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本文题目：理科高三数学教案：复数总复习教学案

第十五章 复 数

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考试要求 重难点击 命题展望

1.理解复数的基本概念、复数相等的充要条件.

2.了解复数的代数表示法及其几何意义.

3.会进行复数代数形式的四则运算.了解复数的代数形式的加、减运算及其运算的几何意义.

4.了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想，体会理性思维在数系扩充中的作用. 本章重点：1.复数的有关概念;2.复数代数形式的四则运算.

本章难点：运用复数的有关概念解题. 近几年高考对复数的考查无论是试题的难度，还是试题在试卷中所占 比例都是呈下降趋势，常以选择题、填空题形式出现，多为容易题.在复习过程中，应将复数的概念及运算放在首位.

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15.1 复数的概念及其运算

典例精析

题型一 复数的概念

【例1】 (1)如果复数(m2+i)(1+mi)是实数，则实数m= ;

(2)在复平面内，复数1+ii对应的点位于第 象限;

(3)复数z=3i+1的共轭复数为z= .

【解 析】 (1)(m2+i)(1+mi)=m2-m+(1+m3)i是实数1+m3=0m=-1.

(2)因为1+ii=i(1+i)i2=1-i，所以在复平面内对 应的点为(1，-1)，位于第四象限.

(3)因为z=1+3i，所以z=1-3i.

【点拨】 运算此类 题目需注意复数的代数形式z=a+bi(a，bR)，并注意复数分为实数、虚数、纯虚数，复数的几何意义，共轭复数等概念.

【变式训练1】(1)如果z=1-ai1+ai为纯虚数，则实数a等于()

A.0 B.-1 C.1 D.-1或1

(2)在复平面内，复数z=1-ii(i是虚数单位)对应的点位于()

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

【解析】(1)设z=xi，x0，则

xi=1-ai1+ai1+ax-(a+x)i=0 或 故选D.

(2)z=1-ii=(1-i)(-i)=-1-i，该复数对应的点位于第三象限.故选C.

题型二 复数的相等

【例2】(1)已知复数z0=3+2i，复数z满足zz0=3z+z0，则复数z= ;

(2)已知m1+i=1-ni， 其中m，n是实数，i是虚数单位，则m+ni= ;

(3)已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实根，则这个实根为 ，实数k的值为.

【解析】(1)设z=x+yi(x，yR)，又z0=3+2i，

代入zz0=3z+z0得(x+yi)(3+2i)=3(x+yi)+3+2i，

整理得 (2y+3)+(2-2x)i=0，

则由复数相等的条件得

解得 所以z=1- .

(2)由已知得m=(1-ni)(1+i)=(1+n)+(1-n)i.

则由复数相等的条件得

所以m+ni=2+i.

(3)设x=x0是方程的实根， 代入方程并整理得

由复数相等的充要条件得

解得 或

所以方程的实根为x=2或x= -2，

相应的k值为k=-22或k=22.

【点拨】复数相等须先化为z=a+bi(a，bR)的形式，再由相等 得实部与实部相等、虚部与虚部相等.

【变式训练2】(1)设i是虚数单位，若1+2i1+i=a+bi(a，bR)，则a+b的值是()

A.-12 B.-2 C.2 D.12

(2)若(a-2i)i=b+i，其中a，bR，i为虚数单位，则a+b=.

【解析】(1)C.1+2i1+i=(1+2i)(1-i)(1+i)(1-i)= 3+i2，于是a+b=32+12=2.

(2)3.2+ai=b+ia=1，b= 2.

题 型三 复数的运算

【例3】 (1)若复数z=-12+32i， 则1+z+z2+z3++z2 008= ;

(2)设复数z满足z+|z|=2+i，那么z= .

【解析】 (1)由已知得z2=-12-32i，z3=1，z4=-12+32i =z.

所以zn具有周期性，在一个周期内的和为0，且周期为3.

所以1+z+z2+z3++z2 008

=1+z+(z2+z3+z4)++(z2 006+z2 007+z2 008)

=1+z=12+32i.

(2)设z=x+yi(x，yR)，则x+yi+x2+y2=2+i，

所以 解得 所以z= +i.

【点拨】 解(1)时要注意x3=1(x-1)(x2+x+1)=0的三个根为1，，-，

其中=-12+32i，-=-12-32i， 则

1++2=0， 1+-+-2=0 ，3=1，-3=1，-=1，2=-，-2=.

解(2)时要注意|z|R，所以须令z=x +yi.

【变式训练3】(1)复数11+i+i2等于()

A.1+i2 B.1-i2 C.-12 D.12

(2)(2010江西鹰潭)已知复数z=23-i1+23i+(21-i)2 010，则复数z等于()

A.0 B.2 C.-2i D.2i

【解析】(1 )D.计算容易有11+i+i2=12.

(2)A.

总结提高

复数的代数运算是重点，是每年必考内容之一，复数代数形式的运算：①加减法按合并同类项法则进行;②乘法展开、除法须分母实数化.因此，一些复数问题只需设z=a+bi(a，bR)代入原式后，就 可以将复数问题化归为实数问题来解决.