一、进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射ƒ:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应，记为ƒ(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

类型I：已知ƒ(x)= 2x2+x+2，求ƒ(x+1)

这里不能把ƒ(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。

类型Ⅱ：设ƒ(x+1)=x2-4x+1,求ƒ(x)

这个问题理解为，已知对应法则ƒ下，定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。

一般有两种方法：

(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。

ƒ(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6，再用x代x+1得ƒ(x)=x2-6x+6

(2) 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。

令t=x+1，则x=t-1 ∴(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6从而ƒ(x)= x2-6x+6

二、二次函数的单调性，最值与图像。

在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间(-∞，-b2a]及[-b2a，+∞) 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图像的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图像学习二次函数有关的一些函数单调性。

类型Ⅲ：画出下列函数的图像，并通过图像研究其单调性。

(1)y=x2+2|x-1|-1

(2)y=|x2-1|

(3)= x2+2|x|-1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图像。类型Ⅳ设ƒ(x)=x2-2x-1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。

求：g(t)并画出 y=g(t)的图像

解：ƒ(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2，在x=1时取最小值-2

当1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=-2

当t>1时，g(t)=ƒ(t)=t2-2t-1

当t<0时，g(t)=ƒ(t+1)=t2-2

t2-2, (t<0)

g(t)= -2，(0≤t≤1)

t2-2t-1, (t>1)

首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。

如：y=3x2-5x+6(-3≤x≤-1)，求该函数的值域。

三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维：

类型Ⅴ：设二次函数ƒ(x)=ax2+bx+c(a>0)方程ƒ(x)-x=0的两个根x1，x2满足0

(Ⅰ)当X∈(0,x1)时，证明X<ƒ(x)

(Ⅱ)设函数ƒ(x)的图像关于直线x=x0对称，证明x0< x2。

解题思路：

本题要证明的是x<ƒ(x)，ƒ(x)

(Ⅰ)先证明x<ƒ(x)，令ƒ(x)=ƒ(x)-x，因为x1,x2是方程ƒ(x)-x=0的根，ƒ(x)=ax2+bx+c，所以能ƒ(x)=a(x-x1)(x-x2)

因为0

根据韦达定理,有 x1x2=ca ∵ 0

即x<ƒ(x)

(Ⅱ) ∵ƒ(x)=ax2+bx+c=a(x+-b/2a)2+(c-),(a>0)

函数ƒ(x)的图像的对称轴为直线x=- b/2a,且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=-b/2a，因为x1,x2是二次方程ax2+(b-1)x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=-b-1a，∵x2-1a<0，

∴x0=-b2a=12(x1+x2-1a)

二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。