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几个抽象函数问题的探究

2016-03-28 收藏

解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高.所以近几年来高考题中不断出现,在2009年的全国各地高考试题中,抽象函数遍地开花.但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心.下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法.

一、抽象函数的定义域

例1已知函数f(x)的定义域为[1,3],求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a) (a>0)的定义域.

解析:由由a>0 知只有当0

点评:1。已知f(x)的定义域为[a,b],则f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b,解出x即可得解;

2。已知f[g(x)]的定义域为[a,b],则f(x)的定义域即是g(x)在x [a,b]上的值域。

二、抽象函数的值域

解决抽象函数的值域问题——由定义域与对应法则决定.

例2若函数y=f(x+1)的值域为[-1,1]求y=(3x+2)的值域.

解析:因为函数y=f(3x+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(x+1)的定义域与对应法则 完全相同,故函数y=f(3x+2)的值域也为[-1,1].

三、抽象函数的奇偶性

例3若y=f(x)是偶函数,y= f(x-1)是奇函数,求 f(2007)=?

解析:因为y=f(x-1)是奇函数,所以y=f(-x-1)=-f(x-1){为什么?};因为 y=f(x)是偶函数,所以f(-x-1)=f(x+1){为什么?};因为f(x+1)=-f(x-1), 所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x);因为y=f(x-1)是奇函数,所以f(0)=0=f(-1)=f(2007)

四、抽象函数的对称性

例4已知函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数,函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称,则g(x)+ g(-x)的值为( )

A、 2 B、 0 C、 1 D、不能确定

解析:由y=f(2x+1)求得其反函数为y=[f (x)-1]/2,∵ y=f(2x+1) 是奇函数,

∴y=[f (x)-1]/2也是奇函数,∴[f (x)-1]/2+[f (-x)-1]/2=0 ∴f (x)+f (-x)=2,而函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称,∴g(x)+ g(-x)= f (x)+f (-x)故选A .

五、抽象函数的周期性

例5、(2009全国卷Ⅰ理)函数的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则( )

(A) f(x)是偶函数 (B) f(x)是奇函数

(C) f(x)= f(x+2) (D) f(x+3)是奇函数

解: ∵f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,,

函数关于(-1,0)点,及点(1,0)对称,函数是周期为4的周期函数。,所以f(x+3)= f(x-1),即f(x+3)是奇函数.故选D

关于抽象函数的周期性有如下的几个定理和性质,由于篇幅问题,推导就省略了.

定理1。若函数y=f (x) 定义域为R,且满足条件f (x+a)=f (x-b),则y=f (x) 是以T=a+b为周期的周期函数.

定理2。若函数y=f (x) 定义域为R,且满足条件f (x+a)= -f (x-b),则y=f (x) 是以T=2(a+b)为周期的周期函数.

定理3。若函数y=f (x)的图像关于直线 x=a与 x=b (a≠b)对称,则y=f (x) 是以T=2(b-a)为周期的周期函数.

et 定理4。若函数y=f (x)的图像关于点(a,0)与点(b,0) , (a≠b)对称,则y=f (x) 是以 T=2(b-a)为周期的周期函数.

定理5。若函数y=f (x)的图像关于直线 x=a与 点(b,0),(a≠b)对称,则y=f (x) 是以 T=4(b-a)为周期的周期函数.

性质1:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)及f(b-x)=f(b+x) (a≠b,ab≠0),则函数f(x)有周期2(a-b);

性质2:若函数f(x)满足f(a-x)= - f(a+x)及f(b-x)=- f(b+x),(a≠b,ab≠0),则函数有周期2(a-b)。

特别:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x) (a≠0)且f(x)是偶函数,则函数f(x)有周期2a。

性质3:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)及f(b-x)= - f(b+x) (a≠b,ab≠0), 则函数有周期4(a-b)。

特别:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x) (a≠0)且f(x)是奇函数,则函数f(x)有周期4a.

从以上例题可以发现,抽象函数的考查范围很广,能力要求较高.但只要对函数的基本性质熟,掌握上述有关的结论和类型题相应的解法,则会得心应手。

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