重点解决导数在研究函数单调性中的应用，特别是含有字母参数的函数的单调性(这是高考考查分类与整合思想的一个主要命题点)，在解决好上述问题后，要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究性训练，这是高考命制压轴题的一个重要考查点.查字典数学网整理了2015高考理科数学易错题总结，希望对大家有帮助。

要点1：利用导数研究曲线的切线

1.导数的几何意义：函数在处的导数的几何意义是：曲线在点处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数对时间的导数)。

2.求曲线切线方程的步骤：(1)求出函数在点的导数，即曲线在点处切线的斜率;(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。注：①当曲线在点处的切线平行于轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为;②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。

要点2：利用导数研究导数的单调性 利用导数研究函数单调性的一般步骤。(1)确定函数的定义域;(2)求导数;(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数的定义域内解(或证明)不等式0。②若已知的单调性，则转化为不等式0在单调区间上恒成立问题求解。

要点3：利用导数研究函数的极值与最值

1.在求可导函数的极值时，应注意：(以下将导函数取值为0的点称为函数的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。例如函数在点处有极小值=0，可是这里的根本不存在，所以点不是的驻点.(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数的导数，在点处有，即点是的驻点，但从在上为增函数可知，点不是的极值点.(2) 求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.(3) 在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导(其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导)，并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大(小)值(如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大(小).记住这个定理很有好处)，然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大(小)值。知道这一点是非常重要的，因为它在应用一般情况下选那个不带常数的。因为.

3.利用定积分来求面积时，特别是位于轴两侧的图形的面积的计算，分两部分进行计算，然后求两部分的代数和.

三、易错点点睛

命题角度 1导数的概念与运算

1.设，,, ,nN,则 ( )

A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx

[考场错解] 选C

[专家把脉] 由=,,f3(x) =(-sinx)=-cosx, ，，故周期为4。

[对症下药] 选A

2.已知函数在x=1处的导数为3，的解析式可能为 ( )

A.=(x-1)3+32(x-1) B.=2x+1 C.=2(x-1)2 D.=-x+3

[考场错解] 选B ∵f(x)=2x+1,f(x)=(2x+1)=2x+1|x=1=3.

[专家把脉] 上面解答错误原因是导数公式不熟悉，认为(2x+1)=2x+1.正确的是(2x+1)=2,所以x=1时的导数是2，不是3。

=2e-xcosx令f(x)=0,x=n+(n=1，2，3，)从而xn=n+。f(xn)=e-( n+)(-1)n=-e.

数列{f(xn)}是公比为q=-e-的等比数列。

[专家把脉] 上面解答求导过程中出现了错误，即(e-x)=e-x是错误的，由复合函数的求导法则知(e-x)=e-x(-x)=-e-x才是正确的。

[对诊下药](1)证明：f(x)=(e-x)(cos+sinx)+e-x(cosx+sinx) =-e-x(cosx+sinx) +e-x(-sinx+cos)

=-2e-xsinx. 令f(x)=0得-2e-xsinx=0，解出x=n,(n为整数，从而xn=n(n=1,2,3,)，

f(xn)=(-1)ne-n,所以数列|f(xn)|是公比q=-e-的等比数列，且首项f(x1)=-e-

(2)Sn=x1f(x1)+x2f(x2)++xnf(xn)=nq(1+2q++nqn-1)

aSn=q(q+2q2++nqn)=q(-nqn)从而Sn=(-nqn)

∵|q|=e-1 qn=0,

专家会诊1.理解导数的概念时应注意导数定义的另一种形式：设函数f(x)在x=a处可导，则的运用。2.复合函数的求导，关键是搞清复合关系，求导应从外层到内层进行，注意不要遗漏3.求导数时，先化简再求导是运算的基本方法，一般地，分式函数求导，先看是否化为整式函数或较简单的分式函数;对数函数求导先化为和或差形式;多项式的积的求导，先展开再求导等等。

命题角度 2导数几何意义的运用

1.曲线y=x3在点(1,1)的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形面积为_________.

[考场错解] 填2 由曲线y=x3在点(1，1)的切线斜率为1，切线方程为y-1==x-1,y=x.所以三条直线y=x,x=0,x=2所围成的三角形面积为S=22=2。

[专家把脉] 根据导数的几何意义，曲线在某点处的切线斜率等于函数在这点处的导数，上面的解答显然是不知道这点，无故得出切线的斜率为1显然是错误的。

[对症下药] 填。∵=3x2 当x=1时f(1)=3.由导数的几何意义知，曲线在点(1，1)处的斜率为3。即切线方程为y-1=3(x-1) 得y=3x-2.联立得交点(2，4)。又y=3x-2与x轴交于(，0)。三条直线所围成的面积为S=4(2-)=。

2.设t0,点P(t,0)是函数=x3+ax与g(x)=bx3+c的图像的一个公共点，两函数的图像在P点处有相同的切线。(1)用t表示a、b、c;(2)若函数y=f(x)-g(x)在(-1，3)上单调递减，求t的取值范围。

[考场错解] (1)∵函数=x3+ax与g(x)=bx2+c的图像的一个公共点P(t,0).f(t)=g(t)t3+at=bt2+c. ①又两函数的图像在点P处有相同的切线，f(t)=g(t) 3t3+a=2bt. ②由①得b=t,代入②得a=-t2.c=-t3.

[专家把脉] 上面解答中得b=t理由不充足，事实上只由①、②两式是不可用t表示a、b、c，其实错解在使用两函数有公共点P，只是利用f(t)=g(t)是不准确的，准确的结论应是f(t)=0，即t3+at=0，因为t0,所以a=-t2.g(t)=0即bt2+c=0,所以c=ab又因为f(x)、g(x)在(t,0)处有相同的切线，

所以f(t)=g;(t).即3t2+a=2bt, ∵a=-t2, b=t.因此c=ab=-t2t=-t3.故a=-t2,b=t,c=-t3

(2)解法1 y=-g(x)=x3-t2x-tx2+t3 y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).

当y=(3x+t)(x-t)0时,函数y=f(d)-g(x)单调递减。 由y0,若t0,则t

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