()

A.1320 B.132

C.11880 D.121

[答案] A

[解析] 运行过程依次为:i=12,x=1x=12,i=11x=132,i=10x=1320,i=9,此时不满足i10,输出x的值1320.

(理)(2011江西南昌调研)若下面框图所给的程序运行结果为S=20,那么判断框中应填入的关于k的条件是()

A.k=9 B.k8

C.kD.k8

[答案] D

[解析] 运行过程依次为k=10,S=1S=11,k=9S=20,k=8输出S=20,此时判断框中的条件不满足,因此应是k8.

3.(文)(2011黄冈市期末)若复数a+3i1+2i(aR,i是虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为()

A.-2 B.4

C.-6 D.6

[答案] C

[解析] ∵a+3i1+2i=a+3i1-2i1+2i1-2i=a+6+3-2ai5是纯虚数,aR,

a+6=03-2a0,a=-6,故选C.

(理)(2011温州八校期末)若i为虚数单位,已知a+bi=2+i1-i(a,bR),则点(a,b)与圆x2+y2=2的关系为()

A.在圆外 B.在圆上

C.在圆内 D.不能确定

[答案] A

[解析] ∵a+bi=2+i1-i=2+i1+i2=12+32i(a,bR),a=12b=32,

∵122+322=522,点P12,32在圆x2+y2=2外,故选A.

4.(文)(2011合肥市质检)如图所示,输出的n为()

A.10 B.11

C.12 D.13

[答案] D

[解析] 程序依次运行过程为:n=0,S=0n=1,S=121-13=-111n=2,S=122-13=-19,

S=-111-19-17-15-13-1+1+13+15+17+19+111+1130,此时输出n的值13.

(理)(2011丰台区期末)已知程序框图如图所示,将输出的a的值依次记为a1,a2,,an,其中nN*且n2010.那么数列{an}的通项公式为()

A.an=23n-1 B.an=3n-1

C.an=3n-1 D.an=12(3n2+n)

[答案] A

[解析] 程序运行过程依次为a=2,n=1,输出a=2,即a1=2,n=2,a=32=6,不满足n2010输出a=6,即a2=23,n=3,a=36=18,仍不满足n2010输出a=18,即a3=232因此可知数列{an}的通项公式为an=23n-1(n2010).

5.(2011蚌埠二中质检)下列命题错误的是()

A.对于等比数列{an}而言,若m+n=k+S,m、n、k、SN*,则有aman=akaS

B.点-8,0为函数f(x)=tan2x+4的一个对称中心

C.若|a|=1,|b|=2,向量a与向量b的夹角为120,则b在向量a上的投影为1

D.sin=sin的充要条件是+=(2k+1)或-=2k (kZ)

[答案] C

[解析] 由等比数列通项公式知,aman=a21qm+n-2=a21qk+S-2=a1qk-1a1qS-1=akaS,故A正确;

令2x+(kZ)得,x=k8,

令k=0得x=-8,-8,0是函数f(x)=tan2x+4的一个对称中心,故B正确;

b在a方向上的投影为|b|cos〈a,b〉=2cos120=-1,故C错;

由sin=sin得=2k或=2k-,+=(2k+1)或-=2kZ),故D正确.

6.(2011安徽百校联考)已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项am、an,使得aman=4a1,则1m+4n的最小值为()

A.32 B.53

C.256 D.不存在

[答案] A

[解析] ∵{an}为等比数列,an0,a7=a6+2a5,a1q6=a1q5+2a1q4,q2-q-2=0,q=-1或2,∵an0,

q=2,∵aman=4a1,a1qm-1a1qn-1=16a21,

qm+n-2=16,即2m+n-2=24,m+n=6,1m+4n=16(m+n)1m+4n=165+nm+4mn32,等号在nm=4mn,即m=2,n=4时成立,故选A.

7.(2011山东日照调研)二次方程ax2+2x+1=0(a0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()

A.aB.a0

C.aD.a-1

[答案] D

[解析] ∵方程ax2+2x+1=0(a0)有一个正根和一个负根,a0f00或a0f00,a0,因此,当a-1时,方程有一个正根和一个负根,仅当方程有一个正根和一个负根时,不一定有a-1,故选D.

