2014年上海交大附中高二下学期数学期末测试卷_题型归纳 - 查字典数学网
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2014年上海交大附中高二下学期数学期末测试卷

2016-05-26 收藏

一、填空题(本大题共14题,每题4分,满分56分)

1. 设复数 满足 ,则 ______ ______。

2. 三个平面最多把空间分割成 8 个部分。

3. 若圆锥的侧面展开图是半径为2、圆心角为180的扇形,则这个圆锥的体积是 。

4. 如图,在正三棱柱 中, ,异面直线 与 所成角

的大小为 ,该三棱柱的体积为 。

5. 的展开式中的常数项是 60 。

6. 8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有 512 种。

7. 将三个1、三个2、三个3填入33的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,则不同的填写方法共有 12 种。

8. 用4种颜色给一个正四面体的4个顶点染色,若同一条棱的两个端点不能用相同的颜色,那么不同的染色方法共有_____24________种。

9. 从 个正整数 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 的概率为 ,则 8 。

10. 用0、1、2、3、4、5组成一个无重复数字的五位数,这个数是偶数的概率为 。

11. 设复数 , , 在复平面上所对应点在

直线 上,则 = 。

12. 如图是一个正方体的表面展开图,A、B、C均为棱的中点,D是顶点,

则在正方体中,异面直线AB和CD的夹角的余弦值为 。

13. 在直三棱柱 中,底面ABC为直角三角形, , . 已知G与E分别为 和 的中点,D与F分别为线段 和 上的动点(不包括端点). 若 ,则线段 的长度的最小值为 。

【解】建立直角坐标系,以A为坐标原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,则 ( ), , , ( )。所以 , 。因为 ,所以 ,由此推出 。又 , ,从而有 。

14. 一个半径为1的小球在一个内壁棱长为 的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动,则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是 .

[解] 如答12图1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为 ,作平面 //平面 ,与小球相切于点 ,则小球球心 为正四面体 的中心, ,垂足 为 的中心.

故 ,从而 .

记此时小球与面 的切点为 ,连接 ,则

.

考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 )相切时的情况,易知小球在面 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形,记为 ,如答12图2.记正四面体

的棱长为 ,过 作 于 .

因 ,有 ,故小三角形的边长 .

小球与面 不能接触到的部分的面积为(如答12图2中阴影部分)

.

又 , ,所以

.

由对称性,且正四面体共4个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 .

二、选择题(本大题共4题,每题5分,满分20分)

15. 已知 为异面直线, 平面 , 平面 .平面与外的直线 满足 ,则(D )

A. ,且 B. ,且

C. 与 相交,且交线垂直于 D. 与 相交,且交线平行于

16. 如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ( A )

A. B. C. D.

17. 三个人乘同一列火车,火车有10节车厢,则至少有2人上了同一车厢的概率为 ( B )

A. B. C. D.

18. 除以100的余数是 (C )

A.1 B.79 C. 21 D. 81

解:

=

= 4

即 除以100的余数为21。

三、解答题(本大题共5题,满分74分12+14+14+16+18=74)

19. 如图,AB是底面半径为1的圆柱的一条母线,O为下底面中心,BC是下底面的一条切线。

(1)求证:OB

(2)若AC与圆柱下底面所成的角为30,OA=2。求三棱锥A-BOC的体积。

解:(1)连结OB,由圆的切线性质有OBBC,而BC是AC在底面⊙O

上的射影,OB平面ABC,OBAC。

(2)在RtOA B中,AB= .

又∵ACB就是AC与底面⊙O所成角, ,

20. 如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为8,侧棱长为6,D为AC中点。

(1)求证:直线AB1∥平面C1DB;

(2)求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值。

证明:(1)连B C交 于E,连DE, 则DE∥ ,

而DE 面C DB, 面C DB,

(2)由(1)知DEB为异面直线 所成的角,在

21. 已知:对于任意的多项式 与任意复数z, 整除 。利用上述定理解决下列问题:

(1)在复数范围内分解因式: ;

(2)求所有满足 整除 的正整数n构成的集合A。

解:(1)令 解得两个根 ,这里

所以

(2)记 。 有两个根 ,这里 ,

22. 设 ( 是正整数),利用赋值法解决下列问题:

(1)求 ;

(2) 为偶数时,求 ;

(3) 是3的倍数时,求 。

解:令 ,

(1) ,所以

(2) ,

所以

(3)记 ,则 。当 时, ,当 时, ,

记 , ,

从上到下各式分别乘以 ,求得

。即

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