在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。数学分为两部分，一部分是几何，另一部分是代数。小编准备了高二上学期中数学理科试卷，具体请看以下内容。

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)

1.在直角坐标系中，直线 的斜率是 ▲ .

2.圆 的半径是 ▲ .

3.椭圆 的焦点坐标为 ▲ .

4.抛物线 的准线方程为 ▲ .

5.双曲线 的渐近线方程是 ▲ .

6.若圆 与圆 相外切，则实数 ▲ .

7.已知点P为直线 上一动点，则P到坐标原点的距离的最 小值是 ▲ .

8.若方程 表示椭圆，则 的取值范围是 ▲ .

9.已知两圆 和 相交于A，B 两点，则直线AB的方程是 ▲ .

10.已知点P在抛物线 上运动，F为抛物线的焦点，点M的坐标为(3,2)，当 取最小值时，点P的坐标为 ▲ .

11.已知点P是圆C： 上任意一点，若点P关于直线 的 对称点仍在圆C上，则 的最小值是 ▲ .

12.已知O为坐标原点，点 ，动点P与两点O、A的距离之比为1∶ ，则P点轨迹方程是 ▲ .

13.设集合 ，当 时，则实数 的取值范围是 ▲ .

14.已知椭圆C： 的左、右焦点分别 、 ，过点 的直线交椭圆C于 两点，若 ，且 ，则椭圆C的离心率是 ▲ .

二、解答题(本题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(本小题满分14分)已知三点P(5，2)、 (-6，0)、 (6，0).

(Ⅰ)求以 、 为焦点且过点P的椭圆的标准方程;

(Ⅱ)设点P、 、 关于直线 的对称点分别为 、 、 ，求以 、 为焦点且过点 的双曲线的标准方程.

17.(本题满分14分)某城市交通规划中，拟在以点O为圆心，半径为50m的高架圆形车道外侧P处开一个出口，以与圆形道相切的方式，引申一条直道连接到距圆形道圆心O正北250 m的道路上C处(如图)，以O为原点，OC为y轴建立如图所示的直角坐标系，求直道PC所在的直线方程，并计算出口P的坐标.

18.(本题满分16分)过点P(4，4)作直线l与圆O： 相交于A、B两点.

(Ⅰ)若直线l变动时，求AB中点M的轨迹方程;

(Ⅱ)若直线l的斜率为 ，求弦AB的长;

(Ⅲ)若一直线与圆O相切于点Q且与 轴的正半轴， 轴的正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，求点Q的坐标.

19.(本题满分16分)在平面直角坐标系 中，抛物线C的顶点在原点，经过点 其焦点F在 轴上.

(Ⅰ)求抛物线C的标准方程;

(Ⅱ)求过点F和OA的中点的直线的方程 ;

(Ⅲ)设点 ,过点F的直线交抛物线C于B、D两点，记PB,PF,PD的斜率分别为 ，求证： .

20.(本题满分16分)在平面直角坐标系 中，已知定点A(-4，0)，B(4，0)，动点P与A、B连线的斜率之积为 .

(Ⅰ)求点P的轨迹方程;

(Ⅱ)设点P的轨迹与y轴负半轴交于 点C，半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得弦长为 .

⑴求圆M的方程;

⑵当r变化时，是否存在定直线l与动圆 M均相切?如果存在，求出定直线l的方程;如果不存 在，说明理由.

第一学期期中试卷

高二数学(理科)参考答案

一、填空题

1. 2 2.3 3. 4. 5. 6. 7.

8. 9. x + 3y 5 =0 10. 11. 18

12. (或 ) 13. 14.

二、解答题

15. 解：由题意得：(1) ，解得： ，所以 3分

因为所求直线与直线 平行，所以 ，

则所求直线方程为： 7分

(2)直线MN所在直线的斜率为： 10分

因为所求直线与两点 所在直线垂直，所以

则所求直线方程为： 14分

16.解：(1)由题意，可设所求椭圆的标准方程为 + ，其半焦距 .

，

， ， 5分

故所求椭圆的标准方程为 + ; 7分

(2)点P(5，2)、 (-6，0)、 (6，0)关于直线y=x的对称点分别为：

、 (0，-6)、 (0，6) 9分

设所求双曲线的标准方程为 - ，由题意知半焦距 ，

，

， ， 12分

故所求双曲线的标准方程为 . 14分

17. 解：圆形道的方程为x2+y2=2500， 2 分

引伸道与北向道路的交接点C的坐标为(0,250 )， 4分

设 的方程为 ，由图可知

又 与圆 相切， 到 距离 ，

解得 ，

的方程为 ①， 8分

又 ，

则OP的方程是： ② 10分

由①②解之得 点坐标 13分

引伸道在所建坐标系中的方程为 ，出口P的坐标是

14分

18.解：(1)因为点M是AB的中点，所以OMAB，

则点M所在曲线是以OP为直径的圆 ，其方程为 ，

即 ; 4分

(2)因为直线l的斜率为 ，所以直线l的方程是： ，

即 ， 6分

设点O到直线l的距离为d，则 ，

所以 ，解得： ; 10分

(3)设切点Q的坐标为 .则切线斜率为 .

所以切线方程为 .又 ，则

12分

此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积 .14分

由 知当且仅当 时， 有最大值.

即 有最小值.因此点Q的坐标为 . 16分

19.解：(Ⅰ)由题意可设抛物线的方程为： ，

因为抛物线经过点 ，所以 ，解得： ，

则抛物线C的标准方程是： ; 3分

(Ⅱ)由(1)知：F(1,0)，OA的中点M的坐标为 ，

则 ，所以直线FM的方程是： ; 6分

(Ⅲ)当直线的斜率不存在时，则

所以 ，则 ;8分

当直线的斜率存在时，设为k，则直线的方程为

设 ，则 ，

同理可得： ，所以

= ， 12分

由方程组 消去y，并整理得： ，

所以 ， 14分

则 ，又 ，所以 ，

综上所述： 16分

20. 解：(Ⅰ)设P点的坐标为(x, y)，则

因为动点P与A、B连线的斜率之积为 ，所以 ，

化简得： ，所以点P的轨迹方程为 (x4) 6分

(Ⅱ)(1)由题意知：C(0， 2)，A(4，0)，

所以线段AC的垂直平分线方程为y=2x+3， 8分

设M(a, 2a+3)(a0)，则⊙M的方程为 ，

因为圆心M 到y轴的距离d=a，由 ，得： ，10分

所以圆M的方程为 。11分

(2)假设存在定直线l与动圆M均相切，

当定直线l的斜率不存在时，不合题意， 12分

当定直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+b，

则 对任意r0恒成立，

由 ，得：

， 14分

所以 ，解得： 或 ，

所以存在两条直线y=3和4x+3y 9=0与动圆M均相切 16分

高中是人生中的关键阶段，大家一定要好好把握高中，编辑老师为大家整理的高二上学期中数学理科试卷，希望大家喜欢。