8.观察等式:sin230+cos260+sin30cos60=34,sin220+cos250+sin20cos50=34和sin215+cos245+sin15cos45=34,,由此得出以下推广命题,则推广不正确的是()

A.sin2+cos2+sincos=34

B.sin2(-30)+cos2+sin(-30)cos=34

C.sin2(-15)+cos2(+15)+sin(-15)cos(+15)=34

D.sin2+cos2(+30)+sincos(+30)=34

[答案] A

[解析] 观察已知等式不难发现,60-30=50-20=45-15=30,推广后的命题应具备此关系,但A中与无联系,从而推断错误的命题为A.选A.

9.(2011山东潍坊一中期末)一次研究性课堂上,老师给出函数f(x)=x1+|x|(xR),甲、乙、丙三位同学在研究此函数时分别给出命题:

甲:函数f(x)的值域为(-1,1);

乙:若x1x2,则一定有f(x1)

丙:若规定f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)),则fn(x)=x1+n|x|对任意nN*恒成立

你认为上述三个命题中正确的个数有()

A.3个 B.2个

C.1个 D.0个

[答案] A

[解析] 当x0时,f(x)=x1+x(0,1),当x=0时,f(0)=0,当x0时,f(x)=x1-x(-1,0),f(x)的值域为(-1,1),且f(x)在(-,+)上为增函数,因此,x1x2时,一定有f(x1)f(x2).

∵f(x)=x1+|x|,f1(x)=f(x),f1(x)=x1+|x|,又fn(x)=f(fn-1(x)),

f2(x)=f(f1(x))=fx1+|x|=x1+|x|1+|x|1+|x|=x1+2|x|,

f3(x)=f(f2(x))=fx1+2|x|=x1+2|x|1+|x|1+2|x|=x1+3|x|

可知对任意nN*,fn(x)=x1+n|x|恒成立,故选A.

10.(2011陕西宝鸡质检)如果函数f(x)对任意的实数x,存在常数M,使得不等式|f(x)|M(x)恒成立,那么就称函数f(x)为有界泛函数,下面四个函数:

①f(x)=1; ②f(x)=x2;

③f(x)=(sinx+cosx)x; ④f(x)=xx2+x+1.

其中属于有界泛函数的是()

A.①② B.①③

C.②④ D.③④

[答案] D

[解析] 对任意实数x.∵sinx+cosx=2sinx+2,存在常数M2,有|sinx+cosx|M成立,

|x(sinx+cosx)|M|x|,即|f(x)|M|x|成立,③是有界泛函数;

又∵x2+x+1=x+122+3434,

1x2+x+143,存在常数M43,使|x||x2+x+1|M(x),即|f(x)|M|x|成立,

故④是有界泛函数,因此选D.

11.(2011北京学普教育中心联考版)观察下列算式:

21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,

用你所发现的规律得出22011的末位数字是()

A.2 B.4

C.6D.8

[答案] D

[解析] 观察发现,2n的末位数字以4为周期出现,依次为2,4,8,6,2011被4除的余数为3,故22011的末位数字与23的末位数字相同,故选D.

12.(2011河北冀州中学期末)如图所示的三角形数阵叫莱布尼兹调和三角形,它们是由整数的倒数组成的,第n行有n个数且两端的数均为1n(n2),每个数是它下一行左右相邻两数的和,如11=12+12,12=13+16,13=14+112,,则第10行第4个数(从左往右数)为()

11

12 12

13 16 13

14 112 112 14

15 120 130 120 15

A.11260 B.1840

C.1504 D.1360

[答案] B

[解析] 第10行第1个数为110,第2个数为19-110=190,第9行第1个数为19,第2个数为18-19=172,第10行第3个数为172-190=1360,第8行第1个数为18,第2个数为17-18=156,故第9行第3个数为156-172=1252,第10行第4个数为1252-1360=1840.

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上)

13.(文)(2011江西吉安期末)请阅读下列材料:若两个正实数a1,a2满足a21+a22=1,那么a1+a22.证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1.因为对一切实数x,恒有f(x)0,所以0,从而得4(a1+a2)2-80,所以a1+a22.类比上述结论,若n个正实数满足a21+a22++a2n=1,你能得到的结论为________.

[答案] a1+a2++ann(nN*)

[解析] 构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2++(x-an)2=nx2-2(a1+a2++an)x+1,

∵f(x)0对任意实数x都成立,

=4(a1+a2++an)2-4n0,

∵a1,a2,,an都是正数,a1+a2++ann.

(理)(2011北京学普教育中心)我们知道,在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值3a2,类比上述结论,在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值________.

