2016-05-31 收藏
数学基本不等式训练题1.若xy0,则对 xy+yx说法正确的是()
A.有最大值-2 B.有最小值2
C.无最大值和最小值 D.无法确定
答案:B
2.设x,y满足x+y=40且x,y都是正整数,则xy的最大值是()
A.400 B.100
C.40 D.20
答案:A
3.已知x2,则当x=____时,x+4x有最小值____.
答案:2 4
4.已知f(x)=12x+4x.
(1)当x0时,求f(x)的最小值;
(2)当x0 时,求f(x)的最大值.
解:(1)∵x0,12x,4x0.
12x+4x212x4x=83.
当且仅当12x=4x,即x=3时取最小值83,
当x0时,f(x)的最小值为83.
(2)∵x0,-x0.
则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83,
当且仅当12-x=-4x时,即x=-3时取等号.
当x0时,f(x)的最大值为-83.
一、选择题
1.下列各式,能用基本不等式直接求得最值的是()
A.x+12x B.x2-1+1x2-1
C.2x+2-x D.x(1-x)
答案:C
2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()
A.32-3 B.-3
C.62 D.62-3
解析:选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.
3.已知m、nR,mn=100,则m2+n2的最小值是()
A.200 B.100
C.50 D.20
解析:选A.m2+n22mn=200,当且仅当m=n时等号成立.
4.给出下面四个推导过程:
①∵a,b(0,+),ba+ab2ba
②∵x,y(0,+),lgx+lgy2lgx
③∵aR,a0,4a+a 24a
④∵x,yR,,xy0,xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.
其中正确的推导过程为()
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
解析:选D.从基本不等式成立的条件考虑.
①∵a,b(0,+),ba,ab(0,+),符合基本不等式的条件,故①的推导过程正确;
②虽然x,y(0,+),但当x(0,1)时,lgx是负数,y(0,1)时,lgy是负数,②的推导过程是错误的;
③∵aR,不符合基本不等式的条件,
4a+a24aa=4是错误的;
④由xy0得xy,yx均为负数,但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后,(-xy)均变为正数,符合基本不等式的条件,故④正确.
5.已知a0,b0,则1a+1b+2ab的最小值是()
A.2 B.22
C.4 D.5
解析:选C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.当且仅当a=bab=1时,等号成立,即a=b=1时,不等式取得最小值4.
6.已知x、y均为正数,xy=8x+2y,则xy有()
A.最大值64 B.最大值164
C.最小值64 D.最小值164
解析:选C.∵x、y均为正数,
xy=8x+2y28x2y=8xy,
当且仅当8x=2y时等号成立.
xy64.
二、填空题
7.函数y=x+1x+1(x0)的最小值为________.
答案:1
8.若x0,y0,且x+4y=1,则xy有最________值,其值为________.
解析:1=x+4y4y=4xy,xy116.
答案:大 116
9.(2010年高考山东卷)已知x,yR+,且满足x3+y4=1,则xy的最大值为________.
解析:∵x0,y0且1=x3+y42xy12,xy3.
当且仅当x3=y4时取等号.
答案:3
三、解答题
10.(1)设x-1,求函数y=x+4x+1+6的最小值;
(2)求函数y=x2+8x-1(x1)的最值.
解:(1)∵x-1,x+10.
y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5
2 x+14x+1+5=9,
当且仅当x+1=4x+1,即x=1时,取等号.
x=1时,函数的最小值是9.
(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1
=(x-1)+9x-1+2.∵x1,x-10.
(x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.
当且仅当x-1=9x-1,即x=4时等号成立,
y有最小值8.
11.已知a,b,c(0,+),且a+b+c=1,求证:(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.
证明:∵a,b,c(0,+),a+b+c=1,
1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca,
同理1b-12acb,1c-12abc,
以上三个不等式两边分别相乘得
(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.
当且仅当a=b=c时取等号.
12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池,池的深度一定,池的外圈周壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计).
问:污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.
解:设污水处理池的长为x米,则宽为200x米.
总造价f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200
=800(x+225x)+12000
1600x225x+12000
=36000(元)
当且仅当x=225x(x0),
即x=15时等号成立.
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