2016-06-02 收藏
【摘要】鉴于大家对查字典数学网十分关注,小编在此为大家整理了此文高三数学下学期文科试题:3月调考试题,供大家参考!
本文题目:高三数学下学期文科试题:3月调考试题
数学(文科)试题
本试卷共4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。
★ 祝考试顺利 ★
注意事项:
1.考生在答题前,请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试卷上无效.
3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内.答在试题卷上无效.
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若 , 是虚数单位,且 ,则 的值为
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知命题 ,那么命题 为
A. B.
C. D.
3.已知直线 ,若直线 ,则直线 的倾斜角为
A. B. C. D.
4.平面向量 与 的夹角为 , , ,则
A. B. C.4 D.12
5.不等式组 表示的平面区域是
A.矩形 B.三角形 C.直角梯形 D.等腰梯形
6.设 ,函数 的导函数是 ,且 是奇函数,则 的值为
A. B. C. D.
7.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生
参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的
茎叶图如右图,其中甲班学生成绩的平均分是85,
乙班学生成绩的中位数是83,则 的值为
A. B.
C. D.
8.《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一,书中有这样的一道题目:把 个面包分给 个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的 是较小的两份之和,则最小的 份为
A. B. C. D.
9. 从 (其中 )所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个,则此方程是焦点在 轴上的双曲线方程的概率为( )
A. B. C. D.
10.已知函数 ,,则函数 的零点个数是
A.4 B.3 C. 2 D.1
二、填空题(本大题共5小题,每小题7分,共35分,请将答案填在答题卡对应题号的
位置上)
11.已知集合 , ,则 ▲ .
12.已知 ,且 ,则 ▲ .
13.某高三年级有 名同学,将他们的身高(单位:cm)数据绘制成频率分布直方图(如图),若用分层抽样的方法选取 人参加一项活动,则从身高在 内的学生中选取的人数应为 ▲ .
14.某地区恩格尔系数 与年份 的统计数据如下表:
年份
2004 2005 2006 2007
恩格尔系数 (%)
47 45.5 43.5 41
从散点图可以看出 与 线性相关,且可得回归直线方程为 ,据此模型可预测2013年该地区的恩格尔系数(%)为 ▲ .
15.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的最大值为 ▲ .
16.已知实数 ,若执行如下左图所示的程序框图,则输出的 不小于 47的概率为 ▲ .
17.右下表中数阵为森德拉姆素数筛,其特点是每行每列都成等差数列,记第 行第 列的数为 ,则:
(Ⅰ) ▲ ; (Ⅱ)表中数 共出现 ▲ 次.
三、解答题(本大题共5小题,共65分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
18.(本小题满分12分)已知A、B、C为 的三个内角且向量
共线。
(Ⅰ)求角C的大小:
(Ⅱ)设角 的对边分别是 ,且满足 ,试判断 的形状.
19.(本小题满分12分)在等差数列 中, , .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)设数列 是首项为 ,公比为 的等比数列,求 的前 项和 .
20.(本小题满分13分)如图所示,四棱锥 中,
底面 是边长为2的菱形, 是棱 上的动点.
(Ⅰ)若 是 的中点,求证: //平面 ;
(Ⅱ)若 ,求证: ;
(III)在(Ⅱ)的条件下,若
,
求四棱锥 的体积.
21.(本大题满分14分)
已知△ 的两个顶点 的坐标分别是 , ,且 所在直线的斜率之积等于 .
(Ⅰ)求顶点 的轨迹 的方程,并判断轨迹 为何种圆锥曲线;
(Ⅱ)当 时,过点 的直线 交曲线 于 两点,设点 关于 轴的对称点为 ( 不重合).求证直线 与 轴的交点为定点,并求出该定点的坐标.
22.(本小题满分14分)已知函数 ,其中
(Ⅰ)求 在 上的单调区间;
(Ⅱ)求 在 ( 为自然对数的底数)上的最大值;
(III)对任意给定的正实数 ,曲线 上是否 存在两点 、 ,使得 是
以原点 为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 轴上?