[答案] 6a3

[解析] 在正三角形内到三边的距离之和等于正三角形的高;正三角形的边类比空间正四面体的面,正四面体内任一点到其四个面的距离之和等于正四面体的高6a3.

14.(2011湖北荆门市调研)如果一个复数的实部、虚部对应一个向量的横坐标、纵坐标,已知z1=(1-2i)i对应向量为a,z2=1-3i1-i对应向量为b,那么a与b的数量积等于________.

[答案] 3

[解析] z1=2+i对应向量a=(2,1),z2=1-3i1-i=1-3i1+i2=2-i对应向量b=(2,-1),

ab=3.

15.(2011辽宁沈阳二中检测)直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点,如果函数f(x)的图象恰好通过k(kN*)个格点,则称函数f(x)为k阶格点函数,下列函数:①f(x)=sinx;②f(x)=3(x-1)2+2;③f(x)=14x;④f(x)=log0.5x,其中是一阶格点函数的有________.

[答案] ①②

[解析] f(x)=sinx通过的格点只有(0,0);f(x)=3(x-1)2+2经过的格点只有(1,2);f(x)=log0.5x经过的格点有(2n,-n),n=0,1,2f(x)=14x经过的格点至少有(0,1),(-1,4),故填①②.

16.(2011杭州市质检)设n为正整数,f(n)=1+12+13++1n,计算得f(2)=32,f(4)2,f(8)52,f(16)3,观察上述结果,可推测一般的结论为________.

[答案] f(2n)n2+1

[解析] f(2)=32=12+1,f(4)=f(22)2=22+1,f(8)=f(23)52=32+1,f(16)=f(24)3=42+1,观察可见自变量取值为2n时,函数值大于或等于n2+1,即f(2n)n2+1.

三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分12分)(2011华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)设命题p:命题f(x)=x3-ax-1在区间[-1,1]上单调递减;命题q:函数y=ln(x2+ax+1)的值域是R,如果命题p或q为真命题,p且q为假命题,求a的取值范围.

[解析] p为真命题f(x)=3x2-a0在[-1,1]上恒成立3x2在[-1,1]上恒成立3,

q为真命题=a2-40恒成立-2或a2.

由题意p和q有且只有一个是真命题,

p真q假3-2

p假q真3a-2或aa-2或23,

综上所述:a(-,-2][2,3).

18.(本小题满分12分)(2011广东高州市长坡中学期末)复数z=12-32i2是一元二次方程ax2+bx+1=0(a,bR)的根.

(1)求a和b的值;

(2)若(a+bi)u-+u=z(uC),求u.

[解析] (1)由题得z=-12-32i,

因为方程ax2+bx+1=0(a、bR)是实系数一元二次方程,所以它的另一个根为-12+32i.

由韦达定理知:-12-32i+-12+32i=-ba-12-32i-12+32i=1a

a=1b=1.

(2)由(1)知(1+i)u-+u=-12-32i,设u=x+yi(x,yR),则(1+i)(x-yi)+(x+yi)=-12-32i,

得(2x+y)+xi=-12-32i,

2x+y=-12x=-32,x=-32y=3-12,

u=-32+23-12i.

19.(本小题满分12分)(2011山东省实验中学)已知a0,命题p:函数y=ax在R上单调递减,q:设函数y=2x-2a,x2a2a,x2a,函数y1恒成立,若pq为假,pq为真,求a的取值范围.

[解析] 若p为真命题,则0

又ymin=2a,2a1,q为真命题时a12,

又∵pq为真,pq为假,p与q一真一假.

若p真q假,则0

故a的取值范围为0

20.(本小题满分12分)(2011北京学普教育中心)已知复数z1=sin2x+i,z2=m+(m-3cos2x)i,、m、xR,且z1=z2.

(1)若=0且0

(2)设=f(x),已知当x=时,=12,试求cos43的值.

[解析] (1)∵z1=z2,

sin2x=m=m-3cos2x,

=sin2x-3cos2x,

若=0则sin2x-3cos2x=0得tan2x=3,

∵0

2x=3或2x=43,

x=6或23.

(2)∵=f(x)=sin2x-3cos2x

=212sin2x-32cos2x=2sin2x-3,

∵当x=时,=12,

2sin23=12,sin23=14,

sin3-2=-14,

∵cos43=cos226-1

=2cos226-1=2sin23-2-1,

cos43=2-142-1=-78.

21.(本小题满分12分)(2011山东临沂质检)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1,AC1平面A1BD,D为AC中点.

