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高三数学教案:三角函数的图象与性质

2016-06-01 收藏

【摘要】欢迎来到查字典数学网高三数学教案栏目,教案逻辑思路清晰,符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。因此小编在此为您编辑了此文:高三数学教案:三角函数的图象与性质希望能为您的提供到帮助。

本文题目:高三数学教案:三角函数的图象与性质

●知识梳理

1.三角函数的图象和性质

函 数

性 质 y=sinx y=cosx y=tanx

定义域

值域

图象

奇偶性

周期性

单调性

对称性

注:读者自己填写.

2.图象与性质是一个密不可分的整体,研究性质要注意联想图象.

●点击双基

1.函数y=sin( -2x)+sin2x的最小正周期是

A.2 C. D.4

解析:y= cos2x- sin2x+sin2x= cos2x+ sin2x=sin( +2x),T=.

答案:B

2.若f(x)sinx是周期为的奇函数,则f(x)可以是

A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x

解析:检验.

答案:B

3.函数y=2sin( -2x)(x[0,])为增函数的区间是

A.[0, ] B.[ , ]

C.[ , ] D.[ ,]

解析:由y=2sin( -2x)=-2sin(2x- )其增区间可由y=2sin(2x- )的减区间得到,即2k2x- + ,kZ.

kx+ ,kZ.

令k=0,故选C.

答案:C

4.把y=sinx的图象向左平移 个单位,得到函数____________的图象;再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍,而纵坐标保持不变,得到函数____________的图象.

解析:向左平移 个单位,即以x+ 代x,得到函数y=sin(x+ ),再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,即以 x代x,得到函数:y=sin( x+ ).

答案:y=sin(x+ ) y=sin( x+ )

5.函数y=lg(cosx-sinx)的定义域是_______.

解析:由cosx-sinx0 cosxsinx.由图象观察,知2k-

答案:2k-

●典例剖析

【例1】 (1)y=cosx+cos(x+ )的最大值是_______;

(2)y=2sin(3x- )的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______.

剖析:(1)y=cosx+ cosx- sinx

= cosx- sinx= ( cosx- sinx)

= sin( -x).

所以ymax= .

(2)T= ,相邻对称轴间的距离为 .

答案:

【例2】 (1)已知f(x)的定义域为[0,1),求f(cosx)的定义域;

(2)求函数y=lgsin(cosx)的定义域.

剖析:求函数的定义域:(1)要使01,(2)要使sin(cosx)0,这里的cosx以它的值充当角.

解:(1)01 2kx+ ,且x(kZ).

所求函数的定义域为{x|x[2k- ,2k+ ]且x,kZ}.

(2)由sin(cosx)

评述:求三角函数的定义域,要解三角不等式,常用的方法有二:一是图象,二是三角函数线.

【例3】 求函数y=sin6x+cos6x的最小正周期,并求x为何值时,y有最大值.

剖析:将原函数化成y=Asin(x+ )+B的形式,即可求解.

解:y=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)=1-3sin2xcos2x=1- sin22x= cos4x+ .

T= .

当cos4x=1,即x= (kZ)时,ymax=1.

深化拓展

函数y=tan(ax+)(a0)当x从n变化为n+1(nZ)时,y的值恰好由-变为+,则a=_______.

分析:你知道函数的周期T吗?

答案:

●闯关训练

夯实基础

1.若函数f(x)=sin(x+ )的图象(部分),则和 的取值是

A.=1, = B.=1, =-

C.= , = D.= , =-

解析:由图象知,T=4( + )=4= ,= .

又当x= 时,y=1,sin( + )=1,

+ =2k+ ,kZ,当k=0时, = .

答案:C

2. f(x)=2cos2x+ sin2x+a(a为实常数)在区间[0, ]上的最小值为-4,那么a的值等于

A.4 B.-6 C.-4 D.-3

解析:f(x)=1+cos2x+ sin2x+a

=2sin(2x+ )+a+1.

∵x[0, ],2x+ [ , ].

f(x)的最小值为2(- )+a+1=-4.

a=-4.

答案:C

3.函数y= 的定义域是_________.

解析:-sin 0 sin - 6k6kZ).

答案:6k6kZ)

4.函数y=tanx-cotx的最小正周期为____________.

解析:y= - =-2cot2x,T= .

答案:

5.求函数f(x)= 的最小正周期、最大值和最小值.

解:f(x)=

= = (1+sinxcosx)

= sin2x+ ,

所以函数f(x)的最小正周期是,最大值是 ,最小值是 .

6.已知x[ , ],函数y=cos2x-sinx+b+1的最大值为 ,试求其最小值.

解:∵y=-2(sinx+ )2+ +b,

又-1 ,当sinx=- 时,

ymax= +b= b=-1;

当sinx= 时,ymin=- .

培养能力

7.求使 = sin( - )成立的的区间.

解: = sin( - )

= ( sin - cos ) |sin -cos |=sin -cos

sin cos 2k + (kZ).

因此[4k+ ,4k+ ](kZ).

8.已知方程sinx+cosx=k在0上有两解,求k的取值范围.

解:原方程sinx+cosx=k sin(x+ )=k,在同一坐标系内作函数y1= sin(x+ )与y2=k的图象.对于y= sin(x+ ),令x=0,得y=1.

当k[1, )时,观察知两曲线在[0,]上有两交点,方程有两解.

评述:本题是通过函数图象交点个数判断方程实数解的个数,应重视这种方法.

探究创新

9.已知函数f(x)=

(1)画出f(x)的图象,并写出其单调区间、最大值、最小值;

(2)判断f(x)是否为周期函数.如果是,求出最小正周期.

解:(1)实线即为f(x)的图象.

单调增区间为[2k+ ,2k+ ],[2k+ ,2k](kZ),

单调减区间为[2k,2k+ ],[2k+ ,2k+ ](kZ),

f(x)max=1,f(x)min=- .

(2)f(x)为周期函数,T=2.

●思悟小结

1.三角函数是函数的一个分支,它除了符合函数的所有关系和共性外,还有它自身的属性.

2.求三角函数式的最小正周期时,要尽可能地化为只含一个三角函数,且三角函数的次数为1的形式,否则很容易出现错误.

●教师下载中心

教学点睛

1.知识精讲由学生填写,起到回顾作用.

2.例2、例4作为重点讲解,例1、例3诱导即可.

拓展题例

【例1】 已知sinsin,那么下列命题成立的是

A.若、是第一象限角,则coscos

B.若、是第二象限角,则tantan

C.若、是第三象限角,则coscos

D.若、是第四象限角,则tantan

解析:借助三角函数线易得结论.

答案:D

【例2】 函数f(x)=-sin2x+sinx+a,若1 对一切xR恒成立,求a的取值范围.

解:f(x)=-sin2x+sinx+a

=-(sinx- )2+a+ .

由1

1-(sinx- )2+a+

a-4(sinx- )2a- . ①

由-11 - sinx-

(sinx- ) = ,(sinx- ) =0.

要使①式恒成立,

只需 34.


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