2013年湖北省八市高三三月联考
数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题:(每小题5分,10小题共50分)
1.D 2.C 3.D 4.B 5.D 6.C 7.B 8.A 9.B 10.A
二、填空题:(每小题5分,满35分)
11. 12. 13. 14. 15.
16. 17.(Ⅰ) ,(Ⅱ)
三.解答题(本大题共5小题, 共65分; 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18.(Ⅰ)(Ⅰ)∵ 与 共线
3分
得 4分
C= 6分
(Ⅱ)方法1:由已知 (1)
根据余弦定理可得: (2)8分
(1)、(2)联立解得: 10分
为等边三角形,12分
方法2:
由正弦定理得:
8分
, 在△ 中 . 10分
为等边三角形 12分
方法3:由(Ⅰ)知C= ,又由题设得: ,
在 中根据射影定理得:
8分
10分
又. C= , 所以 △ 为等边三角形, 12分
19.(Ⅰ)设等差数列 的公差是 .
依题意 ,从而 . 2分
所以 ,解得 . 4分
所以数列 的通项公式为 . 6分
(Ⅱ)由数列 是首项为 ,公比为 的等比数列,
得 ,即 ,
所以 . 8分
所以
. 10分
从而当 时, ; 11分
当 时, . 12分
20.(Ⅰ)证明:连结 ,交 于 .
因为底面 为菱形, 所以 为 的中点.
因为 是 的中点,所以 ,
因为 平面 , 平面 ,
所以 平面 . 4分
(Ⅱ)证明:因为底面 为菱形,
所以 , 为 的中点.
因为 ,所以 .
因为 ,所以 平面 .因为 平面 ,
所以 . 8分
(Ⅲ)因为 ,所以△ 为等腰三角形 .
因为 为 的中点,所以 .
由(Ⅱ)知 ,且 ,
所以 平面 ,即 为四棱锥 的高.
因为四边形是边长为2的菱形,且 ,
所以 .
所以 . 12分
21.(Ⅰ)由题知:
化简得: 2分
当 时 轨迹 表示焦点在 轴上的椭圆,且除去 两点;
当 时 轨迹 表示以 为圆心半径是1的圆,且除去 两点;
当 时 轨迹 表示焦点在 轴上的椭圆,且除去 两点;
当 时 轨迹 表示焦点在 轴上的双曲线,且除去 两点;
6分
(Ⅱ)设
依题直线 的斜率存在且不为零,则可设 : ,
代入 整理得
, , 9分
又因为 不重合,则
的方程为 令 ,
得
故直线 过定点 . 13分
解二:设
依题直线 的斜率存在且不为零,可设 :
代入 整理得:
, , 9分
的方程为 令 ,
得
直线 过定点 13分
22.(Ⅰ)因为
当 时, ,
解 得到 ;解 得到 或 .所以 在 上的单调减区间为 , :单调增区间为 4分
(Ⅱ)①当 时,由(Ⅰ)知在 和 上单调递减,在 上单调递增,从而 在 处取得极大值 .
又 ,所以 在 上的最大值为2.6分
②当 时, ,当 时, 在 上单调递增,所以 在 上的最大值为 .所以当 时, 在 上的最大值为 ;当 时, 在 上的最大值为2. 8分
(Ⅲ)假设曲线 上存在两点 ,使得 是以 为直角顶点的直角三角形,则 只 能在 轴的两侧,不妨设 ,则 ,且 . 9分
因为 是以 为直角顶点的直角三角形,所以 ,
即: (1) 10分
是否存在点 等价于方程(1)是否有解.
若 ,则 ,代入方程(1)得: ,此方程无解.11分
若 ,则 ,代入方程(1)得到: 12分
设 ,则 在 上恒成立.所以 在 上单调递增,从而 ,即有 的值域为 (不需证明),所以当 时,方程 有解,即 方程(1)有解.
所以,对任意给定的正实数 ,曲线 上存在两点 ,使得△ 是以 为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 轴上. 14分
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