(1)求证:B1C∥平面A1BD;

(2)求证:B1C1平面ABB1A1.

[解析] (1)证明:如图,连结AB1,设AB1A1B=O,则O为AB1中点,连结OD,

∵D为AC中点,

在△ACB1中,有OD∥B1C.

又∵OD平面A1BD,B1C平面A1BD,

B1C∥平面A1BD.

(2)证明:∵AB=B1B,ABC-A1B1C1为直三棱柱,ABB1A1为正方形,A1BAB1,

又∵AC1平面A1BD,A1B平面A1BD,

∵AC1A1B,

又∵AC1平面AB1C1,AB1平面AB1C1,AC1AB1=A,

A1B平面AB1C1,

又∵B1C1平面AB1C1,A1BB1C1.

又∵A1A平面A1B1C1,B1C1平面A1B1C1,

A1AB1C1,

∵A1A平面ABB1A1,A1B平面ABB1A1,A1AA1B=A1,

B1C1平面ABB1A1.

22.(本小题满分12分)(文)(2011山东省实验中学)函数f(x)=lnx+1ax-1a(a为常数,a0).

(1)若函数f(x)在区间[1,+)内单调递增,求a的取值范围;

(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值.

[解析] f(x)=ax-1ax2 (x0).

(1)由已知得f(x)0在[1,+)上恒成立,

即a1x在[1,+)上恒成立,

又∵当x[1,+)时,1x1,

a1,即a的取值范围为[1,+).

(2)当a1时,∵f(x)0在(1,2)上恒成立,f(x)在[1,2]上为增函数,f(x)min=f(1)=0,

当0

f(x)min=f(2)=ln2-12a.

当12

f(x)min=f1a=-lna+1-1a.

综上,f(x)在[1,2]上的最小值为

①当0

②当12

③当a1时,f(x)min=0.

(理)(2011丹东四校协作体联考)设数列{an}满足:a1=2,an+1=an+1an(nN*).

(1)证明:an2n+1对nN*恒成立;

(2)令bn=ann(nN*),判断bn与bn+1的大小,并说明理由 .

[解析] (1)证法1:当n=1时,a1=21+1,不等式成立,

假设n=k时,ak2k+1成立,

当n=k+1时,a2k+1=a2k+1a2k+22k+3+1a2k2(k+1)+1.

n=k+1时,ak+12k+1+1时成立,

综上由数学归纳法可知,an2n+1对一切正整数成立.

证法2:当n=1时,a1=23=21+1,结论成立;

假设n=k时结论成立,即ak2k+1,

当n=k+1时,由函数f(x)=x+1x(x1)的单增性和归纳假设有ak+1=ak+1ak2k+1+12k+1,

因此只需证:2k+1+12k+12k+3,

而这等价于(2k+1+12k+1)22k+312k+10,

显然成立,所以当n=k+1是,结论成立;

综上由数学归纳法可知,an2n+1对一切正整数成立.

证法3:由递推公式得a2n=a2n-1+2+1a2n-1,

a2n-1=a2n-2+2+1a2n-2,a22=a21+2+1a21,

上述各式相加并化简得a2n=a21+2(n-1)+1a21++1a2n-122+2(n-1)=2n+22n+1(n2),

又n=1时,an2n+1显然成立,故an2n+1(nN*).

(2)解法1:bn+1bn=an+1nann+1=1+1a2nnn+1

1+12n+1nn+1=2n+1n2n+1n+1

=2nn+12n+1=n+122-14n+121,

又显然bn0(nN*),故bn+1

解法2:bn+1-bn=an+1n+1-ann

=1n+1an+1an-ann

=1annn+1[n-(n+1-n)a2n]

1annn+1[n-(n+1-n)(2n+1)](由(1)的结论)

=1nn+1n+1+nan[n(n+1+n)-(2n+1)]

=1nn+1n+1+nan[nn+1-(n+1)]

=1nn+1+nan(n-n+1)0,

所以bn+1

解法3:b2n+1-b2n=a2n+1n+1-a2nn

=1n+1a2n+1a2n+2-a2nn

=1n+12+1a2n-a2nn1n+12+12n+1-2n+1n

=1n+112n+1-1n0,

故b2n+1

【总结】高三数学期中试题及答案就为大家介绍到这儿了,小编的整理有帮助到大家吗?如果大家还需要了解更多有关学习的内容,请继续关注查字典数学网。

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